第一章 三角形——全等三角形判定分类专项证明题 训练 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

2025-2026苏教版八年级上册 第一章 全等三角形判定—分类训练 【题型一SAS】 1.生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得BC的长度也为30cm，请说明AD＝BC的理由． 2.如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC与EF交于点O．求证：△ABC≌△DEF． 3.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E． （1）求证：AC＝DF； （2）分别连接AE、BD，则AE与BD的关系为． 4.如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且AE＝CD，AD与BE交于点F． （1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）求∠BFD的度数． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在BD上，且DF＝BE，连接AE，CF，且AE∥CF． （1）试说明△ABE≌△CDF； （2）连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由． 7.已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD．求证：EF∥BC． 8.已知，如图，点B、C、D、E在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，EC＝BD． （1）求证：△ABC≌△FED； （2）判断线段AB、EF的关系，并说明理由． 9.已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF，AE∥BF． （1）求证：△AEC≌△BFD； （2）若∠A＝60°，∠BFD＝80°，求∠C的度数． 10.已知：如图，点B、F、E、C共线，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE．求证：AE＝DF． 11.如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D． （1）证明：△ABF≌△DCE； （2）若BC＝14，EF＝5，求BE的长． 12.已知：如图，A、D是CF上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD． 求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 13.已知：如图，AD，BF相交于点O，OA＝OD，OB＝OF，点E，C在BF上，且BE＝CF．求证：AC＝DE． 14.已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN． （1）求证：△BDN≌△CDM； （2）若∠AMC＝80°，则∠N＝． 15.已知，如图，点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝∠DBF，AE＝BF，AB＝CD． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）EC∥FD． 16.如图，点C、E在线段BF上，AB∥DE，AB＝DE，BC＝EF．求证：AC＝DF． 17.如图所示，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若BC＝15，EF＝5，则DF＝ 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O． （1）求证：△DBC≌△ECB； （2）若∠EBC＝25°，求∠BOC的度数． 19.如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，连接AC，AD．求证：∠ACD＝∠ADC． 20.如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当点P在A→B运动时，BP＝ （用含t的代数式表示） （2）求证：AB＝ED； （3）当P，Q，C三点共线时，求t的值． 21.已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．试猜想BD、CE的关系，并证明． 【题型二 ASA】 1．如图，在△ABC中，O为BC的中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E． （1）求证：△BDO≌△CEO； （2）若AC＝10，BD＝6，求AE的长． 2.如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． 求证：△DAC≌△ECB； 3.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．若 　①或③　 ，则BE＝CF．请从①AC∥DF；②AC＝DF；③∠A＝∠D这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC＝∠ACB．在CA边上截取CE＝AD，过点E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：△ACD≌△EFC； （2）连接DF，若∠ADC＝100°，∠ACD＝30°，求∠CDF的度数． 5.如图，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AC，AE，AB＝AC，AC平分∠BCD，∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． 6.如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AB＝8，CD＝2，求EC的长度． 7.已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，且AB＝BC． （1）求证：△ABF≌△CBD； （2）已知AD＝7，BF＝2，求CF的长度． 8.为了测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，同学们想出了如下方案：如图，在池塘外作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，在DE上取点E，使E，C，A三点在一条直线上，这时测得DE的长度即为A，B两点间的距离．请说明理由． 9.如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，AE＝BE，点D在AC边上． （1）求证：△ACE≌△BDE； （2）若∠BDE＝68°，求∠1的度数． 10.如图，点D在线段AB上，点E在线段AC上，且AD＝AE，∠BDC＝∠BEC． 求证：BE＝CD． 11.如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ACB＝∠DBE＝90°，点C在BE上，DE垂直平分AB，DE分别交AB，AC于点F，G．连接AD，求证：AD＝AG； 【题型三AAS】 1已知：如图，∠B＝∠ADB＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：AC＝AE． 2.已知：如图∠C＝∠D，∠1＝∠2．求证： （1）△ADB≌△BCA； （2）DE＝CE． 3.如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长． 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，边BC上取一点D，BD＝AC，过点D作DE⊥BC，连结BE，已知∠CBE＝∠AFE． 求证：△ABC≌△BED． 5.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那（1）的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 6.如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 7.已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 8如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F，且DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ADC； （2）已知AF＝4，BC＝6，求AD的长． 9.如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，AF∥DC，DE、AF分别交BC于点E、F．求证：△ABF≌△DEC． 11.如图，四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE、AC，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝EC． （1）求证：△ABC≌△DEC； 12.如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D＝90°，AB＝DC．（1）求证：△ABE≌△DCE； （2）如果∠AEB＝∠ABC，则∠AEB＝ 　60　 °． 13.如图，在△ABC中，BA＝BC，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD、BE交于点F，BD＝CD．求证： （1）△BDF≌△CDA； （2）BF＝2CE． 14.如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝30°，∠E＝75°，求∠BCF的度数． 15.已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥BF，DE∥CF，AE＝BF． （1）求证：△ADE≌△BCF． （2）若AB＝8，CD＝4，求AC的长． 16.已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC、DB相交于点O． 求证：△AOB≌△DOC． 16.如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F． 求证：△ADE≌△FCE； 17.如图，在△ABC中，AC＝BC，AD，BE分别是腰BC，AC上的高． 求证：△ACD≌△BCE； 18.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交CD于点D，DE⊥AB于E． 求证：△ACD≌△AED； 【题型四SSS】 1.已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在同一条直线上，BD＝CE，且∠BAC＝68°． （1）求证：△ABD≌△ACE； 2.已知：如图，在 中，， 是中线。求证：。 3.已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF. 4. 已知，AB＝DC，DB＝AC．求证：∠ABD＝∠DCA． 5. 如图，点 在 上，且 求证： 6．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE．求证：AF∥DE CF∥BE． 7在△ABC与△A′B′C′中，边BC与边B′C′上的中线分别为AD与A′D′．若AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 8.如图，已知AD＝BC，OD＝OC，O为AB中点，求证：∠C＝∠D． 9如图所示，AB＝CD，BF＝DE，E，F是AC上两点，且AE＝CF.请你判断BF与DE的位置关系， 并说明理由． 10如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B,D,E三点共线.求证：∠3＝∠1＋∠2． 【题型五HL】 1.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：DE＝DF； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 2.如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/14 20:54:39；用户：5dd41c2c；邮箱：5dd41c2c-3597-441c-94ab-42762b318310.24208687；学号：65723282 3.如图，在△ABC中，∠D＝90°，∠B＝40°，E为BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，求∠AED度数． 4.如图，已知AD⊥BC于点D，点E在AB上，CE交AD于点F，△ABD≌△CFD． （1）若BC＝12，AD＝8，求BD的长． （2）试判断AB和CF的数量关系和位置关系，并说明理由． 全等三角形判定—分类训练 【题型一SAS】 1.生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得BC的长度也为30cm，请说明AD＝BC的理由． 【解答】证明：∵O是AB和CD的中点， ∴AO＝BO，CO＝DO， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴AD＝BC． 2.如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC与EF交于点O．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】解：点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 4.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E． （1）求证：AC＝DF； （2）分别连接AE、BD，则AE与BD的关系为 　AE＝BD，AE∥BD　 ． 【解答】（1）证明：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF； 5.如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且AE＝CD，AD与BE交于点F． （1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）求∠BFD的度数． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE＝∠CAD． 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在BD上，且DF＝BE，连接AE，CF，且AE∥CF． （1）试说明△ABE≌△CDF； （2）连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF． ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD． 在△ABE 和△CDF 中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：AF＝CE，理由如下： ∵△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD． ∵DF＝BE， ∴DF﹣EF＝BE﹣EF， 即DE＝BF． 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）． ∴AF＝CE． 7.已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD．求证：EF∥BC． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AF＝CD， ∴AF+CF＝CD+CF， 即AC＝DF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠BCA＝∠EFD， ∴BC∥EF． 8.已知，如图，点B、C、D、E在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，EC＝BD． （1）求证：△ABC≌△FED； （2）判断线段AB、EF的关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵AC∥DF， ∴∠ACE＝∠BDF． ∵∠ACE+∠ACB＝180°，∠BDF+∠EDF＝180°， ∴∠ACB＝∠FDE， ∵EC＝BD， ∴EC﹣CD＝BD﹣CD， 即BC＝ED， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SAS）； （2）解：AB∥EF且AB＝EF，理由如下： 由（1）可知，△ABC≌△FED， ∴AB＝FE，∠B＝∠E， ∴AB∥EF， 即AB∥EF且AB＝EF． 9.已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF，AE∥BF． （1）求证：△AEC≌△BFD； （2）若∠A＝60°，∠BFD＝80°，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵AE∥BF， ∴∠AEC＝∠BFD， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（SAS）； （2）解：∵△AEC≌△BFD， ∴∠AEC＝∠BFD＝80°， ∵∠A＝60°， ∴∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 10.已知：如图，点B、F、E、C共线，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE．求证：AE＝DF． 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+EF＝CE+EF， ∴BE＝CF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴AE＝DF． 11.如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D． （1）证明：△ABF≌△DCE； （2）若BC＝14，EF＝5，求BE的长． 【解答】（1）证明：在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）设BE＝a， ∵△ABF≌△DCE， ∴BF＝CE， ∴BE+EF＝EF+CF， ∴BE＝CF＝a， ∵BC＝BE+EF+CF，BC＝14，EF＝5， ∴2a+5＝14， 解得：a＝4.5， ∴BE＝a＝4.5． 12.已知：如图，A、D是CF上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD． 求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠EDF， ∵AF＝CD， ∴AF+AD＝CD+AD，即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）∵△ABCC≌△DEF， ∴∠C＝∠F， ∴BC∥EF． 13.已知：如图，AD，BF相交于点O，OA＝OD，OB＝OF，点E，C在BF上，且BE＝CF．求证：AC＝DE． 【解答】解：∵OB＝OF，BE＝CF， ∴OB﹣BE＝OF﹣CF， ∴OE＝OC， 在△AOC和△DOE中， ， ∴△AOC≌△DOE（SAS）， ∴AC＝DE． 14.已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN． （1）求证：△BDN≌△CDM； （2）若∠AMC＝80°，则∠N＝ 　100　 °． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（SAS）； （2）解：∵∠AMC＝80°，∠AMC+∠DMC＝180°， ∴∠DMC＝100°， ∵△BDN≌△CDM， ∴∠N＝∠DMC＝100°， 15.已知，如图，点A，B，C，D在同一条直线上，∠A＝∠DBF，AE＝BF，AB＝CD． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）EC∥FD． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（SAS）． （2）由（1）得△ACE≌△BDF， ∴∠ACE＝∠D， ∴EC∥FD． 16.如图，点C、E在线段BF上，AB∥DE，AB＝DE，BC＝EF．求证：AC＝DF． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABE和△DEF中， ， ∴△ABE≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF． 17.如图所示，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若BC＝15，EF＝5，则DF＝ 　10　 ． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB＝∠EAD， 在△CAB和△EAD中， ， ∴△CAB≌△EAD（SAS）； （2）∵△CAB≌△EAD， ∴DE＝BC＝15， ∵EF＝5， ∴DF＝DE﹣EF＝15﹣5＝10． 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O． （1）求证：△DBC≌△ECB； （2）若∠EBC＝25°，求∠BOC的度数． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ECB＝∠DBC， 在△DBC与△ECB中， ， ∴△DBC≌△ECB（SAS）； （2）解：由（1）知△DBC≌△ECB， ∴∠DCB＝∠EBC＝25°， ∴∠BOC＝180°﹣25°﹣25°＝130° 19.如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，连接AC，AD．求证：∠ACD＝∠ADC． 【解答】证明：在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC． 20.如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当点P在A→B运动时，BP＝ 　（8﹣2t）cm　 ；（用含t的代数式表示） （2）求证：AB＝ED； （3）当P，Q，C三点共线时，求t的值． 【解答】（1）解：点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为t s．根据题意得： AP＝2t cm，则BP＝（8﹣2t）cm， 故答案为：（8﹣2t）cm； （2）证明：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴AB＝ED； （3）解：根据题意得：DQ＝t cm，AP＝2t cm，则EQ＝（8﹣t）cm， ∵△ABC≌△EDC， ∴∠A＝∠E，DE＝AB＝8cm， ∵P，Q，C三点共线， ∴∠ACP＝∠ECQ， 在△ACP和△ECQ中， ， ∴△ACP≌△ECQ（ASA）， ∴AP＝EQ， ∴当0≤t≤4时，2t＝8﹣t， 解得：， 当4＜t≤8时，AP＝（16﹣2t）cm， ∴16﹣2t＝8﹣t， 解得：t＝8， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 21.已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．试猜想BD、CE的关系，并证明． 【解答】解：BD＝CE，BD⊥CE． 证明：在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E三点在同一直线上， ∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠CBD+∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠CBD+∠ACB＝90°， ∴∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°， ∴BD⊥CE， 综上，BD、CE的关系为BD＝CE，BD⊥CE． 【题型二 ASA】 1．如图，在△ABC中，O为BC的中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E． （1）求证：△BDO≌△CEO； （2）若AC＝10，BD＝6，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，O为BC的中点，BD∥AC， ∴OC＝OB，∠C＝∠CBD， 在△BOD和△CEO中， ， ∴△BDO≌△CEO（ASA）； （2）解：∵△BDO≌△CEO，AC＝10，BD＝6， ∴CE＝BD＝6， ∵AC＝10， ∴AE＝AC﹣CE＝4． 2.如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． 求证：△DAC≌△ECB； 【解答】（1）证明：∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝CBAB， 在△DAC和△ECB中， ， ∴△DAC≌△ECB（ASA）； 3.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．若 　①或③　 ，则BE＝CF．请从①AC∥DF；②AC＝DF；③∠A＝∠D这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 选择①：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF； 选择②：无法求解BE＝CF； 选择③： 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF； 故答案为：①或③． 4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC＝∠ACB．在CA边上截取CE＝AD，过点E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：△ACD≌△EFC； （2）连接DF，若∠ADC＝100°，∠ACD＝30°，求∠CDF的度数． 【解答】（1）证明：∵EF∥AB， ∴∠A＝∠CEF， ∵∠ADC＝∠ACB，且点E在AC上，点F在BC上， ∴∠ADC＝∠ECF， 在△ACD和△EFC中， ， ∴△ACD≌△EFC（ASA）． （2）解：由（1）得△ACD≌△EFC， ∴DC＝CF， ∵∠ADC＝∠ACB＝100°，∠ACD＝30°， ∴∠DCF＝∠ACB﹣∠ACD＝70°， ∵∠CDF+∠CFD+∠DCF＝180°，且∠CDF＝∠CFD， ∴2∠CDF+70°＝180°， ∴∠CDF＝55°， ∴∠CDF的度数是55°． 5.如图，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AC，AE，AB＝AC，AC平分∠BCD，∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． 【解答】证明：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACD， ∵∠BAC＝∠EAD， 即∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． 6.如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AB＝8，CD＝2，求EC的长度． 【解答】（1）证明：∵AB∥DF， ∴∠A＝∠FDE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：由（1）知△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE＝8， ∵CD＝2， ∴CE＝DE﹣CD＝8﹣2＝6． 7.已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，且AB＝BC． （1）求证：△ABF≌△CBD； （2）已知AD＝7，BF＝2，求CF的长度． 【解答】（1）证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠CEF＝90°， ∴∠A+∠AFB＝90°，∠C+∠CFE＝90°， 又∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBD中， ， ∴△ABF≌△CBD（ASA）； （2）解：由（1）可知：△ABF≌△CBD， ∴AB＝CB，BF＝BD， ∴AD＝AB+BD＝AB+BF， ∴AB＝AD﹣BF， ∵AD＝7，BF＝2， ∴AB＝AD﹣BF＝7﹣2＝5， ∴AB＝CB＝5， ∴CF＝CB﹣BF＝5﹣2＝3． 8.为了测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，同学们想出了如下方案：如图，在池塘外作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，在DE上取点E，使E，C，A三点在一条直线上，这时测得DE的长度即为A，B两点间的距离．请说明理由． 【解答】证明：∵在池塘外作AB的垂线BF，再画出BF的垂线DE， ∴BF⊥AB，DE⊥BF， ∴∠B＝90°，∠EDC＝90°． ∴∠B＝∠EDC． 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）． ∴AB＝DE． 故答案为：100． 9.如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，AE＝BE，点D在AC边上． （1）求证：△ACE≌△BDE； （2）若∠BDE＝68°，求∠1的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠AED＝∠2+∠ED， ∵∠AEC＝∠BED， 在△ACE和△BDE中， ， ∴△ACE≌△BDE（ASA）． （2）解：∵△ACE≌△BDE， ∴CE＝DE，∠BDE＝∠C＝68°， ∴∠C＝∠CDE＝68°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C＝44°． 10.如图，点D在线段AB上，点E在线段AC上，且AD＝AE，∠BDC＝∠BEC． 求证：BE＝CD． 【解答】证明：∵∠BDC＝∠BEC，∠BDC+∠ADC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝∠ADC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE和≌△ACD（ASA）， ∴BE＝CD． 11.如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ACB＝∠DBE＝90°，点C在BE上，DE垂直平分AB，DE分别交AB，AC于点F，G．连接AD，求证：AD＝AG； 【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示： ∵∠ACB＝∠DBE＝90°， ∴∠ACB+∠DBE＝180°， ∴AC∥BD， ∴∠1＝∠2， ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，BF＝AF， 在△BDF和△AGF中， ， ∴△BDF≌△AGF（ASA）， ∴BD＝AG， ∴AD＝AG； 【题型三AAS】 1已知：如图，∠B＝∠ADB＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：AC＝AE． 【解答】证明：∵∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD， 在△ABC和△ADE中 ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴AC＝AE． 2.已知：如图∠C＝∠D，∠1＝∠2．求证： （1）△ADB≌△BCA； （2）DE＝CE． 【解答】证明：（1）在△ADB和△BCA中， ， ∴△ADB≌△BCA（AAS）， （2）∵△ADB≌△BCA， ∴BD＝AC， ∵∠1＝∠2， ∴BE＝AE， ∴BD﹣BE＝AC﹣AE， ∴DE＝CE． 3.如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）解：由（1）可得，△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1． 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，边BC上取一点D，BD＝AC，过点D作DE⊥BC，连结BE，已知∠CBE＝∠AFE． 求证：△ABC≌△BED． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠EDB＝90°， ∴∠CBE+∠E＝90°，∠BFD+∠ABC＝90°， ∵∠CBE＝∠AFE＝∠BFD， ∴∠E＝∠ABC， 在△ABC和△BED中， ， ∴△ABC≌△BED（AAS）； 5.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那（1）的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）线段DE，BD，CE之间的数量关系是：DE＝BD+CE，理由如下： ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝90°， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠EAC+∠DAB＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）成立，理由如下： ∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α， 在△ABD中，∠DBA+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α， 又∵∠EAC+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． 6.如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 【解答】证明：∵AE∥BC， ∴∠EAF＝∠B， 在△ABC和△EAF中， ， ∴△ABC≌△EAF（AAS）． 7.已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 【解答】证明：∵C是AE的中点， ∴AC＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）． 8如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F，且DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ADC； （2）已知AF＝4，BC＝6，求AD的长． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠DBF＝∠DAC＝90°﹣∠C， 在△BDF和△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（AAS）． （2）解：由（1）得△BDF≌△ADC，且AF＝4，BC＝6， ∴BD＝AD， ∴BC﹣DC＝AF+DF， ∵DF＝DC， ∴6﹣DF＝4+DF， ∴DF＝1， ∴AD＝AF+DF＝4+1＝5， ∴AD的长为5． 求证：△ADE≌△CFE； 【解答】（1）证明：∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； 9.如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 【解答】（1）解：∵∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B， ∴∠AEB＝∠2＝36°； （2）证明：∵∠ADE＝∠1+∠C， 即∠2+∠BDE＝∠1+∠C， 而∠2＝∠1， ∴∠C＝∠BDE， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，AF∥DC，DE、AF分别交BC于点E、F．求证：△ABF≌△DEC． 【解答】证明：∵DE∥AB， ∴∠B＝∠DEC， ∵AF∥DC， ∴∠AFB＝∠C， ∵AD∥BC，AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE， 在△ABF和△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC（AAS）． 11.如图，四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE、AC，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝EC． （1）求证：△ABC≌△DEC； 【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ABC与△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）； 12.如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D＝90°，AB＝DC．（1）求证：△ABE≌△DCE； （2）如果∠AEB＝∠ABC，则∠AEB＝ 　60　 °． 【解答】（1）证明：在△ABE与△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）； （2）解：在Rt△ABC与Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠DBC＝∠ACB， ∵∠AEB＝∠ABC，∠DBC+∠ACB＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠DBC＝∠ACB， 又∵∠A＝90°， ∴∠ABE+∠DBC+∠ACB＝90°， ∴∠ABE＝∠DBC＝∠ACB＝30°， ∴∠AEB＝60°， 故答案为：60． 13.如图，在△ABC中，BA＝BC，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD、BE交于点F，BD＝CD．求证： （1）△BDF≌△CDA； （2）BF＝2CE． 【解答】证明：（1）在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E， ∴∠BDF＝∠ADC＝∠FEC＝90°， ∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DCA， 在△DFB和△DAC中， ， ∴△DFB≌△DAC（AAS）； （2）又由（1）知△DFB≌△DAC， ∴BF＝AC， ∵BA＝BC，BE⊥AC， ∴， ∴2CE＝AC＝BF． 14.如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝30°，∠E＝75°，求∠BCF的度数． 【解答】（1）证明：∵AF＝CD， ∴AF﹣CF＝CD﹣CF，即AC＝DF， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）解：∵∠B＝∠E，∠E＝75°， ∴∠B＝75°， ∵∠BCF是△ABC的一个外角， ∴∠BCF＝∠A+∠B， ∴∠A＝30°， ∴∠BCF＝30°+75°＝105°． 15.已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥BF，DE∥CF，AE＝BF． （1）求证：△ADE≌△BCF． （2）若AB＝8，CD＝4，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵AE∥BF， ∴∠BAE＝∠ABF， ∵DE∥CF， ∴∠ADE＝∠BCF， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（AAS）； （2）解：∵△ADE≌△BCF， ∴AD＝BC， ∴AC+CD＝BD+CD， ∴AC＝BD， ∵AB＝8，CD＝4， ∴AC+BD＝8﹣4＝4， ∴AC＝2． 16.已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，AC、DB相交于点O． 求证：△AOB≌△DOC． 【解答】证明：在△ABC和△DCB中， ， △DCB≌△ABC（SSS）， ∴∠BAC＝∠CDB（全等三角形对应角相等）， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）． 16.如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F． 求证：△ADE≌△FCE； 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，即AD∥CF， ∴∠DAE＝∠CFE， ∵E为CD的中点， ∴DE＝CE． 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； 17.如图，在△ABC中，AC＝BC，AD，BE分别是腰BC，AC上的高． 求证：△ACD≌△BCE； 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（AAS）； 18.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交CD于点D，DE⊥AB于E． 求证：△ACD≌△AED； 【解答】解：（1）由题意可得：∠CAD＝∠EAD， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°＝∠C， 又∵AD＝AD， 在△ACD和△AED中； ， ∴△ACD≌△AED（AAS）； 【题型四SSS】 1.已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在同一条直线上，BD＝CE，且∠BAC＝68°． （1）求证：△ABD≌△ACE； 【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE（SSS）； 2.已知：如图，在 中，， 是中线。求证：。 【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE（SSS）； 3.已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC， 即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF (SSS)． 3. 已知，AB＝DC，DB＝AC．求证：∠ABD＝∠DCA． 证明：连接AD . 在△ABD和△DCA中, ∴△ABD≌△DCA (SSS)， ∴∠ABD＝∠DCA. 4. 如图，点 在 上，且 求证： 证明：∵AC＝BD， ∴AC＋CD＝BD＋CD. 即AD＝BC. 在△PAD和△PBC中， ∴△PAD≌△PBC. 5．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE．求证：AF∥DE CF∥BE． 6在△ABC与△A′B′C′中，边BC与边B′C′上的中线分别为AD与A′D′．若AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 7.如图，已知AD＝BC，OD＝OC，O为AB中点，求证：∠C＝∠D． 8如图所示，AB＝CD，BF＝DE，E，F是AC上两点，且AE＝CF.请你判断BF与DE的位置关系， 并说明理由． 9如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B,D,E三点共线.求证：∠3＝∠1＋∠2． 9．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE．求证：AF∥DE CF∥BE． 证明：∵AB＝CD ∴AB+BC＝CD+BC 即：AC=DB 在△ACF和△DBE中， ∴△ACF≌△DBE ∴∠A=∠D ∠ACF=∠DBE ∴AF∥DE CF∥BE 10．在△ABC与△A′B′C′中，边BC与边B′C′上的中线分别为AD与A′D′．若AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 证明：∵AD与A′D′分别为边BC与边B′C′上的中线 ∴BD= BC，B’D’= B’C’ 又∵BC＝B′C′，∴BD=B’D’ 在△ABD和△A’B’D’中， ∴△ABD≌△A’B’D’(SSS) ∴∠B=∠B’ 在△ABC和△A’B’C’中， ∴△ABC≌△A′B′C′ （SAS） 11.如图，已知AD＝BC，OD＝OC，O为AB中点，求证：∠C＝∠D． 证明：∵O为AB中点 ∴AO=BO 在△ABC和△A’B’C’中， ∴△AOD≌△BOC （SSS） ∴∠C＝∠D． 【题型五HL】 1.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：DE＝DF； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中，BD＝CD，BE＝CF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， 2.如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/14 20:54:39；用户：5dd41c2c；邮箱：5dd41c2c-3597-441c-94ab-42762b318310.24208687；学号：65723282 3.如图，在△ABC中，∠D＝90°，∠B＝40°，E为BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，求∠AED度数． 【解答】解：∵EF⊥AB于点F， ∴∠AFE＝∠D＝90°， ∴△AFE和△ADE是直角三角形， 在Rt△AFE和Rt△ADE中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL）， ∴∠FAE＝∠DAE， ∵∠D＝90°，∠B＝40°， ∴， ∴∠AED＝180°﹣90°﹣25°＝65°． 4.如图，已知AD⊥BC于点D，点E在AB上，CE交AD于点F，△ABD≌△CFD． （1）若BC＝12，AD＝8，求BD的长． （2）试判断AB和CF的数量关系和位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△CFD， ∴BD＝DF，AD＝DC， ∵BC＝12，AD＝8， ∴CD＝AD＝8， ∴BD＝BC﹣CD＝12﹣8＝4； （2）AB＝CF，且AB⊥CF，理由如下： ∵△ABD≌△CFD， ∴AB＝CF，∠BAD＝∠FCD， ∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CDF＝90°， ∴AB⊥CF， ∴AB＝CF，且AB⊥CF． （2）解：在Rt△BED和Rt△CFD中，AE＝DF，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∵△ADE≌△ADF，Rt△BED≌Rt△CFD， ∴AE＝AF，CF＝BE＝4， ∵AC＝20， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． 学科网（北京）股份有限公司 $