精品解析： 内蒙古包头市东河区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A B. C. D. 2. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且相似比为，那么点的坐标是（ ） A. 或 B. C. D. 或 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 点在它的图像上 B. 它的图像在第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 函数的图像关于直线对称 4. 如图，已知和相似比是，且的面积是1，则四边形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 小冰和小雪自愿参加学校组织课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，G为的中点，连结并延长，交边的延长线于点E，对角线交于点F，已知，则线段的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知，则___________． 10. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 11. 已知点在反比例函数图象上，则的大小关系为______．（用“”连接） 12. 在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了______mL． 13. 如图，在正方形中，点E在上，，，垂足分别为F、G，若，则______． 14. 如图，在中，，已知B，C在线段上，且线段，则的长为______． 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 16. 如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． （1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）． 17. 如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． （1）求m的值； （2）以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 18. 为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 19. 某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为． （1）求小路的宽度； （2）某公司希望用万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 20. 如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． （1）判断四边形形状，并说明理由； （2）连接，证明：； （3）如图2，连接，若，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线． 故选：A． 2. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且相似比为，那么点的坐标是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用； 由矩形与矩形关于点位似，矩形与矩形的位似比为，又由点的坐标为，即可求得答案． 【详解】解：矩形与矩形关于点位似，位似比为， 点的坐标为， 点的坐标为：或 故选：D． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 点在它的图像上 B. 它的图像在第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 函数的图像关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法即可求解． 【详解】解：A、因为，所以点（，-27）在它的图像上，故本选项错误； B、因为反比例函数中k=﹣9＜0，所以它的图象在第二、四象限，故本选项错误； C、因为反比例函数中k=﹣9＜0，该函数图象在每一象限内随的增大而增大，故本选项错误； D、反比例函数的图像是双曲线且关于直线对称，故本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练利用反比例函数图象与系数的关系，反比例函数的对称性及反比例函数增减性． 4. 如图，已知和的相似比是，且的面积是1，则四边形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，进而可得答案． 【详解】∵和的相似比是，的面积是1， ∴， ∵的面积是1， ∴S△ABC=4， ∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=3， 故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题关键． 5. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种， 小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为， 故选：． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键． 6. 如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形对角线互相平分且相等是解题关键．由矩形的性质可得，，从而推出是等边三角形，得到，，再利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，在正方形中，G为的中点，连结并延长，交边的延长线于点E，对角线交于点F，已知，则线段的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，进而可得出，再根据相似三角形的性质可得，再根据，得出为的中位线，进而即可求出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， G为的中点， ， ， ， ， 为的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键． 8. 商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1120元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：． 10. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 11. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键． 先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小，即可解答． 【详解】， 反比例函数的图象上位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ， ， ， 综上，． 故答案为：． 12. 在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了______mL． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． 根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解． 【详解】由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系， 设， ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ， 气体体积压缩了L． 故答案为：20． 13. 如图，在正方形中，点E在上，，，垂足分别为F、G，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、二次根式的化简等知识，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题关键．先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据等量代换求解即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，已知B，C在线段上，且线段，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m值； ②若，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟悉解一元二次方程的方法，根的判别式以及根与系数的关系． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）①由，则方程有两个相等的实根，则，根据求解即可； ②根据根与系数的关系，代入求解即可． 【详解】（1）， ， ， 所以． （2）①由题知，方程有两个相同的实数根， 所以， 解得； ②由根与系数的关系，， ， ， 即， 解得或， 当时，方程为，，符合题意； 当时，方程，，不符合题意， 故． 16. 如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． （1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）． 【答案】（1）见解析，甲获胜概率为；（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平，将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平． 【解析】 【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； （2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平． 【详解】解：（1）列表如下： ﹣2 ﹣3 2 3 1 ﹣2 ﹣3 2 3 2 ﹣4 ﹣6 4 6 3 ﹣6 ﹣9 6 9 由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果， 所以甲获胜概率为； （2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平． 【点睛】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 17. 如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． （1）求m的值； （2）以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】（1）m的值为1 （2）菱形的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． 【小问2详解】 解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 18. 为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】选择第二组或第三组的方案，教学大楼的高度为 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可； 选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 19. 某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为． （1）求小路的宽度； （2）某公司希望用万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）小路的宽度为； （2）每次降价百分率为． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （）设小路的宽度为，根据总面积为，列方程求解即可； （）设每次降价的百分率为，根据等量关系列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 设小路的宽度为，根据题意， 得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：小路的宽度为； 【小问2详解】 设每次降价的百分率为， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：每次降价的百分率为． 20. 如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，证明：； （3）如图2，连接，若，且，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）见解析 （3）12 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论； （2）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （3）先求出，再由勾股定理求出，设设，则，再由勾股定理得出°，求出，从而得到是等边三角形，然后求出． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 所以四边形是菱形． 【小问2详解】 证明：因为四边形是菱形， 所以， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， 由（2）知，， ， 由（2）知， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ， ， ∴， ∴， 是等边三角形， 又四边形是菱形， ， ， 即的长为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是构建相似三角形，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $