第2章 一元二次方程（24个高频易错考点训练 共48题）章节复习培优专项训练-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第2章 一元二次方程（易错题考点集训） 【24个高频易错考点 共48题】 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 2 易错考点02：判断是否是一元二次方程的解 2 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 3 易错考点04：—元二次方程的解的估算 4 易错考点05：解一元二次方程一直接开平方法 5 易错考点06：解一元二次方程—配方法 7 易错考点07：配方法的应用 7 易错考点08：根据判别式判断一元二次方程根的情况 10 易错考点09：根据一元二次方程根的情况求参数 11 易错考点10：公式法解一元二次方程 12 易错考点11：因式分解法解一元二次方程 13 易错考点12：换元法解一元二次方程 14 易错考点13：—元二次方程的根与系数的关系 16 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 18 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 19 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 21 易错考点17：数字问题(一元二次方程的应用） 24 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 26 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 27 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 29 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 31 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 33 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 35 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 37 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 利用一元二次方程的定义进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【规范解答】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 易错考点02：判断是否是一元二次方程的解 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【规范解答】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 5．（23-24八年级下·山东日照·期末）关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【规范解答】解：将代入，得， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】，． 【思路引导】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得整体代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 易错考点04：—元二次方程的解的估算 7．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【规范解答】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 8．（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【规范解答】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 易错考点05：解一元二次方程一直接开平方法 9．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【规范解答】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） 【答案】(1)，， (2)，． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，题目较为简单，熟记配方法和直接开平方法的解题步骤是本题的关键． （1）首先把方程化为的形式，再利用平方根的定义解方程即可， （2）首先移项，然后方程等号两端同时加16后，左边是完全平方公式，然后开平方，即可求解． 【规范解答】（1）） 解得，， （2）） 解得：，． 易错考点06：解一元二次方程—配方法 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【规范解答】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 12．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【规范解答】解：， ， ， ∴． 故选：A． 易错考点07：配方法的应用 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）当 时，多项式有最大值？求出这个最大值是 ． 【答案】 5 【思路引导】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【规范解答】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025 【思路引导】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【规范解答】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 易错考点08：根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程，有两个不相等的实数根： (1)求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为2，求k的值． 【答案】(1) (2)3 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键： （1 ）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解不等式得出即可； （2 ）将代入，进而求出k的值，进而得出方程的解． 【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴代入方程得： 即， 解得：或， ∵， ∴． 16．（2024·四川眉山·一模）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【思路引导】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 原方程有两个实数根， 故选A． 易错考点09：根据一元二次方程根的情况求参数 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握平方的非负性．根据一元二次方程有实数根，可得． 【规范解答】解：一元二次方程有实数根， ， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据关于x的一元二次方程有实数根，得，且，即可求解． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得， ∴a的取值范围是且， 故选：C． 易错考点10：公式法解一元二次方程 19．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决． 【规范解答】解：， ， ，，， 故选：C． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程； （1）将方程化为，用直接开平方法求解即可； （2），，，用公式法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：，，， ， ， ，． 易错考点11：因式分解法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·广东珠海·开学考试）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴． （2）解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【思路引导】本题考查解一元二次方程． （1）移项，因式分解，解一元一次方程即可； （2），用求根公式解方程即可． 【规范解答】（1）解： 移项，得， 因式分解，得， ∴，或， ∴，； （2）解： ， 方程有两个不相等的实数根 ， ∴，． 易错考点12：换元法解一元二次方程 23．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则方程可转化为，则可得关于的方程的解是，由此即可得． 【规范解答】解：令，则方程可转化为， ∵关于的方程的解是（为常数，）， ∴关于的方程的解是， ∴或， ∴或， ∴方程的解是， 故答案为：． 24．（22-23九年级上·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路引导】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，换元法解一元二次方程． （1）对原方程进行整理，分解因式，求解即可； （2）对原方程进行整理，用公式法解方程即可； （3）设，则，对原方程进行转化，整理可得，解方程可得的值，代入，即可得原方程的解． 【规范解答】（1）解：∵ 去括号、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴， （2）解： 整理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：设，则， 原方程化为， 整理得， 解得，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴， 易错考点13：—元二次方程的根与系数的关系 25．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【规范解答】（1）解：将代入方程，则， ； （2）解：，， ，， 解得：，； （3）证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 26．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【规范解答】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 27．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ (2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 【答案】(1)每只发病的鸡平均每天传染7只鸡 (2)若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每只发病鸡平均每天传染只鸡，根据“第一天发现3只鸡发病．到第三天共有192只鸡发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3天后鸡的发病数天后鸡的发病数，即可求出3天后鸡的发病数，再将其与1500进行比较即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设每只发病鸡平均每天传染只鸡， 依题意，得：， 解得：， （不合题意，舍去）． 答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡． （2）解：（只），． 答：若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只． 28．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【规范解答】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 29．（23-24九年级上·天津宝坻·阶段练习）国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同． (1)求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率． (2)如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，根据2020年收入（1增长率） 2022年收入列方程求解即可； （2）利用2022年的收入（1增长率）即可求解． 【规范解答】（1）解：设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：或（舍）， 答：该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为； （2）解：（万元）， 答：2023年该公司快递业务收入为万元． 30．（24-25九年级上·重庆·期末）火锅和串串是重庆特有美食，“五一黄金周”期间，到洪崖洞景区选择品尝火锅和串串的游客共2500人，其中火锅和串串的人均消费分别为80元和60元． (1)“五一”期间，若选择火锅的人数是串串人数的1.5倍，求有多少人选择串串？ (2)随着“五一”的结束，前来重庆游玩的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择火锅的人数下降了，选择串串的人数不变，但选择火锅的人均消费增长了，选择串串的人均消费增长了，销售总额为18万元，求a的值． 【答案】(1)1000人选择串串 (2)10 【思路引导】（1）设有x人选择串串，则有人选择火锅，根据选择火锅的人数是串串人数的1.5倍列出方程，即可求解； （2）根据最终销售总额为18万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【规范解答】（1）解：设有x人选择串串，则有人选择火锅， 依题意，得：， 解得：． 答：1000人选择串串； （2）解：依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：a的值为10． 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 31．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【答案】【理解应用】② 【类比迁移】 【拓展应用】；3；1或 【思路引导】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【规范解答】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：； [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或． 32．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 【思路引导】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个； （2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， …… ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， 故答案为： ， （2）存在，理由如下： 设图案中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得： ， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 易错考点17：数字问题(一元二次方程的应用） 33．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键． （1）根据题意，通过设未知数，建立一元一次方程，解方程即可得解； （2）利用整体思想，将连分数设为变量，整理可得一元二次方程，最后用配方法解方程，结合即可得解． 【规范解答】（1）解：设， 则， ， 移项得，， 解得，， （2）解：设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即． 由此可得， ，， ， 的值为． 34．（25-26九年级上·全国·课后作业）2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 【答案】这个最小数为． 【思路引导】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【规范解答】解：设这个最小数为，则最大数为． 依题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：这个最小数为． 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 35．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【规范解答】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 36．（24-25九年级上·全国·期末）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【规范解答】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 37．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 38．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，经过多少时间，的面积等于矩形面积的？ 【答案】经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的 【思路引导】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长．设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【规范解答】解：设经t秒，面积等于矩形面积的， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴当点M到达点B时，点N到达点A，两点同时停止运动， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 39．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【思路引导】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【考点剖析】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 40．（2022·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【思路引导】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【考点剖析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 41．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【思路引导】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 42．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【思路引导】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【规范解答】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 43．（2025九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【思路引导】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【规范解答】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 44．（2025·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确 【思路引导】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论； （2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确． 【规范解答】（1）证明：设中间的数为， ∴ ． （2）解：设这五个数中最大数为， 由题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大的数是29． （3）他的说法不正确． 解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14）， 依题意，得：y（y−14）＝120， 解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）． ∵20在第一列， ∴不符合题意， ∴小明的说法不正确． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 45．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 【答案】(1)； (2)公顷 (3)万元 【思路引导】（）根据成正比例的定义列出函数式即可； （）根据题意列出方程求出的值，进而结合资金不超过万元解答即可求解； （）根据（）的结果列出算式计算即可求解； 本题考查了列函数式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜， ∴， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； ∴， 答：应该修建公顷的大棚； （3）解：万元， 答：他三年的纯收益共有万元． 46．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以v米/秒的速度竖直向空中发射，经过t秒时，物体距离地面的高度（米），（其中）根据这个规律，若发射的速度米/秒时，问： (1)经过多少秒时，物体距离地面的高度是490米？ (2)求物体落回地面所需要的时间． 【答案】(1)10秒 (2)20秒 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）把代入得关于t的方程，解方程求出答案即可； （2）由题意可知，再把把代入得关于t的方程，解方程求出答案即可． 【规范解答】（1）解：把代入得： ， ， ， ， ∴， ∴经过10秒时，物体距离地面的高度是490米； （2）解：由题意得， 把代入得： ， ， ， 或， 解得：（不合题意舍去） ∴物体落回地面所需要的时间为20秒． 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 47．（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【规范解答】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 48．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）2024年南宁市举办中学生“希望杯”篮球赛，某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛?设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．每两个队伍之间比赛一场，总比赛场数等于从x个队中任选两个的组合数，即，由此建立方程，即可作答． 【规范解答】解：设有个队参赛，每个队需与其他个队各比赛一场， ∵由于每场比赛被两队各计算一次，总场数需除以2， 因此方程为， 故选：A 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程（易错题考点集训） 【24个高频易错考点 共48题】 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 2 易错考点02：判断是否是一元二次方程的解 2 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 2 易错考点04：—元二次方程的解的估算 2 易错考点05：解一元二次方程一直接开平方法 3 易错考点06：解一元二次方程—配方法 3 易错考点07：配方法的应用 3 易错考点08：根据判别式判断一元二次方程根的情况 4 易错考点09：根据一元二次方程根的情况求参数 5 易错考点10：公式法解一元二次方程 5 易错考点11：因式分解法解一元二次方程 5 易错考点12：换元法解一元二次方程 6 易错考点13：—元二次方程的根与系数的关系 6 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 7 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 8 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 8 易错考点17：数字问题(一元二次方程的应用） 10 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 11 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 12 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 13 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 14 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 15 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 16 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 17 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）当 时，关于的方程是一元二次方程． 易错考点02：判断是否是一元二次方程的解 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 5．（23-24八年级下·山东日照·期末）关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ． 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值：，其中是方程的根． 易错考点04：—元二次方程的解的估算 7．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 易错考点05：解一元二次方程一直接开平方法 9．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则 ． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） 易错考点06：解一元二次方程—配方法 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 易错考点07：配方法的应用 13． （25-26九年级上·全国·课后作业）当 时，多项式有最大值？求出这个最大值是 ． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 易错考点08：根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程，有两个不相等的实数根： (1)求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为2，求k的值． 16．（2024·四川眉山·一模）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 易错考点09：根据一元二次方程根的情况求参数 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 18．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．或 易错考点10：公式法解一元二次方程 19．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）解方程： (1)； (2)． 易错考点11：因式分解法解一元二次方程 21．（25-26九年级上·广东珠海·开学考试）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 22．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）解方程： (1)； (2) 易错考点12：换元法解一元二次方程 23．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ． 24．（22-23九年级上·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 易错考点13：—元二次方程的根与系数的关系 25．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 26．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 27．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ (2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 28．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 29．（23-24九年级上·天津宝坻·阶段练习）国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同． (1)求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率． (2)如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？ 30．（24-25九年级上·重庆·期末）火锅和串串是重庆特有美食，“五一黄金周”期间，到洪崖洞景区选择品尝火锅和串串的游客共2500人，其中火锅和串串的人均消费分别为80元和60元． (1)“五一”期间，若选择火锅的人数是串串人数的1.5倍，求有多少人选择串串？ (2)随着“五一”的结束，前来重庆游玩的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择火锅的人数下降了，选择串串的人数不变，但选择火锅的人均消费增长了，选择串串的人均消费增长了，销售总额为18万元，求a的值． 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 31．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 32．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 易错考点17：数字问题(一元二次方程的应用） 33．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 34．（25-26九年级上·全国·课后作业）2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 35．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·全国·期末）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 37．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 38．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，经过多少时间，的面积等于矩形面积的？ 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 39．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 40．（2022·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 41．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 42．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 43．（24-25九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 44．（2025·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 45．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 46．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以v米/秒的速度竖直向空中发射，经过t秒时，物体距离地面的高度（米），（其中）根据这个规律，若发射的速度米/秒时，问： (1)经过多少秒时，物体距离地面的高度是490米？ (2)求物体落回地面所需要的时间． 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 47．（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）2024年南宁市举办中学生“希望杯”篮球赛，某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛?设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $