1.2.1 必要条件与充分条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦必要条件、充分条件与充要条件，通过回顾初中已学命题及性质定理（如菱形对角线垂直）、判定定理（如a>0,b>0则ab>0）导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后逻辑知识脉络。 其亮点在于以实例分析为核心，结合数学眼光（从菱形性质抽象必要条件）、数学思维（通过例题推理p与q的推出关系）和数学语言（用“当且仅当”表述充要条件）。实例丰富如勾股定理逆定理，练习分层，学生能深化逻辑理解，教师可高效实施教学。

数学北师大版 高一上 常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件,全称量词与存在量词,全称量词命题与存在量词命题以及它们的否定. 在初中数学中,已经学过:可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“ p是q”两种形式.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作 p⇒q. 2常用逻辑用语 一、必要条件与性质定理 实例分析 在初中数学中,我们学习过一些性质定理,例如: 定理1菱形的对角线互相垂直.即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直. 定理1是菱形的性质定理,即对角线互相垂直是菱形必不可少的性质.也就是说,如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直,而一旦某个四边形的对角线不互相垂直,那么这个四边形一定不是菱形. 2.1必要条件与充分条件 思考交流 试用分析定理1的方法分析定理2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等. 定理3 如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等. 抽象概括 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说，一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的. 例如,在定理1中,“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件. 例1将下面的性质定理写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述:(1)平面四边形的外角和是360°; (2〉在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个点的横坐标相同. 解(1)“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形,则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件; (2)“在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“在平面直角坐标系中,若两个点关于x轴对称,则这两个点的横坐标相同”,所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中,两个点关于x轴对称”的必要条件. 二、充分条件与判定定理 实例分析 在初中数学中,我们学习过一些判定定理,例如: 定理4若a>0,b>0,则ab>0. 定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理6平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似. 定理4是说:如果满足了条件“a>0,b>0”,一定有结论“ab>0”.但要注意,当ab>0时,a>0,b>0不一定成立,例如,由“a<0,b<O”,也可以判定“ab>0”.实际上,定理4告诉我们:只要有了“a>0,b>0”这个条件,就可以判定“ab>0”. 思考交流 试用分析定理4的方法分析定理5、定理6. 抽象概括 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件. 综上,对于真命题“若p,则q”,即 p⟹ q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件. p⟹ q可以理解为只要有条件p,就一定有结论q. 即p对于q是充分的.也就是说,为了得到结论,具备条件p就足够了. “若p,则q”形式的命题为真命题是指: 由条件p可以得到结论q,通常记作:p⟹ q, 读作“p推出q”. 此时我们称p是q的充分条件. 例2用充分条件的语言表述下面的真命题: (1)若a=-b,则|a|=|b|; (2)若点C是线段AB的中点,则AC=BC; (3)当ac<0时,一元二次方程ax2+bx＋c=0有两个不相等的实数根. 解(1)“a=-b”是“|a|=b”的充分条件﹔ (2)“点C是线段AB的中点”是“AC=BC”的充分条件; (3)“ac<0”是“一元二次方程ax2+bx＋c=0有两个不相等的实数根”的充分条件. 下列各组中,p是q的充分条件吗? (1)p:α是第一象限角,q:sinα>0, (2) P:y=f(x)是正弦函数.q:y=f(x)是周期函数; (3)p:直线l1和l2是异面直线q:直线l1和l2不相交. 请再举一些“若p,则q形式的命题,使P是q的充分条件. 例2在以下各题中,判断哪些有p⟹ q,哪些有q⟹ p并分析各题中p与q的关系: (1) p:四边形是正方形,q:四边形的四个角都是直角; (2) p:直线l和平面α内的一条直线垂直,q:直线l和平面α垂直 (3) p:a,b,成等比数列,q:b2=ac. 解(1)由于p⟹ q.故p是q的充分条件q是p的必要条件: (2)由于q⟹ p故:q是p的充分条件,p是q的必要条件; (3)由于p⟹ q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. 例3分析下列各题中p与q的关系: (l) p;x>5,q:x>3; (2) p;a2=4,q;a=2 (3)p:向量α=0或向量β=0.q:α·β=0. 解(l)由p⟹ q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件; (2)由于q⟹ p,故:q是p的充分条件,p是q的必要条件; (3)由于p⟹ q,故p是q的允分条件,q是p的必要条件. 三、充要条件 实例分析 在初中数学中,勾股定理及其逆定理是非常重要的数学定理. 勾股定理如果一个三角形为直角三角形,那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的逆定理﹐如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和,那么这条边所对的角是直角. 在勾股定理中,“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件;“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件. 在勾股定理的逆定理中,“三角形的一个角是直角”是“三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件; “三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件. 一般地,如果 p⟹ q,且q⟹ p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件，记作p⟺ q. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. 充要条件是数学中非常重要的概念,运用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容. 例如，“三角形一边的平方等于其他两边的平方和”与“三角形一边上的中线等于该边长的一半”都可以用来定义直角三角形. 抽象概括 我们常用“当且仅当"来表达充要条件. p是q的充要条件也可以说成; p成立当且仅当q成立. 如果 p,q分别表示两个命题,它们互为充要条件,我们通常称命题p和命题q是两个相互等价的命题. 给定p,q,有p是q的充分条件,但不是q的必要条件.例如，“一个数的末位数字为0"是“这个数能被5整除"的充分条件但不是必要条件. 有时,p是q的必要条件,但不是q的充分条件.例如,在直角坐标系中,“两条直线平行”是“这两条直线斜率相等”的必要条件,但不是充分条件,因为有的直线斜率不存在. 有时,既不是q的充分条件,也不是q的必要条件. 例如,“a>b”既不是“a2>b2”的充分条件,也不是“a2>b2”的必要条件. 例3在下列各题中,试判断p是q的什么条件. (1) p:A⊆B,q:A∩B=A; (2)p:a=b,q :|a|=|b|; (3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形. 解(1)因为命题“若A⊆B,则A∩B=A”为真命题,并且“若A∩B=A,则AA⊆B”也为真命题,所以p是q的充要条件; (2)因为“a=b”→“|a|=|b|”,但是“|a|=|b|”不能推出“a=b”,例如,“|1|=|-1|”，而“1≠-1”,所以p是q的充分条件,但不是必要条件; (3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”,并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”,所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件. P18练习 $