2.1 必要条件与充分条件（题型专练）数学北师大版2019必修第一册

2.1必要条件与充分条件 题型一：充分条件的判断 1．“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 3．使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 4．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：必要条件的判断 1．“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 2．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题中，为假命题的是（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 4．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：充分不必要条件 1．．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．或 C． D．或 5．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 题型四：必要不充分条件 1．“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 4．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 题型五：充要条件 1．已知，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知集合，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则“”的充要条件为（ ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 4．“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知，，若是的充要条件，则实数______________． 题型一：充分不必要条件求参 1．（多选）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 3．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型二：必要不充分条件求参 1．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是_______________． 3．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 2．已知，求证：成立的充要条件是．提示： 3．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1必要条件与充分条件 题型一：充分条件的判断 1．“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，有，充分的，但时可能有，不必要． 故选：A． 2．使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由充分条件的定义即可得到答案. 【详解】根据充分条件的定义，由可以得出，B正确； 若，取，无法得到，A错误； C显然错误； 若，取，无法得到，D错误. 故选：B. 3．使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 4．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故． 题型二：必要条件的判断 1．“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】根据必要条件的定义进行判断可得答案. 【详解】因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数. 所以“a+b是偶数”不能推出“a和b都是偶数”， 显然“a和b都是偶数”⇒“a+b是偶数”. 所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件. 故选：B 2．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定. 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 3．下列命题中，为假命题的是（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题． 4．已知，若是的必要条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是的必要条件，，. 故选：B. 题型三：充分不必要条件 1．．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，且当时，，即当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的概念即可判断. 【详解】充分性：根据这句话的大意可知，如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力取得更多成功，所以充分性成立； 必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的， 故“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件． 故选：B 3．设，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，，若，可得，故充分性成立； 由，即，，可得，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 5．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要条件. 【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，， 由甲是乙的充分不必要条件得，B， 由乙是丙的充要条件得，， 由丁是丙的必要不充分条件得，D， 所以D，，故甲是丁的充分不必要条件. 故选：A. 题型四：必要不充分条件 1．“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集即可求解. 【详解】，， 即“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得或，则不一定成立，如； 由，得且，则必成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，但菱形的对角线一定垂直. 【详解】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 4．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合， 当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合， S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误； 对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合， 当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误. 故选：A. 5．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 题型五：充要条件 1．已知，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，得，即，充分性成立， 由，则，即，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件 故选：C 2．已知集合，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．设，则“”的充要条件为（ ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 4．“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，由韦达定理代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】若“一元二次方程有一个正根和一个负根”成立， 由韦达定理可得，所以成立， 反之，若“”成立， 此时一元二次方程的，此时方程有两个不等的根， 由韦达定理可得此时， 即方程两个根的符号相反， 即一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的充要条件. 故选：C 5．已知，，若是的充要条件，则实数______________． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 题型一：充分不必要条件求参 1．（多选）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 2．已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可； （2）由题可知此时，再分和讨论即可. 【详解】（1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. 3．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 题型二：必要不充分条件求参 1．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 3．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 4．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 1．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 2．已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 3．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$