第9节 专题：数列不等式的证明与放缩 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦数列不等式的证明与放缩方法，围绕通项求解、前n项和性质及不等式恒成立问题展开，通过典例引导学生从具体到抽象构建知识链，由等差等比数列的基本运算过渡到放缩技巧的灵活应用，形成清晰的学习支架。 资料亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”。如典例11至13通过裂项放缩揭示分母减数对精度的影响，让学生在试错中理解放缩起点的选择逻辑，培养严谨推理习惯；练习20用等比放缩将复杂数列转化为可求和形式，强化结构化思维。教师可借此提升课堂深度，学生则能建立数列不等式证明的系统策略，增强数学建模与逻辑表达能力。

第九节 专题:数列不等式的证明与放缩 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍练题型 数列不等式的证明 1 【典例▪1】已知为等差数列,公差,且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）记,数列的前项和为,证明:. 【变式▪2】（2024·四川高二阶段练习）记数列的前项和. （1）证明:为等差数列; （2）若数列的前项和,证明. 【练习▪3】（2024·辽宁辽阳一模）已知数列满足. （1）求的通项公式; （2）设,证明:. 【练习▪4】已知{}的前项和为,. （1）求数列{}的通项公式; （2）设,为数列的前项和.证明: 【练习▪5】（2024·山东青岛高二期末）已知数列的前项和为,,. （1）求数列的通项公式 （2）设,记数列的前项和为,证明. 【练习▪6】（2024·吉林）已知数列前项和为,若,成等差数列. （1）求证:数列是等比数列; （2）记的前项和为,求证:. 【练习▪7】已知数列的前n项和为,, ,. （1）证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式; （2）记,数列的前n项和为,证明:. 【练习▪8】已知数列满足:. （1）求数列的通项公式; （2）若数列的首项为1,其前项和满足,证明:对任意的, . 【练习▪9】已知正项数列的前n项和为,且满足,,,数列满足. （1）求出,的通项公式; （2）设数列的前n项和为,求证:. 【练习▪10】（2024·河南新乡二模）已知数列满足,. （1）记,证明数列是等比数列,并求的通项公式; （2）求的前项和,并证. ▍练题型 数列放缩法证明不等式 2 ▶类型1:裂项放缩 放缩的目的: 一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小. 二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小. 放缩的原则: 放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩（例题会有讲解）. 放缩的方法: （1）当我们要证明多项式时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式放大为,当我们能够证明,也间接证明了.切不可将缩小为,即使能够证明,与的关系无法得证. （2）当我们要证明多项式时,这时我们可以将多项式缩小为,当我们能够证明,也间接证明了.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1. 常见的放缩形式: （1）; （2）; （3）; （5）; （6）; （7） ; （8） ; （9）. 【典例▪11】求证 【典例▪12】求证 【典例▪13】求证 总结:通过【11】和【12】我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是,1.不难发现,减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过【13】我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项. 【练习▪14】已知,设,求证: . 【练习▪15】已知数列中,,其前项的和为,且当时,满足. （1）求证:数列是等差数列; （2）证明:. 【练习▪16】（2024·宁夏·一模）已知数列的首项,且（）. （1）求数列的通项公式; （2）若数列的前项和为,证明:. 【练习▪17】已知函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上.若 （1）当时,试比较与的大小; （2）记试证. 【练习▪18】已知正项数列的前项和为, ,且满足. （1）求数列的通项公式; （2）求证:当时,. 【练习▪19】（2024·福建漳州一模）已知正项数列的前项和为,且满足. （1）求数列的通项公式; （2）若,为数列的前项和,证明,. ▶类型二:等比放缩 所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和.难度较大,可根据自身基础,适当学习. 【典例▪20】证明: 【练习▪21】数列满足:,. （1）求证是等差数列并求; （2）求证:. 【练习▪22】已知函数,数列中,若,且. （1）求证:数列是等比数列; （2）设数列的前项和为,求证:. 【练习▪23】已知数列中,,其前项和满足:. （1）求数列的通项公式; （2）令,数列的前项和为,证明:对于任意的,都有. 【练习▪24】（2024·云南高二）已知正项数列满足,. （1）证明:数列是等比数列; （2）证明:. 【练习▪25】已知数列满足,前项和满足是正项等比数列,且是和的等比中项. （1）求数列和的通项公式; （2）求证:. 【练习▪26】已知数列满足 ,又. （1）当时,求数列的通项公式； （2）若数列满足不等式恒成立,求的取值范围； （3）当时, 证明. $第九节专题：数列不等式的证明与放缩 重点题型专练 【1】(1)a.=2n-1(2)证明见解析 解析：(1)依题意a=a,+d=a,+2,a,=a,+4d=a,+8, 又a、a、a成等比数列， 所以a,a,=a,即a,(a,+8)=(a,+2),解得4=1， 所以a.=a,+(n-2=2n-1。 2)由a可特点a女a-0叮】 所以8=6+6++b。 非 ++11 22n-12n+1 好+点司 11 片 【2】(1)证明见解析(2)证明见解析 解析：(1)当n22时，S=na-4-n(a-), 则a.=S。-S-1=(n+1)a.-n(a+1)-na-1+n(a-1上+1上.-na-,-2n, 故na。=na。-1+2n,即a.-a4=2, 当n=1时，有a,=S=(1+1)a,-(1+1),即a,=2, 故数列{a}是公差、首项均为2的等差数列： (2)由数列{a}是公差、首项均为2的等差数列，故 a.=2+2(n-1)=2n, 故红<宁又本在之1时单调递减 故无-北随：的带大而附大故北古}片 【3】(1)a.=2(2)证明见解析 解析：(1)由题意可知，当n=1时，4=2： 当n≥2时，由a1+2a2+.+na.=(n-1)2+2得 a+2a2+.+(a-1an=(2-2）2“+2 故na=(n-121-(a-22”=n2a=2， 4=2也适合该式，故a=2”: (2)证明：由题意知b.= 故6+b,+…+bn= 曲于aeN,宁+0故仔+)号 即有+热+6有 【4】(1)a。=4×3:(2)证明见解析 解析：(1)当n≥2时，2S1=3a1-4,又2S=3a.-4,则a.=3an-1 当n=1时，2a1=3a1-4,解得4，=4， 故{a}是首项为4，公比为3的等比数列，则a=4×31: 藏=引哈引+女 所11，即<2，又=中 是单调递增数列，则 (2+1 T≥I=1综上，1≤T<2 【5】(1)a.=2(2)证明见解析 解析：(1)由a=S+2, 当n≥2时，则a.=S-1+2, 可得aH-a.=S-S1=an,则a=2a: 当n=1时，则a2=S1+2=a1+2=4,可得a2=2a,: 综上所述：可得a=2a.,4,=1,可知{a}是首项为2，公比为2的等比 数列，所以{a}的通项公式为a.=2 1 1一=1(11 (2)由（1)可知：，1o,2iog2ma+22an+2 可将-0后品 微0时品}品司动经 【6】详见解析 解折：(1)8=4=子 因为2S,S,S1成等差数列，所以 2S+81=3(a≥22) 所以8-1=-，且8-14-1 所以数列权-号是以上为首项，为公比的等比数列， 2由a)如8-1时(-( 五8--++-=(++ ] (司 方面=北}行另一方 面-最宁)北司)六0，红}是递增数列所以 五0-》行综上所述字 【7】(1)证明见解析，a.=2+21(2)证明见解析 解析：(1)解：当n≥2时，由S1+2S,=3S.-2可变形为 SH-S=2(S.-S1)-2, 即a4=24-2,即a-2=26.-2）,所以2"子=2a≥2). a-2 四为3.44，可预42=4-2=2，所议号 所以数列{a.-2}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a。-2=2,所以数列{a.}的通项公式为a。=2+2- (2)解：由a=2+2,可得 2-1 2-1 a=a+2e*22*22+ 所以工=6+b,+b,++b 方片好安 1111 因为女0，所以时中女兮即无号 又因为方2中行eN单调道路 所拟6“++习立，所以吉红<分 【8】(1)a.=2(2)证明见解析 解析：(1)a-an=2,4=2 n≥2时， a.=a,+(a2-a)+(a3-a2)+…+(a-2-a1)+(a.-a-） =2+2+22++22+2 220-2-2 1-2 又4=2符合上式所以a=2 2)由asa-a+1=a+9 2 得8出-旦=8==1， n+1n2’1 激列昌是以公差为行首项为1的等装激列 则受=1+a-)=,即3=+ 2 当n≥2时，6，=3-3=+a-1m 2 2 b=1也符合该式，∴b.=n. 则2边=2。 a22 记工=+品+子++2兴 12 由 3安++子+是 1 1.2.3 作差得=1+片+京+分 2∑-=2-2，则7=4-+2 2 21 2 m-7=“+3+10 212*2 ∴数列{}在n∈N上单调递增，(T)=工=1， 21.即丝+2边+…+2边≥1 1 【9】(1)a.=2°-1,6= (a+1旷：(2)证明见解析 解析：(1)由a+2=3红H-2a., 得a-a1=2(a-a).又a,-a=2, 则数列{a1-a}是首项为2，公比为2的等比数列， aH-a,=2×2-l=2", a2-4=2,4-a2=2,a4-a=2,,a-a4=2, 累加得a。-a,=2+22++24 4=1+2+2+…+2=2-2-1. 1-2 数列{c}满足2G+3c,+4c,+…+(a+1)c.=n,① 当1时6 当n≥2时，22c,+32c2+42c++n2c=n-1,② 1 由0-②可得，u+可 当n=1时，也符合上式， 1 故数列华}的通项公式为9a+ 2+1 n+1111 (2)由(1)可得 a+2[log,a.+1(a+2r24n2a+2j (a+2」 [5.1115 44(a+1a+2y6 故工<忌成立 【10】(1)证明见解析：b.=6-. (2)品.=×6-n-}:证明见解析。 解析：(1)证明：由题意可 之6 a2-1 所以数列{也}是首项4=a,=1,公比为6的等比数列. 于是b.=61 (2)由题意可知，a.=2a4-1,所以 S2.=a,+a2+a3+…+a=(a,+4++a1)+2+a,+…+a2a) =(a1+a++a21)+(2a,-1+2a,-1+…+a2a1-1 =3(a1+a1+…+4-1)-n=3(6+52+b3+…+b)-n 又b=a2=6, 令6=2-4m+2-g6-2-号6+2=56-2a+ 5 5 a66m6+r传6-+}6-20， 所以数列{c}单调递增，故c≥C=0,即2S.2a-2 【11】详见解析 解折因为宁亡。一可到 1 1 1 1 第一项没有经过放缩，因为分母不能为0，所以只能从第二项进行放缩.) 【12】详见解析 所因为宁“可合立e慰 1 宁宁++京+ 11,1 111 1 北兮片高子所以深试将 【13】详见解析 断：调为六六60可合立o:所烈 11 万+++<人+1 1 1 n-1 n +片+非片尚非小催是保留简两 项，从第三项开始放缩.) 【14】详见解析 解折：已知a=受6= ,因为 2 2 4 4 c,=2m2+Rn2m+12n2n+D(2n-l2m+0 品 1 1 1） 子+号子放不等式得证 【15】证明见解析 解折：(1)当n22时，8-8S, 88即安六 从而同骨}片皮以1为首项1为公法的等茶数乳 合+6-n,8=月 (2)由(1)可知，三= 11(11 故当n≥2时 ++++0-》+凯司 又当=1时，=1<子满足题意，故+++<子 法二：则当n22时=厅<一nn古万 111 那么 +*++合引G(点月子 又当a=1时，买=1<子，当时，=1<子满足题意。 【16】(1)a.=n+1(aeN)(2)证明见解析 解析：(1)因为na.=(n+1)a-1,n≥2 -=,且号=1， n+l n 数列{品司是以每项均为1的常数列 则品1，即a=a+6eN): (2)由(1)得a.=n+1, 2=2 211 区(a+a+2万n+2 1时片片片 【17】(1)b<2;(2)证明见解析. 解析：(1)÷f)=x2-2x 故S=n2-2n, 当n≥2时，a.=Se-S1=2n-3 当n=1时，a=S=-1适合上式， 因此a.=2n-3a∈W） 从而5=n,b1=n+124=2“， 当n≥2时，2=（1+1)=C°+C+..>n+1 故b<2=2 11 2)V5方，91 2 方h+万+2w--le,a≥2 2 G+G++cm<1+2(5-1+2(N5-2)++2(400-599 =2√400-1=39. 【18】(1)a.=子aeN)(2)证明见解析 解析：(1)由2S1+2S.=3a① 当n≥2时，2Sn+2S41=3a2② ①-②得：2an+2a=3(a2-a), a >0a+a 对于@式冷=，有传+a+2号=。 “4>0a=手，即数列{}是从第二项起，首项为手，公差为号的等 差数列. a当2时.4音-小水后 又4-号也满是上式 ∴a.=n,(aeN） (2)当n≥2时，京<(a-1' 1 .19 【19】(1)a,=2万--(2)证明见详解 解折：(1)因为8=28，则2a8=a+4,且a>0,s≥0 令n=1,则2S=S2+4,可得S=4: 又因为2anSa=a后+4，则2(Sn-S)SH=(1-S)广+4， 整理得S-S=4, 可知数列{}是以首项为4，公差为4的等差数列，则 S2=4+4(n-1)=4n, 且S>0,可得S=2Wn 当n=1时，a,=2: 当n22时，a=8-84=2(W万--1)： 可知a=2符合上式，所以a.=2(历-n-). 3636 （2)由1)可得：6，“S-6可aa-6可- 当n≥3时，b.= a两引品 9 10 1 ,945 45 45 且=9<25=9+9=18<2 综上所述：工<2 45 【20】详见解析 解折：令a则兰号号付 a2-12-22 1 又因为4=14，了由于不等式右边分母为3，因此从第三项开始放缩， 1 得+a+ta<+a+2++= 1 1）2 1- 故不等式得证. 【21】(1)证明见解析，a。=n,2:(2)证明见解析. ÷侣}是首项为号1，公滋为1的等弦数列 2 “经=1a-理=，8，=2 (2)证明：a.=n2,a=(a+)2,a4-a.=a+2)2, 当neW时，n+2>2,.(n+22>2, 六a+222, 1+1+ 1一+… 111 1 a2-41a,-a2a4-a3 aa-a 2+2+2+…2 身时 2 【22】(1)见解析：(2)见解析 解折：（1)由函数儿)=？2 ,在数列{a}中，若a=f(a), a。 得：a1=3-2a 上式两边取倒数，可得： 1==3-2a=3-2 Ca+ 1-1=3 :数列仕-}是以3为首项3为公比的等比数列 (2)由(1)，可知： -1 neN a。 :当er时，不等式宁成立 11 8=3+13+1 +京+ 1141 8分 【23】(1)a=2+1(2)见解析 解析：(1)由S。=2a.+n-3,于是， 当n22时，a=S-8=2a,-2a1+1, 即a。=2a-1-1, a。-1=2(a1-1),a1-1=1,数列{a.-1}为等比数列， .a。-1=21,即a.=21+1. 1 1 2)6a0-26+022≥2. .当n≥2时， 11 4 2 4 上乏显然成立， 当n=1时，五=26 综上，对于任意的e,都有工<名 【24】(1)证明见解析：(2)证明见解析. 解析：(1) y4a2+2a,=a1-an,a+2a.=a2l-4a=(an+2a)(al-2a）. ya,>0,ah+2a.>0,a1-2a,=1,即an=2a+1, 则有9+出28+=2且a+1=2, a.+1a,+1 ∴数列{红。+号是以2为首项，以2为公比的等比数列： (2)由(1)得a.+1=2”,即a=2-1,得 1 111 a252-232≥2)， 【25】(1)a.=n:b.=21(2)证明见解析： 解析：(1)当n≥2时，由2S=n2+n, 得2S4=(a-12+n-1, 相减得2a。=2n,∴.a。=n 当n=1时，a=1符合上式，a=n 设{b}的公比为9， 由题意得=a,×a4,即g2=4, 又q>0,g=2,6=2. 1 (2)证明：由题意得。十2n+2<2示 1+ 1 1 a+6a,+b,a+ 1 1 1- +4 4 周” 【26】(1)a=2”-1;(2)m2-3;(3)证明见解析. 解析：(1)由a 2a+3a+1_2a+a+=2a.+1, a+1 a+1 得a1+1=2(a,+),"a,+1≠0，又6+1=2， 数列{a.+}是以2为首项以2为公比的等比数列， an+1=(a,+1)2, .an=2-1: (2)由a1≥a。,而a,=1.a。21. :2过++m≥a,m2-a-2a a。+1 ∴m≥-(a.++1恒成立， a.21,m2-22+1,即m≥-3； (3)由(2)得当-3≤m<1时知a.≥a。,.a.21, a+1...cmm= 1 设c= a+1 1 cn2运+3a,+m+1”2a,++m-1 a +1 a.+1 m<1.m-1<0, 故Ca+> a+1 2(+) ∴C= 6.>2>>>222. 1 1 1 当时1时，6分 1+11 1 当n22时.6+6++c,>2京+2++五 -1 1) 1 12 1 1 即a+ia+1 2