专题强化02：数列求和与不等式【九大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

该高中数学讲义通过知识框架图系统构建数列求和与不等式的复习体系，梳理分组法、并项法等七种求和方法，按“题型归纳-例题解析-变式训练”分层呈现，清晰展示各方法的适用场景与内在逻辑。 讲义亮点在于分层设计的例题与变式题，精选各地月考及模拟真题，如错位相减法求解等差乘等比数列求和，培养数学思维与运算能力，助力学生掌握通法通解，教师可据此实施精准化复习教学。

专题强化02：数列求和与不等式 【题型归纳】 【题型探究】 题型一、分组法求和 【例1】．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 【变式1】．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【变式2】．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型二：并项法求和 形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 【例2】．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【变式1】．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【变式2】．（25-26高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 题型三、倒序相加法求和 【例3】．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【变式1】．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【变式2】．（23-24高三上·云南·月考）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 题型四、错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．　 【例4】．（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【变式1】．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【变式2】．（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 题型五、裂项相消法求和 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－.⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 【例5】．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 【变式1】．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【变式2】．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 题型六：数列与不等式的交汇 【例6】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【变式1】．（25-26高二上·河北·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 【变式2】．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列前项和，数列前项和． (1)求数列，的通项公式： (2)若，求数列前项和； (3)若，为数列的前项和，且恒成立，求的取值范围． 题型七：数列求和的其他方法 【例7】．（25-26高二上·河北·月考）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 【变式1】．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式2】．（23-24高三上·河南·期中）记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 【专题训练】 1．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知等差数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 3．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 6．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 7．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且. (1)求,的通项公式； (2)设,的前项和分别为，求. (3)设为数列的前项和，求. 8．（2025·四川成都·一模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 9．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为； (3)在（2）的条件下，求满足的n的最小值. 10．（25-26高二上·江苏南京·月考）记数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前2n项和B2n； (3)设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 11．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 12．（25-26高二上·福建宁德·月考）记数列的前n项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求； (3)，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值. 13．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 14．（25-26高三上·山东·月考）定义：若一个等差数列的首项和公差都是素数，则称该数列为数列．已知数列是数列，前4项的和为20，数列是首项为1且公比为2的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求实数的最大值． 15．（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证： 16．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知数列满足，． (1)求证：数列为等比数列； (2)求满足的正整数的最大值； (3)若，求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：数列求和与不等式 【题型归纳】 【题型探究】 题型一、分组法求和 【例1】．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为，所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）可知，所以； 所以，所以 . 【变式1】．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 【变式2】．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可. （2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. （2）由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 题型二：并项法求和 形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 【例2】．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据与的关系运用作差法和等差数列的定义即可判定等差数列，求得其通项公式； （2）根据数列的通项公式，对分奇偶两类分别求和，利用裂项相消法和公式法计算即得. 【详解】（1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列. 令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 【变式1】．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得， 则， 由可得， 所以当，依然成立， 的通项公式为. （2）由（1）得 则 ， 所以数列的前20项和. 【变式2】．（25-26高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，当，求出，当得出，然后结合已知条件得出证明； （2）由（1）得出，然后对进行讨论，结合对数运算性质和等差数列求和公式以及裂项相消法求数列和，分别求出和，然后相加即可得出. 【详解】（1）证明：对于，， 当时，，， 当时，由，① 得，② ①②两式相减得， 由于， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得出， 所以当为奇数时， ，， 所以奇数项以为首项，公差为2的等差数列， 又，所以， 当为偶数时，， ， 所以 ， 所以. 题型三、倒序相加法求和 【例3】．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【变式1】．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【变式2】．（23-24高三上·云南·月考）已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解； （2）利用倒序相加法求和即可. 【详解】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 题型四、错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．　 【例4】．（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 【变式1】．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）结合已知得，，再根据等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）由题知，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为数列满足，即 所以， 又，，故,， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. （2）因为等差数列的通项公式， 可得， 所以  ①，   ②， 得： ， 所以. 【变式2】．（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）根据条件可得，利用等比数列的定义推理得证，再求出等比数列通项公式. （2）由（1）得，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由，得，而， 所以是首项为5，公比为5的等比数列，则，即. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ，则， 所以数列前项的和. 题型五、裂项相消法求和 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－.⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 【例5】．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用求出即可； （2）利用裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，所以当时， 两式作差得， 又，符合上式，故； （2）由（1）得，， 故， 故. 【变式1】．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式构造等比数列，再由等比数列的通项公式化简即得； （2）先求得，求出的通项，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）可得，所以， 故 . 【变式2】．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解. （2）根据给定的递推公式，用消去，再利用等差数列定义推理得证. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在正项数列中，， 当时，，又，故， ，而，解得； 当时，，又，故， ，即，而，解得， 所以，. （2）在正项数列中，，当时，， 则，即， 所以是首项为4，公差为4的等差数列. （3）由（2）得，由是正项数列，得，则， 因此， ， 所以数列的前项的和. 题型六：数列与不等式的交汇 【例6】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【详解】（1）由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； （2）（i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 【变式1】．（25-26高二上·河北·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)，最小值为4. 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式； （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围； （3）裂项得，再求和得到，最后解不等式即可. 【详解】（1）在数列中，①， 又因为②,， 所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知， 所以． 所以， 所以 . 由，得，即． 因为，所以当时，； 当时，． 所以当时，，所以使的的最小值是4． 【变式2】．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列前项和，数列前项和． (1)求数列，的通项公式： (2)若，求数列前项和； (3)若，为数列的前项和，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)的取值范围为. 【分析】（1）利用作差法求解，构造等比数列求解； （2）通过错位相减法求解； （3）通过裂项可得，再分别求解以及即可. 【详解】（1）因为，当时，，当时，，，所以， 所以当时，，所以；同理，当时，，即，当时，，， 两式相减，所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以,. （2）由（1）可得，，所以①， ②， ①②可得， ，所以， . （3），所以，所以当时， 可得 ，当增大时，减小，所以的最大值为 当时，，当增大时，增大，此时趋近于 又因为，所以，所以的取值范围为. 题型七：数列求和的其他方法 【例7】．（25-26高二上·河北·月考）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据所给递推关系，取倒数后利用等差数列定义证明，再利用等差数列通项公式可求出； （2）根据裂项相消法求和； （3）先证明数列为等差数列，求其前项和为，再分类讨论求即可. 【详解】（1）由可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 所以. （2）因为， 所以 （3）因为数列为等差数列， 所以， 所以，所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，设前项和为， 则， 令，解得， 当时，， 所以， 当时，, 综上，. 【变式1】．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 【详解】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 【变式2】．（23-24高三上·河南·期中）记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由知为等差数列，然后求出的通项公式，利用化简，得到与关系，求出数列的通项公式. （2）对化简，分n为奇数和偶数，求出数列的前n项和，从而确定最值. 【详解】（1）因为，所以为等差数列. 因为，，所以. 所以数列的首项为1，公差为，所以. 所以，即. 当时，， 所以，化简可得. 所以，所以数列是常数列，即， 所以. （2）由（1）可知. 所以 . 当n为奇数时，，是关于n单调递减的数列，所以，即； 当n为偶数时，，是关于n单调递增的数列，所以，即. 所以的前n项和的最大值为，最小值为 【专题训练】 1．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知等差数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差即可； （2）根据数列的类型，可选择错位相减法求其前n项和． 【详解】（1）由题意得，解得， ∴； （2）， 两式相减得 ∴． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，，得到，结合错位相减法求和，即可得到答案. 【详解】（1）解：由数列是首项为1，公比为3的等比数列，可得， 因为数列是等差数列，设其公差为，首项为， 又因为，可得，即，解得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由数列的通项公式为， 又由，所以， 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 3．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可. （2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； （2）由题意， 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， ， 故. 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据条件求出，得到，所以. （2）先求出，代入得到，利用错位相减法求得； （3）化简得到，利用裂项相消法求出，则 【详解】（1）利用等差数列性质：，结合 所以 是方程 的根， 因为为正项等差数列，所以公差，，所以 由 ，所以 所以 （2）由（1）知等差数列前n项和： 所以，利用错位相减法求前项和， 两式相减得到 所以 （3）因为，所以 裂项化简通项 所以 因为，所以，得证. 6．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 7．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且. (1)求,的通项公式； (2)设,的前项和分别为，求. (3)设为数列的前项和，求. 【答案】(1)， ； (2)，； (3) . 【分析】（1）先利用“”，“”关联两个数列，得到和的具体值；再通过等差数列通项公式（），代入的表达式，解出公差，最终得到的通项； （2）利用等差、等比数列的基本公式（通项公式、前项和公式），结合已知条件逐步推导化简即可； （3）先把复杂数列的求和转化为基础数列的求和问题，再把两个求和结果代入的表达式，通过代数运算化简，最终得到的结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 根据等比数列通项公式，可得， 由，代入可得，所以， 设等差数列的公差为，因为，， 根据等差数列通项公式，可得，解得， 所以， 因此，的通项公式为，的通项公式为； （2）根据等差数列前项和公式， 因为，，可得， 根据等比数列前项和公式， 因为，，可得， 因此，， . （3）由（2）得：， 对拆项后，利用等比数列求和公式， 可得， 因此， . 8．（2025·四川成都·一模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系求解，即当时，，将式子中的换成，计算出的值；当时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出； （2）求出，设，求出，利用裂项相消法求和，放缩法得到证明. 【详解】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 9．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为； (3)在（2）的条件下，求满足的n的最小值. 【答案】(1)；或 (2) (3)13 【分析】（1）根据等差数列通项的基本量运算和等比中项概念建立方程，求出公差，即可求得两数列的通项公式； （2）先求出数列的通项，再利用错位相减法即可求得； （3）先将不等式转化为，设，作差法判断数列的增减性，即可求得答案. 【详解】（1）， 又，且数列为等比数列 ，即，解得或 (舍去)； ，， ，又， 或； （2）由（1）知， 所以， ， 错位相减得： ； （3）由，可得 令，则 由 由，可得， 故当且时，；当且时，；当时，， 又，而 故，满足 所以满足的的最小值为13. 10．（25-26高二上·江苏南京·月考）记数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前2n项和B2n； (3)设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)7. 【分析】（1）根据给定条件，结合变形，再利用等比数列定义求出通项. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，并结合等比数列前n项和公式求解. （3）利用错位相减法求出数列前n项和，进而确定该和最大值范围即可求得的最小值. 【详解】（1）在数列中，，则， 当时，，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此，当时，，而不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则， ， . （3）设，则， 当时，， 于是， 则， 因此，由，得，又， 所以符合题设条件的m的最小整数值为7. 11．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的定义证明是等差数列，从而得，进而可求解； （2）根据错位相减法求和即可； （3）确定数列的单调性得最值，即可得，解一元二次不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列 ∴，即    ∴当时，， 又不满足上式，所以； （2）设的前n项和为， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以， 故数列的前n项和为； （3）由（1）知， 则 ∴， ∴当时，； 当时，，即      所以的最大值为， 依题意，即，解得或， 所以实数的取值范围是：. 12．（25-26高二上·福建宁德·月考）记数列的前n项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求； (3)，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定的递推关系，结合计算，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. （3）由（1）（2）的结论求出，确定数列的单调性求出最大项. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，解得， 当时，，即， 又，所以， 因此是首项为1，公差为2的等差数列，. 所以的通项公式为. （2）由（1）得，则， 于是， 两式相减得， 所以. （3）由（1）（2）得，则， 令，得，又，则解得， 当时，得，即，因此数列从第2项起单调递减， 所以数列中的最大项为第2项，即. 13．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设的公差为，的公比为，根据等比中项的性质和等差数列的通项公式可求出，从而可得和的通项公式； （2）由分组求和得到并化简即可证明. 【详解】（1）设的公差为，的公比为. 由题意得，得，得， 解得（舍去）. 故， ，，所以. （2）证明：由题意得， 所以 . 14．（25-26高三上·山东·月考）定义：若一个等差数列的首项和公差都是素数，则称该数列为数列．已知数列是数列，前4项的和为20，数列是首项为1且公比为2的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求出首项和公差，即可得出答案； （2）求出，然后利用错位相减法求出； （3）参变分离，转换成恒成立问题，构造新数列，根据数列的单调性求出最小值，即可得出答案. 【详解】（1）由题可知，又为等差数列， 所以， 又与都是素数，所以， 所以； （2），所以， 所以， ①， 所以②， ①②得， 所以； （3）对恒成立， 令， ， 当时，，严格减， 当时，，严格增， 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为. 15．（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据题意求出，再利用求数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求，易证，再根据单调性即可证明结论. 【详解】（1）由题意， 所以数列的前项和为， 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， 因为，所以 又因为时，单调递增，所以， 所以. 16．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知数列满足，． (1)求证：数列为等比数列； (2)求满足的正整数的最大值； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)99 (3) 【分析】（1）由已知递推式取倒数后变形，利用等比数列定义验证与的比值为常数，从而证明数列为等比数列. （2）表示出，求和得到，再根据数列的单调性以及不等式条件，通过代数确定满足的最大正整数. （3）由已求得的代入表达式，得，利用错位相减法求和，得到数列前项和的表达式. 【详解】（1）证明：因为，，所以， ，所以， 又，所以，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以， 记， 所以， 因为，所以为递增数列， ，， 所以使得成立的正整数的最大值为99． （3）由（2）得，记的前项和为， 则， 上式两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $