第8节 专题：数列不等式的恒成立与能成立问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦数列不等式的恒成立与能成立问题，以通项公式求解为起点，通过作差法、作商法分析单调性，进而转化为最值问题，构建从具体到抽象的学习支架，实现知识迁移与逻辑衔接。 资料亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”，如典例13中将等差数列前n项和与不等式结合，引导学生建立函数思想求最小n值，强化数形结合思维；练习23则通过存在性条件反推参数范围，训练逻辑推理与建模能力。教师可直接用于课堂讲练结合，学生能系统掌握数列不等式问题的解题路径，提升综合应用能力和数学表达水平。

第八节 专题:数列不等式的恒成立与能成立（有解）问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:数列的恒成立与有解问题 数列不等式问题可以分为恒成立问题和存在性（有解）问题. （1）恒成立,则 （2）恒成立,则 （3）成立,则 （4）成立,则 对于不等式题型,可以转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,数列可通过作差法或作商法进行判断.即对恒成立,数列单调递增.对恒成立,数列单调递减.从而分析得到数列的最值. ▍练题型 数列不等式的恒成立问题 1 【典例▪1】设数列前项和为,且. （1）求数列的通项公式; （2）若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【练习▪2】（2024·云南昆明模拟预测）已知数列的前n项和为,且. （1）求数列的通项公式; （2）若恒成立,求t的取值范围. 【练习▪3】已知等比数列的前项和为,且,,数列满足. （1）求数列和的通项公式; （2）若对任意的,恒成立,求实数的取值范围. 【练习▪4】已知正项数列的前项和为,满足. （1）求数列的通项公式; （2）设,为数列的前项和.若对恒成立,求的最小值. 【练习▪5】已知数列满足,且点在直线上 （1）求数列的通项公式; （2）设数列的前项和为,求能使对恒成立的（）的最小值. 【练习▪6】（2024·福建高二期末）已知数列的前项和为,且. （1）求数列的通项公式; （2）设,且数列的前项和为,若都有不等式恒成立,求的取值范围. 【练习▪7】已知数列的前项和为,,当时,. （1）求; （2）设的前项和为,若恒成立,求的取值范围. 【练习▪8】（2024·湖北二模）已知各项均不为0的数列的前项和为,且. （1）求的通项公式; （2）若对于任意成立,求实数的取值范围. 【练习▪9】在数列中,是其前项和,且. （1）求数列的通项公式; （2）若,恒成立,求的取值范围. 【练习▪10】已知数列的前项和为,且满足,. （1）求数列的通项公式; （2）若不等式对任意的正整数恒成立,求整数的最大值. 【练习▪11】（2024·山西高三阶段练习）已知数列的前项和为,且. （1）求数列的通项公式; （2）已知,数列的前项和为,若对任意正整数,不等式都成立,求实数的取值范围. 【练习▪12】（2024·全国高三专题）在数列中, ,,,若对所有恒成立,求λ的取值范围. ▍练题型 数列不等式的能成立问题 2 ▷角度1:解数列不等式 【典例▪13】（2024·全国高三专题练习）等差数列前n项和为,且,. （1）求数列的通项公式; （2）设数列的前n项和为,若,求n的最小值. 【练习▪14】记是等差数列的前项和,若. （1）求数列的通项公式; （2）求使成立的的最小值. 【练习▪15】等比数列前n项和为,,且,,成等差数列. （1）求数列的公比q和通项; （2）设,求满足的n的最大值. 【练习▪16】（2024·全国高三专题练习）已知为等差数列的前项和,,. （1）求数列的通项和其前项和; （2）若数列的前n项和Tn,求满足的最小正整数n. 【练习▪17】（2024·浙江高二期末）已知数列的首项,且满足. （1）证明:数列是等比数列; （2）若,求正整数的最大值. 【练习▪18】记为数列的前项和,为数列的前项和,若,且 （1）证明:数列是等比数列; （2）若成立,求的最小值. 【练习▪19】（2024·全国高三专题）已知数列的前项和为,;等差数列中,,. （1）求数列,的通项公式; （2）设数列前项和为,是否存在正整数,使得？若存在,求的最小值,若不存在,说明理由. 【练习▪20】记为数列的前项和,为数列的前项和,若且. （1）证明:数列是等比数列; （2）若成立,求的最小值. 【练习▪21】（2024·河南濮阳高二阶段练习）已知等差数列的前项和为,,. （1）求的通项公式; （2）设数列前项和为,求满足的的最小值. 【练习▪22】已知正项等比数列前n项和为,且,.记. （1）求数列,的通项公式; （2）设数列前n项和,求使得不等式成立的n的最小值. ▷角度2:求参数的取值范围 【典例▪23】数列前项和为,且 （1）求数列的通项公式; （2）若为数列的前项和,且,使得成立,求实数的取值范围. 【练习▪24】（2024·全国模拟）已知数列的前n项和为,数列的前n项和为,且满足, . （1）求数列的前n项和; （2）若,且存在,使得成立,求实数的取值范围. 【练习▪25】设数列的前项和. （1）求数列的通项公式; （2）若,使 成立,求实数的最大值. 【练习▪26】（2024·江苏高二）设数列的前项和为,且. （1）求数列的通项公式; （2）若存在正整数,使不等式成立,求实数的取值范围. 【练习▪27】（2024·哈尔滨高二练习）在数列中, . （1）求数列的通项; （2）若存在,使得成立,求实数的范围. 【练习▪28】（2024·全国高二专题）已知数列满足,,令,设数列前项和为. （1）求证:数列为等差数列;并求的通项; （2）若存在,使 成立,求实数的取值范围. $第八节专题：数列不等式的恒成立与能成立 (有解)问题 重点题型专练 【1】(1)a.=2 解析：(1)当n=1时，S=2a,-1=a,解得a,=1, 当n≥2时，an=Se-S1=2a.-2at-1,即aa=2a1, 所以数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列， 故a=2; 2》8昌1 由2(S。+1)≥3n-11对任意的neN恒成立， 即2动-11 2 令=3，，则6-6=83，业4,3n 2 212 当n≤4时，bH>b,当n25时，bH<h., 所以4<b2<b<b,<b,>b.>b 即b的最大值为6，=。，故2≥ 8 8 【aa=台2层树 解析：(1)因为S+a,-l（neN),所以Srtac=1(n≥2) 两式相减得2a,=a:(m≥2)，又因为+a=1,所以a=子分 所以数列{a}是以三为首项公比为；的等比数列.所以a,=分 (2)由①)a=宁，所以m,=会，令f=是 则+-=共会=出，所以当之2 时，f(n+1)-f)<0 故y=)(nN,n≥2)为减函数，而f@=f2)=气，又因为 a,≤aeN")恒成立，所以t≥行，所以实数t的取值范围为片+m 【3】(1)a,=31,neN;b.=3n-2,neN 解析：(1)解：设等比数列{a}的公比为9， 电受28显然91，所以七=28，解得g3 由于a,=1,所以{a}的通项公式为a,=31,neN: 所以b.=31og1(a)+1=3log,3-+1=3n-2,neN 所以{色}的通项公式为b.=3n-2,n∈N 2》因为戏<恒成立即A”。对于任意的N恒戒立 令fa)=、3 3-2,eN, 313°3.(6n-7） 则f(a+)-f)F3n+13n-2(3m+13n-2) 当n>1时，fa+1)>fa),所以（四>f(2)<f3)<f4)…,即f() 的最小值为了@)？，所以实数的取值范用为（别 【41)a,=n+1(2)哥 解析：(1)2S=a2+a-2①： 当n=1时，代入①得4，=2. 当n22时，28=a2+a4-2②： ①-②得2a=a-a+a.-a-1, 整理得a.+a-1=a-a2,=.-a-1)g.+a-1), 因为a.>0,所以a。-a-1=1(n≥2)， 所以数列{a}为等差数列，公差为1， 所以a.=n+1 26÷出 =2宁+3宁+4宁+++@： ③④得 所以工-层是，所以子无化简行+》，令 S 2+2 (n+3） C= 22 2+3 所秋气<666>，所以的最大值为音秘之君所以 8 的最小值为 1 【5】1)a=2n:(2)5 解折：1)由点仁1在直线y=x+2上符上上=2 a。aH 所以数列 1 }是以首项为宁1，公鉴为2的等差数列 1111 (2）aA“2n-X2m+22n-12m+T 1 要使T<3m-12对neN恒成立， 训-12对，即m兰 又meZ,所以m的最小值为5. aws图”：e3 解析：(1)因为3S。+a=4,① 当n=1时可得3a,+a=4,即a,=1≠0 当n≥2时，31+a1=4,② 08得4-a=62,即子-≥刘 即}是以1为首项子为公比的等比数列， 以a=-日” ⊙图为6=a=日 -周用日目” 女**+-小传+a 赋德子日+日侣++份”日 4把 1-月 依题意，eN不等式A2号号恒成立 因为y=子号随者：增大而减小 所以公子，即天的取值花调为[子+ 【1a8=点 (2)1≤3 解析：(1)当n22时，S=a,S-a. 所以，S=(S-S)Sn-(Sn-S-）, 1上=1 整理得：8，S=8-8,即可8 1 1二=上=2为首项1为公差的等羞数列， 所以数列是以云 +，即8 所以s 2)由①知子三a+ 所以T=22+322++n21+(+1)2“,① 所以2T=2·22+3.2+…+2·2+(n+1)21,② ①-②得，-T.=4+(22+2++2）-(+1)2 所以，-7=4+(22+23++2“（红+1）24=-n2 所以，T=n2,所以江，≤(n2+92,即n,2≤(x2+9）2,即 asa2+92+2 2n22n =3,当且仅当n=3时，等号成立，所以2≤3 【e1)a-2-1:a)[0 解析：(1) 解：因为数列}的前n项和为8，且4=l8=aa+1,即 4 4S,=a,a+1, 当n≥2时，可得4S=aa,+1 两式相减得4a.=a.an-a-) 因为a.≠0，故aH-a-1=4, 所以44…，41…及口4,4…均为公差为4的等差数列： 当x=1时，由4=1及品=马+中1，解得4，=3， 4 所以a21=1+4(-1)=2(2n-1)-1,a=3+4(n-1)=2(2n)-1, 所以数列{a}的通项公式为a。=2n-1. (2)由(1)知a.=2n-1,可得=2-2x++1=2 4 因为对于任意：€N,228成立，所以≥恒成立 设6=子，则6-6=世山 2H22+H 当1-V万<n<1+2,即n=1,2时，b-6>0,b.<b 当n>1+反，即n≥3，neN时，b-b.<0,b>b 所以乌<，<乌>6>4>，故6，)=乌昌，所以≤} 9 9 即实数2的取值范围为。+加 【911)a.=32x2 :(2)[7,17） 解析：(1)因为3S-a.=64, 当n=1时，3S-4=64,解得4，=32： 当n≥2时，3S-1-a-1=64,所以3S。-a-3S1+a1=0,所以 所以和，}是以32为首项子为公比的等比数列， ,n为偶数 69 (2)由(1)可得S 64 ,n为奇数 又y付在R上单调递减则y=-在R上单调递增 所以当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以当n=1时S取得最大值为32，当n=2时S取得最小值为16， 因为n∈N+,-1<S≤42+4恒成立， 2-1<16 所以254A+4解得7≤1<17，所以人的取值范围为[，1)， 【10】(1)a.=2n-1(neN):(2)4 解析：(1)a=4S。+4n+1∴.当n≥2时，a=4S1+4(n-1)+1, 两式相减得a-a=4(S-S-)+4=4a.+4, a=a2+4+4=(a+2, a.>0∴a+H=a。+2,即aH-an=2, 数列{a}表示首项4，=1，公差为2的等差数列 ∴an=2n-1(neN）. (2)4n2-8m+3<5-m)2a.4r2-8n+3<5-m2.包n-1） 即(2n-3)(2n-1)<(5-m)2°·(2n-1), 由2n-1>0得2n-3<(5-m)2对任意的正整数恒成立， 又2”>05-m>23对作任意的正整数恒成立。 2 设=则6-6=23华 2-2一=21一 4<4<6>6>…>6当=3时6，最大最大值为号 5一网心号解得m子，则如的鼓大整数为4 「171 【11】(1)a.=2:(2)2 解析：(1)n=1时，S,=2a,-1,即4，=2a1-1,所以4，=1. n≥2时，S-1=2a-1-1, 所以S-S1=(2a.--(2a1-1,即a=2a-2a4a.=2a1 因为4，=1，所以=20a≥2)， a-1 所以{a}是首项为1公比为2的等比数列， 所以a.=24。 2- (2)由1)得a.+ha+可2+g+可2+12 所以 五=*侣》6》叶（片 显然树是递增数列，且片>0， 所以≤<分，即名红<分 6 2a-1s2 所以 实数人的取值范围是2立 「171 【[ 解析：因为a=3, 所以当2时有受受++受1宁时…+吉号 a,a an 23 两式碳河为之宁告会即当：2脉学名 当=1时，兰-1+片子，则西=6，放号-2也行合该道推关系 所以a=2兰a,--a-2 6 a-1a-2a1 (n+1) 3 n(n+1) 由于a4+.令-+。 (+10a+2） 由于Cn= 2m+42+4 2 333 当n=4时，C,=C,当n<4时，C}单调递增， 当n>4时，{c}单调递减， 所以9<C,<c,<c4=9>c%>… 故数列}最大项为=6仔)5x6=积即： (2 81 【13】(1)a.=2n-1:(2)7 解析：（1)设等差数列的公差为d首项为4，则但+a=2+7=16, S2=9a1+36d=81 解得色 所以数列{a}的通项公式为a.=2n-1. a)a) 1 1(11 刮ga动 追0 由题得32n+35解得m>6, 因为neN,所以n的最小值是7. 【14】(1)a.=2n-3(2)4 解析：(1)设等差数列{a}的公差为d,由a,=S,得a,+a,=0, 由题意知， 解容色所以： J%1+a2=0 所以a.=a,+(n-1)d=-1+2(n-1)=2n-3 (2)解：由1)可符8=g+a_a1+2-》m-, 2 2 由S.>a,可得n2-2n>2n-3,即n2-4n+3>0,解得n<1或n>3 因为n∈N, 所以，正整数n的最小值为4 【51g=片4( (2)10 解析：(1)解：设比数列{a}的公比为9， 因为-2S2,S1,4S4成等差数列，可得2S=-2S2+4S4 即8-888所以24，解得q受-分 又因为a=子，所以数列{知，}的通项公式为 ( 8-(,訓周 由小对2可为日即<g,22且e, 做满足的的最大植为10。 【16】(1)4.=4n-1,S.=2n2+n(2)19 3a+32=21 解析：(1)设等差数列{a}的公差为d,则 2 5x4d-55 ,即 5a+ 侵+解得任枚4=3+4-=-1 a+d=7 8=m6+4n-=2m2+n 2 e由a格点品数 1 1(11）.1(11）..1(11 工=店计4方+4n4+ 指中)2。令x云有g号即5>24+18 1112 2 解得>18，故满足满足工>子的最小正整数为1D 【17】(1)证明见解析：(2)4046 解折：)易知包}各项均为正，对Q。2两边同时取倒数得 即1111 diu 22 d 2 所数别传司是以片为后项甘为会比价等比数列 所以(n 2=+12 2 显然f(n)单调递增， 且/04046)=2024-20<2024/6047）片20245-2>2024， 所以n的最大值为4046. 【18】(1)证明见解析(2)5 解析：(1)由S+H=3S+2,即SH+1=3(S+1),而S+1=3 所以{8+}是以3为首项，3为公比的等比数列 (2)由(1)知S+1=3×3,即S=3”-1 T=S1+S2+…+Se=3-1+32-1+…+3-1= 1-3 3 3-3) 由乙>120-A可得--}>120-A,整理可得3”>243，解得>4， 因为neN,所以n的最小值为5. 【19】(1)a=3-,b.=2n+1:(2)存在，最小n值为4. 解析：(1)由题设，a-a=2Sa-S-)=2a.(n≥2)，得aH=3a., 又42=2S,+1=2a,+1=3,即a2=3a1, .a1=3a.对n∈W都成立，则an=a,3=3"-, ∴6，=4=9，又6，=5且{和}为等差数列， .若公差为d,则2d=b,-b,=4,得d=2,即4=3， ∴.b.=b+(m-1H=2n+1. (2)由(1)知：a.·b.=(2n+1):31, .T。=3×3°+5×3+7×32+…+2n+1)34,则 3江。=3×3+5×32+7×33+.+(2n-1)-31+(2n+1)3", -2T=3×3°+2×3+2×3+.+2.31-(2n+1)·3" 解得T=n·3,若T.>60n时，有3>60， ∴.n≥4且neW,故存在，n的最小值为4. 【20】(1)证明见解析：(2)5 解析：(1)由a1=2S.+2可得S-S。=2S+2,即S=3S.+2 即S,+1=3(S+1),而S+1=3, 所以{S。+是以3为首项，3为公比的等比数列. (2)由(1)知S+1=3×3-,即S=3”-1 7=8+8+…+8=3-14子-1++3-1=0-】1=3n 1-3 2 -子 由文10-a可海号->130-，施可得)2解得d 因为neN,所以n的最小值为5 【21】(1)a.=2n-1(2)8 解析：(1)设等差数列{a}的公差为d, 由S4=16,a4=7,得 4a+43=16 a,+3d=7 解得a=1,d=2, 所以数列{a}的通项公式为a,=2n-1 (2)由(1)得，+2-卫m, 2 8S. 8n2 z-+】 1）4n2+42 =2m+-2m+2m+1 因为T>16,所以 4n2+4n >16,整理得n2-7n-4>0 2n+1 函数y=--4在)上单调递减在” 7 上单调递增， 当n=1时，12-7×1-4<0， 当n=7时，72-7×7-4<0， 当n=8时，82-7×8-4>0， 所以满足T>16的n的最小值为8. 【22】(1)a=2,b.=2n+1:(2)5. 解析：(1)设正项等比数列{a}的公比为gg>0),当n≥2 时，at2-S1=a.-Sa-1,即a+2=SH-Sa1+an=aH+2ae, 则有a.g2=a,g+2a,即g-g-2=0,而9>0，解得g=2,又a=1,则 a=21, B.=log:=10g=2+1, 所以数列{a},.}的通项公式分别为：a,=2,b.=2n+1. (2)由(1)知，点=2n+1 aa2-1, 则2子子++0 21 3n1 2 两式相减 得：=3+0+++ 2-2+15-2+5 =3+ 1 2 2 2 于是得工=10-2m+5 2 由元>9将：29#1，即2n-2a-520,令6=2”-5，aeN 显然，G=-6,c92=-7,9=-7,c=-5,C,=1, 由cH-c.=(2”-2n-7)-(2--2m-5)=2--2>0,解得n>2,即数列 {c}在n≥3时是递增的， 于是得当21-2n-5>0时，即c.≥cC,=1>0,n≥5，则nmm=5 所以不等式T.>9成立的n的最小值是5. 1 【23】(1)a=m+1:(2)i6 解析：(1)n=1时，4=8=1+3=2， 2 ≥2时，a=3,-81班_a-广+3a-n+1 2 2 n=1时，a,=2也适合上式， 所以数列{a}的通项公式a.=n+1. 1 1 11 (2）因为aa+e+aa+1+2 名+方*72+可 所以工=23+34 1111 因为存在neW,使得T。-aH≥0成立， 所以存在neN,使得2a+习a+2刘20成立 即存在neN,使2≤ 2(红+2疗成立 4 1 .1 2a+4+4 16(当且仅当n=2时取等号)， 所以名即实数2的取值花假是（司 16 【41)乐a)时 解析：(1)令n=1,得3码=1+m)4,故m=2 当n≥2时，由3S.=(a+m)口。，得3S-=(2-1+m)a- 两武相减并整理得及=+凸 d-n-1 府合品合六号 故a.=(n+(n≥22)，4，=2也满足该式， 1=1-11 故立aa+可万n+灯 2 (2)由愿知么右根紫酒意符上低-儿 令心点中*点则 1 1 故（低-6兮所以时 【2s】1)a=2a-l,neN:(2)号 解析：(1)当n≥2时，a。=S。-S=n2-(h-1=2n-1 在S=n2中，令n=1,则a,=S=1,满足a.=2n-1 故数列{a}的通项公式是a.=2n-1,neN 0因为想政古报 所以之++++ aa:aa;aa aa 居投 于是+分久，即作在eN,使A5+可成立 因为y=e+e+小+2-+号在Q+o)上单调莲 4 增，所以(2m+1(n+229,所以(2m+10a+2 4 4 所以≤ (2m+10+2) =行故实数2的最大值是号 【详解】解(1)由a.+S.=-2n①，可得aH+S=-2n-2②.由②-① 可得a1-a.+a=-2,即a+2=,(a,+2),由a+8=-2可得 4=-1,4+2=1,所以{a,+2}是首项为1，公比为，的等比数列， 所以a,+2=1 (2)因为a-66+2=,设f(a-= 则+小-6)-2兰7学，当7-0，即07时 f(n)递增，当7-n<0,即n>7时，f(n)递减，故f(n)的最大值为 r0=8a 若存在正整数n,使得不等式(n-6(a.+2)≥m2成立， 则ms[a-6a.+2刃 故m2s ,故实数m的取值范围 11 64 88 1,n=1 【详解】(D由nEN,马+24，+38++na,=a,得当n≥2 时a+24+刻++负-归子 两式相减得：风=。子，即+=越，盾6=41 因此{a)(n≥2)构成以2a,=2为首项，3为公比的等比数列， 则当之2时，a=2×3”,即a=月×”，显然4=1不满足上式所以 1,n=1 数列(a,)的通项a,=2×3r,n≥2 (n (2)依题意，由不等式a≤加+)2，得2≥ n+1 当=1卧子片当2球品 4,-21,而6>0 令6=2x3 b.n+2n+2 因此当n≥2时，b1>b, 数列位≥)是运猫数列点6-号即当22时品号 于是（品合片依愿意片 所以实数2的范国是A之号 1 【28】(1)证明见详解；a,= n-neN'(2) 【详解】(1)解：由题意，，2aa。+a-a.=0, 84=2,又由6.= anan 11=4-a1=2, 数列和}为等差数列，=1，d=2 ∴.b.=b,+(n-1=1+(n-1)×2=2n-1, 1 d=2n-I,neN'. 1 (2)解：由(1)知a.=2m 所似有gta+a高古aa可 0片点动 所以存在neN,使不等式a4,+a,,+…+aan2+18)2成立， 即昨在aeN,使不等式2a+18)2成立 即存在neN,使不等式2+a+18≥2成立， ∴.1≤ (2m+1)(a+18 1 一≤ 1一= ,(2n+1)(n+18)2m2+37n+18 9+37 2++34 49 当且仅当：=2，即=3时等号成立：所以有，A≤ 1 ∴实数天的取恤范腿（动