第7节 专题：求数列通项公式方法汇总 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦数列通项公式的七种核心求解方法，从叠加法、叠乘法到待定系数法、取倒数构造等，层层递进构建知识体系。通过典例引导与变式训练衔接新旧知识，以问题链驱动学生思维进阶，形成清晰的学习支架。 资料亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与模型观念的核心素养。如方法3中待定系数法通过构造等比数列解决复杂递推关系，强化运算能力与理性思维；练习51利用同型构造将非标准形式转化为常数列，展现数学语言的简洁美与表达力。教师可直接用于课堂讲授或分层练习，学生能系统掌握通项求解策略，提升建模意识与问题解决能力，实现从“会做题”到“懂原理”的跨越。

第七节专题：数列求和题型方法汇总 方法策略解读 【1)-) 2 解析：由题意知数列{a}满足：a,=0,a-a。=n, 故a。=a,+a2-a,)+(a-a2)+…+(a。-a) =0+1+2+…+a-=,-少，n≥2， 2 &=0也适合该式故a=-) 2 故答案为：-) 2 【2】3+1 2 解析：：数列a-a}是等比数列，且a,=1,a2=2,a,=5, 数列和。)的公比9会号岩3。 ah-a.=34, 所以a,=4+a,-a)+(a,-a,)++a-a) =1+1+3+32+..+3-2 l4人3 1-3 放答案为：行日 【3】n2+n 解析：因4=2，a4-a.=2n+2n∈N, 则a.=(a.-a)+a4-a-)++(a-a,)+a =2+4+6++(2m-2+2n=a2+20）=n+n. 2 故答案为：n2+n. 【4】a.=2+(n-1) 解析：因为an1=a。+2"+2n-1,所以a-a.=2+2n-1, 所以 a2-a1=2+2-1 a,-a2=22+2×2-1 a.-ae1=2+2n-30a≥2)， 将以上各式相加得 a.-8=(2+22++2)+1+3++2n-3) 21-2）1+2n-3a-业=2°-2+(n-12≥2) 1-2 2 因为4=2，所以a。=2-2+(n-1)2+2=2+(-1)'(n≥2)， 又a,=2也满足a.=2”+(n-1)2,所以a。=2+(n-1)。 【5】8=2-1 解析：因为a=a。+ 22+2 ,所以an-a,=1=11 n'+nnn+l' 6-%=1- 2 11 则当n22,n∈W时， a,-4-23 ,将n-1个式子相加可得 an-a-1= 11 n-1 n 。1甘+点周为41期 n-1 n 26≥2 当=1时4=2-中1符合题意，所以a=2-片 【6】=片 解析：因为1-上=2+1， 所上-21+13，士寸221=5，古 1-1=2m-1, a,a as a 累加得上-上=3+5++2-)-包-3+2-m-1, 2 因为4=1，所以 上=m2,故a,=京； 2 【7】a.=3-1 解标：数列上) 是首项为3，公比为3的等比数 La an -1=3×34=3, 列，a .当n≥2 3-3_-3 1-3 2 2 a2a12 又4=1也满足上式“数列和，}的通项公式为a=3一 2 【8】2-1 解析：若an=0,则a.-a=0,即a.=an=0,这与4=1矛盾，所以 a+≠0， 1-1=2， 由&-au=2a.a两边同时除以aa,得云 上面的式子相加呵得：上上2++++2.20-）2-：， an a 1-2 所以a2一，故答案为：2一 【9】a.=n 解析：由a2-a2,=2n-1(n≥2)， 可得a2,-a22=2n-3,a2-2-a2,=2n-5,,a-a2=3 将上述式子累加， 得-a=(2a-+(2m-3)++5+3=2n-1+3a-卫=m-1, 2 所以a2=n2a≥2)， 又因为4，=1满足上式，所以a2=n2, 因为a>0,所以a.=n,故答案为：a.=n. 【10】4=2n-1 解折由a器尚可有之女可片古 ，1121-11 a:8121 11-11 aa23, 1-1=1-1 8an-17,(a22) 累面可得古名-片6≥小，即a“ 当n=1时，a,=1也符合上式， 所以a. 2,故答案为：Q2n 【11】n(a+ 解折：因为a≥2.4分 所以aoeN),所以当n≥2时，三=” a-i n+l 所以a,气a4 =n-lxn-2x..x2x1x1=1 人n+12 432n0a+可（n≥2) 1 当=1，a1x22满足上式 1 所以a,=na+可·故答案为：na+可 【12】a.=-2,n 品则0兰=2.…2 解析：2 an-2 n-2 an-3 2-3 a 1 累乘得：品-20×20-20红-2x×22-m2 a12-12-22-3 1 又a,=-2,故a。=-2,n. 检验n=1时也成立， 故an=-2”·n. 【13】a.=n 解析：由a。=n(a-a.),得(n+l)a.=naH, 即81=力+1 an n 则是品之号音片2 由累乘法可得8=n,所以a,=,≥2， 又4，=1，符合上式，所以a=n. 【1a0 解析：因为S。=na 所以n≥2时，a,=S-S=na。-(a-1a, 即(n-a=(a2-1k. 化简得=-1 a42+i又4=2021 所以a=2×兰×兰×x2x2×a, an-1 an-az a1 =n-1xn-2n-321 Γn+1 -X-i××3×2021 =4042 (n+1 检验n=1时也成立， 4042 所以a,=na+ 【15】(2m-1(2n+ 解折：由于数列包，}中，4行，前项和8=（②n-a ∴，当n≥2时，Sa1=(n-1)(2n-3)a-1, 两式相减可得：a。=n(2n-1)a。-(n-1)(2n-3)a。-1 ∴(2n+1)a.=(2n-3)a1 所以8=2n-3 a.-12n+11 因此a=4x马x马xx…x aa as a Gn-DGc1) 检验n=1时也成立， 故a.2n-2m+可 【16】a=a+宁 解折因+g,=2级+9AeN,马=子取=1代入解特 4=0=1,且2- a.n+1 对n赋值，并左右式分别相乘，可 阳兽会安品出 n 化简得：2品=”生，解得：a,=a+ a. 2 【17】a,=a+2 解折因4=5号一故有 at.-1红= +2 因为a=5,所以a,=+2 检验n=1时也成立， 故a=Vn+2. 【18】2=29 解析：因为4=1,2出=2， 所以 号号号=gg1=29 当n=1时，a,=1满足上式， 所以。，=2 21 【19】a=2-102- 解折：由(-an=-2火得，4=2=2之-1 a。2+2-1 2+2-1 则 ÷÷2号岩号2 an-1 an2 an-3 a 21-1 2"-1 3 (2-12-1 3,24 2 即云-gm-可又4=号所以双“g-2-可 2 故答案为：a.(2-12- 【20】a,=27 解析：由题意知， 名，即4又号员40， an+H a 所以数列一)是首项为员，公比为4的等比数列 我京4 当n≥2时， -2-9- a,=.8a,=22.22.…21e2□=27 a-1a-2a1 检验n=1时也成立， 故a,=2. 【21】a.=2-1 解析：根据原式，设a+m=2(a.+m),整理得aaH=2a。+m,题干中 a=2a.+1,根据对应项系数相等得m=1.an+1=2(a,+),令 b=a+1,b,=a,+1=3+1=4,所以{a.+1是4为首项，2为公比的 等比数列.即a,+1=4:2,a.=2-1. 【22】a.=241-3. 解析：设a+t=2a.+）,整理得aH=2a.+f,题干中a=2a,+3,根 据对应项系数相等，解得t=3,故an+3=2a+3)令6.=a.+3,则 =4+3=4,且=中=2.所以色}是4为首项2为公比的等 b.a.+3 比数列.所以b。=4×2=2,即a。=21-3. 【23】a.=3-2. 解析：设a+t=3a.+t),即a=3a.+2t,题干中a=3a.+4,根据对 应项系数相等，解得t=2,故a1+2=3(a.+2)令b=a。+2,则 有=4+2=3，且号号3所以}是3为前项3为公比的等 比数列.所以b=3×31=3,即a,=3-2. 21得 +1 1 1 解析：数列包}的首项a=2,且a28:+2a∈)， 则：(e-6.-, 里郑骨-偏。 所以：数列{a。-}是以a,-1=2-1=1为首项， 为公比的等比数列， 1) 所以a-周+1 【25】a.=2×3m-1-1 解析：因为a=3a。+2,所以a+1=3(a.+1),因为1+4=2，所以数列 1+a}是以2为首项，以3为公比的等比数列，所以1+a,=2×3,故答 案为：a。=2×3-1. 【26】a=5-+2 解析：因为a出=5a.-8,所以a-2=5(a.-2),又4-2=1， 所以a。-2}是等比数列，公比为5，首项是1， 所以a.-2=51,a=5+2 【27】a.=3×2m-1-2 解析：当n=1时，S=a,=2m,-2+1,解得a=1. 当n≥2时，S-1=2a4-2n+3, 所an=S。-Sn-1=2an-2n+1-(2a1-2n+3),即a.=2a.4+2， 所似+=6+因，即器 所以数列{a。+2}是首项为3，公比为2的等比数列，则a。+2=3×2-1 即a.=3×21-2 【28】a.=2- 1 解桥人二等式两边同时1整理符。2中 又4=1,1+1=2 一侣是前项为2公比为：的岁比数列 1+1=2, 1 :.a=2-1 【21a 解析：数列{a}中，4=1,2a-a,+a,a=0,显然a.≠0， 则有己=2士+1，即亡+1=2宁+)，面子+1=2， 因此数列(+是以2为首项2为公比的等比数列， 所以士1=2，即4点 故答案为：4.=2- 1 【30】a.=(-2)°-1 解折：数列红}的前n项和为8,38=24，-3弧4==a-3引 解得4=-3， 8=a-3训)0 当2时，及=a-3颜+)② ①-②得 ,=23为2a2 22 {a.+是以-2为首项，以-2为公比的等比数列， .a.+1=(2)a.=（←2)°-1. 【31】a,=2.3-n-1 解析：将递推公式转化为a.+pn+g=3[a-1+p(n-1)+g],化简后得 a。=3a.1+2pn+(2g-3p),与原递推式比较，对应项的系数相等，得 2p=2 p=1 g-3p=1解得日=1令6=8++1，则6，=3动，又4=6，故 b=63=23,bn=a.+n+1,得an=23-n-1. 2+-6 3 【32】a.= 解折：设a++gp-+]a宁m宁-与 22 「1 题干原式比较，对应项系数相等得 1 解得 2P-29=-1 8-4+6=3所以和，-红+是3为首项，；为公比的等比数列所以 1） a.-4+6=3 3 ,即a2+-6 【33】a.=3”-2(n-1) 解析：因为a=3a。+4n-6aeN),设a+x(a+l)+y=3(a.+m+y), 其中x、y∈R, 整理可得a.1=3a.+2xn+2y-x, 2x=4 所以，2y-x=-6'特y=2,所 以，am+2(n+1）-2=3(a.+2n-2）, 且a,+2×1-2=a,=3,所以，数列a+2n-2}是首项为3，公比也为3 的等比数列， 所以，a.+2m-2=3×31=3”,解得a=3-2a-) 故答案为：a.=3”-2(n-1) 【34】a=2+m 解析：因为a.=2a.1-n+2(n22,n∈N+), 所以a.-n=2[a4-(a-1]a≥2neN,) 因为4，=3，所以4，-1=2， 所以数列{a。-n}是首项和公比都是2的等比数列， 则a-n=2,即a=2+n 【35】a=2H-2n-1 解析：由a+1=2a.+2n 则a1+2n+3=2a.+4n+2, 则a1+2(n+1)+1=2(a.+2n+1) a1+2×1+1=4≠0， 故马n+2+1+ =2， a.+2n+1 故{a。+2n+}是以4为首项，2为公比的等比数列： 所以an+2n+1=4,2=21,故a。=2-2n-1, 【36】a,=6+2+9 解析：因为a,S是一元二次方程x2-3n2x+b=0的两个根，所以 a +S =3n2 由a.+S。=3n2得a.1+S=3n+1)2,两式相减得 as=b 8-a+8-8=6+3,所以a=4+6+),令 a+A(n+1)+B= [1A=3 以上两式的系数，得 2 1 之解特仁，所以 8-A aH-6++9=.-6m+9).又4+8=3,4=子，所以数列 {a,-6m+y是以号为首项、三为公比的等比数列.所以 a-6m+9= 91) 22 =6m+是+9 【37】a=3 32 化简成题干结构 对应项系数相等得=3，设点4一付，A4-付号所以 数列是以号为首项，为公比的等比数列，。=泪)”，所以 32 a.=3 解法三将。子目)两边分别日”，电院是乘，为方使 计算，我们等式两边同乘2，得2”am=a)+1 令6，=2a,则6=三6+1，这又回到了构造一的方法，根据待定系数 法，得-3=-)，所以数列包-斗是首项为 4~3=2名=青公比为号的等比数列所以。-3号侣)厂即 解法三：将付)”两边分，也就是乘” +1 令b=3,am 则6-+) 所以A-A)-4-[目6-4=目) 将以上务式益加得6-4)++侣)+ 又4=4=3x名1+ g 1- 即6=目2所以a号子 【38】a.=4×3-1-5×2 解析：解法一：设aH+2·3=2a+3-）,整理得a=2a.-13,可 得2=-4， 即aH-4×3=2(a-4×3-）,且a,-4×3=-5≠0， 则数列{a。-43}是首项为-5，公比为2的等比数列， 所以a。-4×3-=-5×2-1,即a=4×31-5×21; 解法二：同边同除以g“)两边同时除以”有：兰子号+专 整理得学子》且号0， 期数列合一司}是首项为子，公比为号的等比数列 所号-，即a=4×-5x2 解肤三俩边同险以产周边同时除以”得：兰子+得厂，即 当22时，则学-经=计=学小+导是}子 3 2 13 2 故a=4×31-5×2-(n≥2)， 显然当n=1时，a,=-1符合上式，故a.=4×3-5×2 故答案为：a.=4×31-5×21 【39】a.=3n×4 解析：将a=4a。+3×4“两边同时除以4t, 44=41 则合是首项为受子公范为子的等差数列所心 -+-小子 得a=3班×4. 【01a片+2） 解析：将a=2a.+4两边同除2 得+2 子145背分 所以a,=2+2+(a≥2)，又n=1时，上式也成立， 所以a.=(4+2）. 解折因为4名4宁+) ,所以2a=子2r0,+1,整理 得2am-3=号(a-3引.所以数列红a.-号是以24-3=号为首 项号为公比的等比数列所以4=追)”，解得4=是子 【42】a=(m+3到 【详解】当22时，2品+81+六。 a-a=-1 相碱可特24宁所以兰立 22 4-4=-1 又2，4×，所以是是 21 2221 故 a 为等差数列，且公差为-1，首项为2， 12 2 故答案为：a,(a+3)片 【43】a=2n- 1 解析：取倒数得： 上=上+2，即上-1=2>少所以数列 1 是首 aa- 项为1，公羞为2的等差数列=1+2a-)=2-1,所以a,2一 【41a 折：号士2片女数别日老碳为 1，公笼为宁的等端数别片1+片-0空。 41 【45】a.=2- 1 解析：由a= +2取倒数得 =2+1, and an 所以1+1=2上+1， a 1+1 因为二+1=2≠0，所以+1≠0，所以 -=2 a。 仁+1是首项为2，公比为2的等比数列。 所以a。 所以古+122，期 1=2-1, a 所以a.=2-1 1 【46】a,=2- 1 解折：对两边取钢数得之21上+2，即 1-1=2， aat an 当n≥2时 上-1=2,1-1=2 11=211-=2-2,…,一. a1a-2 a24 将以上各式累加得上二=2+2++2+2= 21-2- =2-2, an a 1-2 又41=1， 所以士2-1，所以a=2六当=1时，=1也满足=2六 所以4占故答笑为：a 1 【e1a司 将折0，六1，且宁 「11 所以数列位}是首项为2公羞为1的等羞数列，所以 上=2+a-)=n+1,即a,n本 1 【48】a.2x3- 解析：因为a,-3aH=2a。·a1, 1-=2所以+1=3 a 1=20，所以任+是以2为首项3为公比的等比数列， a 1+1=2×3即a.=2×3-1 1 【49】a.=-2na-) 解析：因为a.=S。-S,所以S。-S1+2Ss=0,两边同除以8S 每方六？，改侣骨是以子：为殖重？为公老的降类数跳即 11 是2+20-0=2，所以8=六 所以a.=8.-8=20n-) 1 21-D·经检验 1 【50】a.=(2n-3 解断已之之：”周六名2学用 1= an an-1 号房以数列日是以号为公流的等数列所以 1 3"a ,即a.=2-y3 【14 解折：因为an十，所以a+la=a,令6=a,则6=6即 }是常数数列所以6=4，即应=1a号所以a品 【21a=传 解析：装匮意，白子，则数列侣}是以片为公比的等比数列， 融÷-目”所以a=合 【53】a,=n(2-) 解析：n=2(n+1。+na+1),等式两侧同除n(n+1) 形成出=22+1，令b=8,则6=26+1， n+1 所以6+1=26+山，和+号是以2为首项，2为公比的等差数列， 即b+1=2×2=2,b=2”-1,所以4=2-1，a=n(2-). 【54】a,=n 解折：由题意得可异故 }为常数列， 导是1，故= d 【55】a.=n 解析：数列{a}中，2S。=(a+1n,当n22时，281=na, 两式相减得2a.=a+1a.-na1,即a-la.=a,则有及=二 联效别合是常效列则受子1 21 所以数列{a}的通项公式为a=n. 【56】a.=2n-1 解析：因为na1-(n+1)a。=1,所以a1-(m+1)a。=n+1-n, 式子两端除以n红+)，整理得：an+1=8+凸 n+l n 即兴为信效因为41,2出芒上：，所以 1 1 a.=2n-1. 【57】a.=na+0 4 解折：因为 所以(n+2)aaH=na.,(n+1)a+2)H=n(n+1)a 令b.=n(n+)a., 则bn=b,即{}是常数数列，所以b=b 因此a+1a,=1x2×2a.x0+ 4 【58】a.=(2n-3)(a-4) 解桥由学+2-1片品1 {司是以产=3为芦项1为公流的等整数列 所以数列2-31 即品-3-346-1a=--40 【s9】a=2是 解析：因为au=a+1a,-+keN). 2 所以aeN即÷aeN) n+l n 22-2+1- 1 所以a是，又4=1符合所以a=2是 【60】a.=2n-1 【详解】因为当n≥2时，nSn+(n+1)S1=(2m+1)S。+1 所以n(S-S)=(n+1)(S。-S)+1,即an-(n+1a.=1, 所以告÷可片点 所以各尚}告任号 点》品。+片 所以a。=2n-1. 又4，=2×1-1=1满足上式，故a.=2n-1 【61】a=n2 解析：等式两侧同除n(a+1)(n+2), 得a+la+习r+)a+1a+2） 即 a a 1 (a+1)(n+2)n(n+1)(m+1)(n+2) 1 1 (n+1)(+2)n(n+1)(n+1)+2) 另点后西所以-6中n+ 1 1 接下来就是叠加法 点-6=片青 4-6=片生 鸟片5 4。…4 211 b.-b=(n+1) 委如海久乌片4号日所以6=1品 1 即品 【62】a.=2n2-n 解折等式两侧同除+-)，得中一 a 即a dr= n(n+1)n(n-1)n-1) d。+山 。1 1 na+)a-万(a-1) 另4-所以或片 接下来依旧是叠加法 b,-b,=21 11 …44…。 6-6=1-1 n-1n-2 11 得6-b,=-,,=,总之=3，b=n-12 a。 a-)2+2,a,=n+2-=2m2-n2,neN),当n时， 代入题干原式得4=1，经检验可以合并，a.=2n2-n(aeN) 【63】a,=3 解折：：at2+3a.=4a+1,neN,∴.a-aH=3al-a), 令b=a1-a,b=3动， 又b=a2-a,=2,数列色}是以2为首项，3为公比的等比数列， .b =2x31,neN'. B.=am-a,=2x3, ∴.当n≥2时，an=(a。-a）+(a-1-a-2）+…+(a2-a,)+a, =b1+b-2+…++a =2×3-2+2×33+…+2×3°+1 20-3） +1=3+,又4，=1也满足上式，所以a=3- 1-3 【64】 a.= 3 解折：因为4，+an=24,所以4-a=6。a), 又4-4=0， 所以数列口a}是首项为宁，公比为的等比数列. 所以当n≥2时， a.=a,+(a2-a)+(a3-a2)+..+(a.-a-) -r 又当n=1时， a,=1= 3 所以对于任意正整数”都有、 3 【61 解析：因为当n≥2时，an-5a.+4=0,所以a-a.=4(a.-a 又4=1，a,=2,则a-4=1, 所以{a-a}是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以a4-a,=41, 从而a.=(a。-a-)+(a1-a-2)+…+(a2-a,)+a =4++112 3 当n=1时，a,=1满足上式， 所以a,=4+2 3 故答案为：4，=4+2 3 1得 解折：由a,=4m一号4，a:an=6。-a),故红-a}是以 4-4=号为首项号为公比的等比数列即 a- 全部相加，利用等比数列求和 【67】a.=(3班-1)×2 解析：a,=1,S1=4a。+2,∴.S2=4,+a=4a,+2,解得a2=5 ,S1=4a。+2,∴.Se+2=4a1+2,两式相减得，at2=4a-4a., .an2-2an1=2(aH-2a.) ∴{和n-2a}是以a,-24=3为首项，2为公比的等比数列， 六4。-24，=3x2,两边同除以2“，则÷会=号 “合是以子为公差受片为首项的等差数列 号-小子 a,=3n1x2=(6m-l)×2 4 解析：通过构造{扣-pa}成等比来解决.设原等式 a+2-pan=gH-pa),打开得到a:=(p+gaH-pga.,对应项系数 p=2 相等， 1或P=,我们发现解出两组结果没关系 g=子 9=3=2 都是成立的，可以构造a-2a,}首项为子，公比为的等比数列或 构造{0：行}为首项为1，公比为2的等比数列.我们都来尝试下 胸造一：a-2a=日，即a=2a ,这就回到了熟悉 待定系数法得 =号则数列号周门是项为4固”名公比为： 的等比数列所以6得”=目，即a=周厂+号” 构造二：a=2”,即a=+2 设a+2=北+2，待定系数法得=子 则数列{0号是首项为4号”号，公比为号的等比数列 ” 【69】a.=2 解析：取以a,=2为底的对数（不能取c为底，因为c=1,不能作为对数的 底数)，得到1og=log,log=2log,设b=1og:,则有b1=2b.,所 以{也}是以b=1og=1为首项，2为公比的等比数列，所以b=2,所以 log-21,a.=24 【70】a,=3-2 解析：由ae1=a.2+4a。+2,得a.u+2=a.2+4an+4,即a1+2=(a。+2), 两边同取以3为底的对数，得og?”=log2,即1og2=21og+,所 以数列{1og+}是以1为首项，2为公比的等比数 列，1og+=21,a,+2=3,即a=3-2 【71】a.=2 解析：因为a=a(a>0),且a=2,所以a>L, 所以ga1=lga",即nlga=(a+lga,所以gau=n+凸 lga。n 当n22时，所以 ÷器兴好片号导 所以多品=a 、lga, 因为a,=2,所以1og2a。=n,所以a.=2. a,=2也符合上式，所以a。=2“. 【72】a.=3 解析：由工为正项数列红}的前n项的乘积，得兰=Q4,由=a, 得T=ah, 于是要等即公小丙过对得 即nd=(a+1)ga,整理得ga=lga 2+12 因此数列是常数到，即2-经-怎3，于是sa=电3=g, 所以a=3: 第七节 专题:求数列通项公式方法汇总 ▶▷ 方法策略解读 ◁◀ 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍方法1:叠加法求数列通项 若数列满足,则称数列为“变差数列”,求变差数列的通项时,利用恒等式: 求通项公式的方法称为叠加法. 具体步骤: ; ; ; ..... . 将上述个式子相加（左边加左边,右边加右边）得:= 整理得:= 即,最后检验是否满足的通项公式. 【典例▪1】（2024·深圳高二期末）已知数列满足:,,求数列的通项公式. 【变式▪2】（2024·全国高三专题）若数列是等比数列,且,,,求数列的通项公式. 【练习▪3】（2024·上海宝山高二阶段练习）已知数列满足,求数列的通项公式. 【练习▪4】（2024·云南楚雄高三期末）已知数列满足,,求数列的通项公式. 【练习▪5】数列中,,求数列的通项公式. 【练习▪6】（2024·河北保定高三阶段练习）已知数列满足,,求的通项公式. 【练习▪7】已知数列是以公比为3,首项为3的等比数列,且,求出的通项公式. 【练习▪8】（2024·湖南高二考试）已知数列满足,,求数列的通项公式. 【练习▪9】（2024·山东青岛高二开学考试）数列满足,求数列的通项公式. 【练习▪10】（2024·福建泉州高二练习）已知数列满足,,求数列的通项公式. ▍方法2:叠乘法求数列通项 若数列满足,则称数列为“变比数列”,求变比数列的通项时,可利用恒等式 求通项公式的方法称为累乘法. 具体步骤: ；；.... 将上述个式子相乘（左边乘左边,右边乘右边）得: 整理得: 即 最后检验是否满足的通项公式. 【典例▪11】数列中,,,求数列的通项公式. 【变式▪12】（2024·江苏淮安高二）已知数列满足,,求数列的通项公式. 【练习▪13】已知,,求数列的通项公式. 【练习▪14】已知数列的前n项和为,且满足通项公式,求数列的通项公式. 【练习▪15】（2024·全国高三专题练习）在数列中, ,前项和,求数列的通项公式. 【练习▪16】（2024·河南高二练习）已知数列满足,求数列的通项公式. 【练习▪17】在数列中,,求数列的通项公式． 【练习▪18】已知在数列中,,, ,求数列的通项公式． 【练习▪19】（2024·河南高二练习）数列满足: ,,求数列的通项公式. 【练习▪20】（2024·黑龙江高二期末）已知数列满足,,,求数列的通项公式． ▍方法3:待定系数法 ▷类型1:型 求关于(其中均为常数, )类型的通项公式时,先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来. 【典例▪21】已知满足,,求数列的通项公式. 【练习▪22】已知数列中,,,求数列的通项公式. 【练习▪23】已知数列中,,,求数列的通项公式. 【练习▪24】数列中,,且,求数列的通项公式. 【练习▪25】已知数列中,,求数列的通项公式. 【练习▪26】已知数列满足,,求数列的通项公式. 【练习▪27】（2023·高三专题）已知数列的前n项和为,若,求的通项公式. 【练习▪28】数列的首项,且,求数列的通项公式. 【练习▪29】（2024·江苏南京模拟）已知数列满足,求的通项公式. 【练习▪30】（2023·全国高三专题）已知数列的前项和为,若,求数列的通项公式. ▷类型2:型 求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,即令,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,从而得到是公比为的等比数列. 【典例▪31】（2023·全国高三专题）设数列满足,,求数列的通项公式. 【练习▪32】（2023·高三专题）数列满足, ,求数列的通项公式. 【练习▪33】数列中,,且, ,求数列的通项公式. 【练习▪34】（2023·河南高二练习）在数列中, ,,求数列的通项公式. 【练习▪35】（2024·宁夏银川高三练习）记数列的前项和为,若,且,求数列的通项公式. 【练习▪36】已知数列和其前项和,对于任意的是二次方程的两根,求的通项公式. ▷类型3:型 求关于(其中均为常数, )类型的通项公式时,共有3种方法. 方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解. 方法二:先在递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法解决. 方法三:也可以在原递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用叠加法(逐差相加法)求解. 【典例▪37】数列中,求的通项公式. 【练习▪38】（2023·全国高三专题练习）已知数列满足,求的通项公式. 【练习▪39】（2024·河北高二期末）已知数列满足,求的通项公式. 【练习▪40】（2024·江苏高三期末）已知数列满足,,求数列的通项公式. 【练习▪41】数列中,,,求数列的通项公式. 【练习▪42】已知数列的前项和为,且,求的通项公式. ▍方法4:取倒数构造数列 类型一:若数列满足:,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:若数列的前项和为,且满足,则有,两边同除以得:,故是以为首项,为公差的等差数列,即,再用,求. 【典例▪43】在数列中,若,求数列的通项公式. 【练习▪44】已知中, ,求数列的通项公式. 【练习▪45】已知数列满足,求的通项公式. 【练习▪46】（2024·湖北黄石高二）已知数列满足,求的通项公式. 【练习▪47】（2023·全国高二测试）已知数列满足,,求的通项公式. 【练习▪48】（2023·全国高二单元测试）已知数列{}满足,,求的通项公式. 【练习▪49】已知数列的前项和为,且满足,求的通项公式. 【练习▪50】数列,求的通项公式. ▍方法5:同型构造 所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列. 模型一: ,构造,则,为常数数列. 模型二: ,构造,则,为常数数列. 模型三: 构造,则,为常数数列. 模型四: ,构造,则,为等比数列. 模型五: ,构造,则,为等比数列. 模型六: ,构造,则,为等差数列. 模型七: ,构造,则,为等差数列. 模型八: ,构造,则,为等差数列. 当看到这类式子,尽量将和,和等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列. 【典例▪51】数列满足,求的通项公式. 【变式▪52】已知正项数列满足,且,求的通项公式. 【变式▪53】（2023·全国高三专题练习）已知数列中,且,求数列的通项公式. 【练习▪54】（2024·山东高三期末）已知数列中, ,求的通项公式. 【练习▪55】若数列的前n项和为,, ,求数列的通项公式. 【练习▪56】数列满足,且,求数列的通项公式. 【练习▪57】已知数列中,且,求数列的通项公式. 【练习▪58】已知数列的首项,且满足,求数列的通项公式. 【练习▪59】（2024·安徽高二期末）在数列中, ,且,求的通项公式. 【练习▪60】已知的前项和为,当时,,求的通项公式. 【练习▪61】（2023·全国高三专题练习）已知,且,求数列的通项公式. 【练习▪62】（2023·全国高三专题）已知数列满足,,求数列的通项公式. ▍方法6:二阶整体构造等比 简单的二阶整体等比:关于的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为,利用成等比数列,以及叠加法求出.针对个别试题,我们需要用待定系数法解决,通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,通过对应项系数相等解参数. 【典例▪63】（2024·全国高三专题）已知数列中,,且满足,求的通项公式. 【练习▪64】（2024·高三专题）数列满足, ,,求的通项公式． 【练习▪65】（2024·全国高三专题）已知数列中,,求数列的通项公式. 【练习▪66】（2024·高三专题）数列中,, ,,求的通项公式. 【练习▪67】（2024·高三专题）在数列中,, ,,求的通项公式. 【练习▪68】（2024·高三专题）数列满足, ,,求的通项公式. ▍方法7:取对数构造数列 型如,或为常数.可通过取对数构造数列. 【典例▪69】（2024·高三专题）数列中,, ,求数列的通项公式. 【变式▪70】（2024·高三专题）在数列中,,当时,有,求数列的通项公式. 【练习▪71】（2024·河北高二）已知正项数列满足,且,求数列的通项公式． 【练习▪72】（2024·浙江宁波高三期末）已知为正项数列的前n项的乘积,且,,求数列的通项公式. $