第6节 数列求和方法汇总 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦数列求和的五种核心方法，以错位相减、裂项相消、倒序相加、分组求和与奇偶并项法为主线，构建从基础概念到典型例题再到变式训练的完整学习链条。通过典例引导、变式拓展与练习巩固，帮助学生建立知识间的逻辑关联，形成系统化思维框架。 资料亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与数学建模的核心素养。如错位相减法中强调“对齐项数”与参数分类讨论，培养严谨推理意识；裂项相消部分提供10种常见形式，强化符号运算能力；倒序相加法结合函数性质设计问题，提升数学表达与迁移应用能力。教师可直接用于课堂讲授或分层练习，学生能清晰掌握方法本质，提升解题效率与思维深度。

第六节专题：数列求和题型方法汇总 重点题型专练 【1】(1)a.=2-1(2)S=a-1)2+2 解析：(1)由a.4=2a.+1得：a+1=2(a.+1),又4，+1=2， 数列{a+1}是以2为首项，2为公比的等比数列a+1=2， a.=2-1. (2)由(1)得：(a+1=n.2: S=1×2+2×22+3×23+…+(n-1）24+n.2 28.=1×22+2×2+3×2+…+(a-1)2+n…2 -8=2422+2+2*-m2“.20-2 1-2 L-n24=-n}2“-2, ·.S=(a-121+2 【2】(1)a=2eN）:(2)x=2-+2 2 解析：(1)因为a,=1,S。=a-1. 所以S1=a2-1,解得42=2. 当n≥2时，Sa-1=a.-1, 所以a=8-84=a1-a.,所以2a,=a1,即2u=2 因为马=2也满足上式，所以{红}是首项为1，公比为2的等比数列，所 a, 以a,=2(aeN） （2)由(1D知a=2,所以6=是 =得+2++-日+付”@ ①-②得 唱创 =1-+泪，所以z=2-告 【3】(1)a,=3班-2，b=41(2)T=4+(n-1)4n 解析：(1)设等差数列{和}的公差为d,等比数列色}的公比为9， 由题意得：3a,+3d=12,解得：d=3, 所以a=1+3(n-1)=3n-2, 由3站，=12得：b,=4,所以g==4,所以b.=4 a, (2)c=a.bm=(3n-24”, 则T=4+4×42+7×4+…+(3n-2)4“①， 47.=4+4×43+7×4++(3n-2)4②， 两式相减得：-3江=4+3×42+3×43+3×44++3×4-Bn-24 =4+3×16-4 1-4 -(3n-2)41=-12+6-3n4,所以x=4+(a-)4 【1D。-日 :(2)Sn=n-2-3 解析：(1)由题意()=2x+2 .a。=2n+2: 由题可得 bb+2b,b,+b,h=(6,+b,=25 b,b,=4 低收 a大首 所以S=223+3.22+42++n2+(m+1）2, 2S=2.22+3.2+42°+…+n…24+(n+1)-23, 所烈8=(+2++24e+ 8=--4,，一++1)23，即=n23. 【5】(1)a.=3-1(2)7.=4x3-4 6n+721 解析：(1)设数列{a}的公差为d, a2=5,a1+a,=22, .a1+d=5,2a1+6d=22, 41=2,d=3, ∴.a.=a+(n-1)d=3n-1: (2)当n=16=8=,0-3)归-1， 当n22时，b.=Sn-S1, =0）-”， 号+9@ -2 3”1 6n+721 工=4×34 【6】(1)a.=21 40+m-5×2 (2)T.= 9 解析：(1)当n=1时，3码=4a-2=3a,解得a,=2 当n≥2时，3a。=3S-3S-1=4a.-2-(4a-1-2), 整理得a=4a1, 所以{a}是以2为首项4为公比的等比数列， 故a=2×4=2m1 (2)由(1)可知，b,=aHog,a,=(2n-1)×22 则T.=1×2+3×2+…+(2n-1）×22mH, 47.=1×23+3×22+…+(2n-1)x228, 则-3江.=23+2+2+…+22-(2n-1k22 =242-22w 14-2a-水2=-0-65x2 3 故7=0+6m5x2」 99 【711Dg=1或g=-22)8=1-B+2y 9 解析：(1)a,4,4依次成等差数列， .2a=a4+a. :{a}是首项为1的等比数列， .2g2=g3+g q≠0， ∴.q+g-2=0, ∴.9=1或g=-2 (2)g<0,.g=-2 a=(2, ,S=a,+2a2+3+…+(n-1)4+na。, .8.=1+2(-2)+3(2+…+-1(2)+m(2)尸， ∴.(-2)s=1(2)+2(2}+…+(a-1)(2)°+n（2）, 上式减下式得：3S=1+(-2)+(仁2)+.+(-2)-n:(2)月 1(2y=1-B*102 =1-62y 3 ·8=1-m+12y 9 【8】(1)a,=(2n-)-2°(2)26+02m-13y2 9 解折：1)由思设4=子-1，又侣是公范为1的等弦数列 所以色=1+n-1=n,故b,=n2, 又6-6=会且n≥2，则-0a-小=2n-1=2 2 故a,=(2n-1)2,显然4=2也满足， 综上，a=(2n-)2. (2)令S=a1+a+a++a24=1.2+5.2+9.2++(4-3)22m4 则4S=123+5.2+9.22+…+(4n-7刀-224+(4n-3)22t， 所以-38=2+4.(22+2+22+…+22)-(4n-3)2 -2+4×30-4-4m-3》-2_2-26-4m-别-2 1-4 所以8=26+2n-13)-22n 9 【9】详见解析 解析：(1)设等差数列{a}的公差为d, 则传aa肉作 a.=2n-1, T。=b1-2, .T-1=b.-2,n22 两式相减可得6=64-6，即一=2 又团=4鸣-2有4，合2 ·数列色}是以2为首项，2为公比的等比数列 b=2: 2)由1)得c.=21 2 2n-1 2 2性 两式相减得 1 ,2112122132+3 1- 2相 22H 2 2=3-2m+3 2 220 P<3 【101a)6=2m-1:(2)8=1-n+ 1 解析：(1)由条件a-2a,=0aeN)知，2L=2,(aeN) 所以数列{a}是公比为2的等比数列， 又a2=2∴.a。=2-,neN 由6，=4+1得4+2d=5 自无4将构+经16， 联立以上两个方程解得b=1,d=2 ∴.b=2n-1,n∈N (2)由(1)知c.=og2aH=log:2”=n, 111 1 【11】(1)a.=2n+1,6=4a+D(2)8=4a+0 解析：(1)由题意，可设等差数列{a}的公差为d 如么年得4,2 ∴.a.=3+2(n-1)=2n+1: 6a2n+-4n+4a4+可： (2):6,4+可4反n1 1111 nn+14n+14(a+1) 【12】详见解析 解析：(1)当n=1时，4a,=4S,=(a,+3)a,-1), 即a-2a1-3=0,又41>0，所以a1=3. 当n≥2时，4S-1=a,+2a-1-3, 又4S=a2+2a。-3,两式相减可得4(S-S)=a-a21+2a.-2a1, 即4a,=a-a+2a.-2a,化简得(a.+aa.-a-2=0, 又a>0,a-1>0,所以a。-a-1=2, 所以数列{口}是以3为首项，2为公差的等差数列 所以a.=3+2(n-1)）=2n+1 即数列{a}的通项公式为a.=2n+L,n∈N, （2)证明：因为4=2n+1,所以8=6+2a+x+2, 2 网 所以I=6,+b,+6+…+b2+b1+b。 )非六六司 最点)女中8网 2n+3 因为+习”.所以工号 【13】2n+1 解析：当n=1时，a,=S,=12=1, 当n≥2时，an=S。-S1=n2-(2-1=2n-1, 且当n=1时，2n-1=1=4,故数列{a}的通项公式为a。=2n-1, &=点annn乱品 则数列}的前n项和为： 最-传品】 北]做答案为 .n 【w1a4g 解析：由对于任意的n∈N,总有a。,S。,a成等差数列可得： 28,=ai+a 当n≥2时可得2S-,=a+a11 所以2a=2S-2S4=a2+a.-ai-a1, 所以a-a.-a2-a=0, 所以(a+an)an-a1-)=0, 由数列{a}的各项均为正数， 所以a.-a-1=1, 又n=1时a2-a.=0,所以a=1, 所以a=n, 11 =aa2m+1W2m+到72n+12h+3, 玉甘南 1 11 故答案为：6n+9 3 32 【15】1)a,n2(2)7.=+ 解析：（1)解：数列a.}满足a+4a2+,+(3n-2)an=3, 当n=1时，得a=3, n≥2时，+4a+…+(3n-5)a。-1=3(n-1)， 两式相减得：(3n-2)a。=3, a 当n=1时，a,=3,上式也成立 =、3 3班-2： 3 (2)因为3+1(3n-23m+ 11 =n-23n+1 =+上-上++1-1 Γ1447 3n-23n+1 3n 【16】(1)a.=2n-1 (2)T.=n+2n+1 解析：(1)解：对任意的neN,a>0,由题意可得 4Sn=(a.+1)=a2+2a.+1. 当n=1时，则4a,=4S=a+2a,+1,解得a,=1， 当n≥2时，由4Sn=a+2a.+1可得4S-1=a2+2a.4+1, 上述两个等式作差得4a,=a2-a2+2a,-2a1,即 (a。+a)(an-a-1-2)=0, 因为an+a1>0,所以，a-a1=2, 所以，数列和，}为等差数列，且首项为1，公差为2，则 a.=1+2(n-1)=2n-1. (2)解：8=a+2m-山， 2 则64g 4n2 4z2-1+1 .(-1)(2n+1)(in-1)2n+1)(n-1)en+1) =1+11) 22n-12n+1 1 【11 2n+111 解折：因为a“a+下a+少 所以=1+宁动++1故答案为 【18】9 解析：因为-a=1且a=1,所以，数列{a}是以1为首项，1为公差 的等差数列， 所以，a2=1+n-1=n 因为数列{a}为正项数列，则a。=√n √n+1-√a 则a+aa+1+匠(W+1+a+1-回 -++i 所以，数列 女的简原和为 -1+√2-V2+3--99+00=10-1=9.故选：C. 【1911)a= (2)=1本 解折：(1)当=1时，2a=28=1-4,解得：4=分： 当a≥2时，2a=28-25,1-4-1+4,即a=子 小数列和}是以写为首项号为公比的等比数列a-周-宁 2)由得6.=1o3g =a,C=511 Va(a+1)厉h+i I=1- 111,11 1111 n-la万h+ 【20】(1)a,=n,neN(2)5 462 解析：(1)由题意知g=a,4, 设等差数列{a}的公差为d,则a,(a,+8d)=(a,+2d}, 因为d≠0，解得a,=d 又S=3a,+3d=6,可得a=d=1 所以数列{和}是以1为首项和公差为1的等差数列， 所以a,=a+(a-d=n,neN 11 (2)由（1)可知6a+1a+可e+可++2可列) 设数列{b}的前n和为T,则 无=2女高女…+a回 1 111 22(a+1(n+2 所以石宁任2)小货所以数列的前20和为货 【211证明见解折：6之+2 21+(旷 解析：(1)因为a-a=(an-2a.-2）,所 (a.-2）-(an-2)=(an1-2(a-2）, 是以 ?。1为首项公差等 于1的等差数列， 。21+-=,即a片2 n &-r6可a点 则 -侣}传++(e日-1+(r品 综上a,,8=1+(j 2n(n+1) 【22】(1)条件选择见解析，a.=2n-1(2)T.= (2n+1 解折：(1因为数列侣}为等差数列且侣}的前3项和为6， 得+三+=3x=6，所以=2， 123 2 2 所以8的公差为d'=兰-立=2-1=1 21 得到三=1+(a-1)=n,则8.=2， 当n22,an=Se-S1=n2-(a-1=2n-1 又a1=1满足an=2n-1,所以，对任意的neN,an=2n-1. (2)因为6=a+0 4n 11 (a.a}(2n-旷(2n+122n-1旷(2m+1旷 所以T=6+b,+…+6= 111.11 (2n-(2m+1 1120a+1) E(2m+是 【23】(1)因为Sn=(n-1)2+2,当n≥2时，S4=(n-2)2+2, 两式相减得a.=n·2(n≥2， 又因为a=S=2,所以a,=n2(neN）: (n2+n）2 （2)由(1)知a.=n2,因为点，a.-)[a-+可 所以 (n2+n2 2 62-网e+2…-*可-em-可2 所以六女*上 因为n≥1时，2-10，所以12一1，即工<1 因为1时1号前酒数)引六在Q+网上是拍函 数所以s7<1, 【21a 解析：因为f()+f-x)=1, 枚a=0+日}}+f}0.0 :a.=f()+ 供》}+o.@ 0+②，得2a=n+1,a,=4 2 所以数列红}的道项公式为A: 【21号 解析：S=sim20+sim21+sim22++sim290 倒序得S=in290°+sin289°+sin288+.+sin20 .28=(si290+sim20)+(sim289°+sim21）++(sm20+sim289） 血uo6-j]lna+owal .sin290+sin20=sin289°+sin21°=1 .2S=(sin290°+sin20)+(sin289°+sin21)+.+(sin20°+sin289上91 8= 2 【26】详见解析 解折：已知函数心)对任意xeR,都有)+-)=子，可得 由两式相加可得 Q=2+少n+今a.-a,=>2列 2 4 故数列{a}是等差数列， 【21Df+0--1+h+1+h言2： a)由题知当≥时，4=}+供) 又4，=供》+份)两式相加将 a++ =2(n-1), 所以a。=n-1, 又a=1不符合a=n-1, 1,=1 所以a.=a-1n22 【28】1005 解折：因为=所以-+子。 4 4 所以f()+f(-x)=1.令 =品}++) 2009 /2010 倒写得s=f (+品a 两式相加得2S=2010,故S=1005. 【291号 +,当x>0时 解析：函数)=⊥ -111 f)+f)1+x1+工1+x1+示1 因数列{a}是正项等比数列，且a。=1,则 a4,=a,4s=ag4m==a6=1, a+a,=a+宁l,同里 fa2)+fag)=fa)+f(a,)=…=f(a。)+f(ao)=1, 令S=f(a,)+f(a2)+f(a)+…+f(aa)+f(a), 又S=f(a)+f(as)+f(a,)+…+f(a)+f(a), 则有28=19，S=12 2 所以a)+a,)+了，)++fa)+了)上是故答案为：号 【30】2023 解析：由题意可知，lg4,+lgao2=lg(a1·ao2)=0,所以aa=1: 由等比数列性质可得a·a=a2·a=a,a21=…=ao12·ao12=1: 又因为函数)，之，所以八1+1+ 即但品+=2，所以)+a=2: 2x2 令T=f(a)+f(a2)++f(ao2),则T=f(ao2)+..+f(a2)+f(a): 所以 2r=[f(a)+f(a)]+[f(a)+f(aa月+[fa)+f(a)]=2×2023 即T=f(a)+f(a)+.+f(am)=2023.故答案为：2023 【311宁+，9o-. 81 9 解析：(1)易得数列的前n项的和 8=1宁2+宁3+分a 2 2 2 1-2 (2)观察可知数列55,55…的通项为：a=10-刂 故其前n项的和为： 04w0小9告 81 9 【32】(1)a=-3n+2(2)2°-1+(3m-) 2 解所设等致列得的会整为，由图意粉” 解特仔 所以an=a1+(a-1)d=-1+(n-1)×(-3)=-3n+2 (2)因为数列{a。+b}是首项为1，公比为2的等比数列，所以 a+b=2-1, 所以b=21-a.=2-1+3n-2 所以S。=(1+2+22+…+2)+[1+4+7+…+(3n-2] =2”-1+3n-D 2 【33】1)a.=2(2)2m+4-4 3 解析：(1)当n≥2时，a,=S。-84=n2+n--1旷-(a-1)=2m, 当n=1时，4=8=2，因为a也符合上式。 所以a.=2n. 2n,n为奇数 (2)由(1)可知=2，为偶数 所以T2.=(2+6+10+…+4h-2)+(22+24+2+…+22m】 +4n-2,4-4）2n+4-4 2 1-4 3 【34】(1)证明见解析(2)-1+(2++n】 3 2 解析：(1)由a1+2a。=3n+1可得a4-(n+1)=-2(a.-n), 因为a=0,所以a1-1=-1,a。-n≠0， 所以+-2， a.-2 所以{a-}是以-1为首项，-2为公比的等比数列。 (2)由题得a.-n=（1(-2),所以a.=（-1(-2)+n 所以s= 11-(2 1-(-2) ++2+3++n）片-1+(2，+ 3 2 【35】(1)an=2n-1,b=3.2(2)2n2-n-2+22m 解析：(1)由于等差数列{a}的首项为1，公差d=2 所以a。=2n-1, 由数列{色}为公比是2的等比数列且b2b+3,b,成等差数列 知2（色，+3=b+b,2(45,+3)=26+86,解得b=3, 所以b=3.2- (2)由(1)知，c=32,为偶数 「2n-1,n为奇数 T2.=1+3.2+5+3,23++4n-3+3.22 T2.=(1+5+9+…+4n-3）+(3.2+3.23+…+3.22m4 =+a-+320-4 =2n2-2-2+22mH 2 1-4 【36】()a=2n+1,6=3(2)7=m2+2+5×3- 解析：(1)设{a}的公差为d,色}的公比为9，由3a4=b可 得：33+3d)=3g2,即3+3d=g2①， 由a。=6+12可得：3+9=3g+12,即3d=q+3②， d=2 联立0②解得g=3或3，因6>0，放d=29= g=-2 于是a。=3+(-1)×2=2n+1,b。=3×31=3 (2)由(1)得：a=2n+1,b.=3",则c.=a.+b=2n+1+3, 故T.=c,+c2+…+c.=(3+5+7+…+2m+1)+(3+32+3+…+3“) =8+,0”-++宁号 2 1-3 2 」-n,n为偶数 【37】(1)a,=(l(2)7{a+2,n为奇数 解析：(1)当n=1时，a=2S,-1,解得a=1: 当n≥2时，a。=2S。-L.a-1=2S-1-1,两式相减得a-a-1=2a。,即 an=-a-1 {a}是首项为1，公比为-1的等比数列，.a=(-) (2)由(1)知，b.=(2n+1)(-1)-, 当n为偶数时，b+6,=(2--(2+1小=-2=-2×行n 当n为奇数时，T=T-1+b。=-(n-1)+(2n+1)=n+2. 型红- 【38】(1)a.=2n-1,b=(-1)(2)（1)n 解析：(1)4a.=48。-4S=(a.+°-(a1+1°(n≥2，neN) 得：(a.+a)(a。-a1-2)=0, a.+a=0或a.-81=2, 同理：.b。+b-1=0或b。-b1=2, {a}是等差数列，∴an-a。1=2∴d=2.a。=2n-1 b}是等比数列b.+b1=0∴g=-1.b。=(-1): (2)令c.=a,b=(-)(2m-),其前n项和为H, 当n为偶数时，H.=(G+C2)+(c+c4)+(c,+c6)+…+(c1+c元) =1-3)+(5-7）+(9-11)+…+(2n-3)-(2n-1=-n 当n为奇数时，H。=Hn-caH=-n-1-(←-)^(2n+1)=n 综上所述，H=(-1)n. 【3911)a=n(2)不=+4- S,=5a,=15na+2d=3 解析：(1)由题意可得：=a,A ,即 (a+3=(a+da,+7)' 且d≠0，解得a=d=1, 所以数列{a}的通项公式a=1+n-1=n. (2)由(1)可得6=2，n为倒数' n,n为奇数 可得T.=b+b2+…+bn=(伯+b+,+bi)+(色，+b,+…+bm） =1+3++2m-)+2+2++2=+2m-4-4 2 1-4 =2+(4-,所以工=2+(4- 「z,n为奇数 【40】(1)a.= 2,h为偶数：(2)707 解析：(1)由题意可知当n=2k-1(化eN)时， 有a+2-a=aH-a-1=2,此时数列{a,}的奇数项成等差数列， 由题意可知a=1,公差为2，则a2-1=1+2(化-1)=2k-1, 所以a.=n,(n为奇数)， 当n=2k(keN）时，有a+2÷a=a+2÷a=4, 即此时数列{a}的偶数项成等比数列， 由题意可知a2=2,公比为4，则a=2×44=221， 所以a.=2-,(n为偶数)， 上a-产肉 (2)由上可知。=a+a,++a。=(a,+a,++a,)+(a,+a,+…+ao) =0+3+…+9)+(2+2+…+2）=+9x52-4) =707 2 1-4 【41】()a.=2(2)2”-2+2+n 3 解析：(1)由题意，得2a4=a+a,-8. 又数列{a}的公比为2，所以16a,=4a,+16a,-8,解得a=2,所以 a.=2×2-1=2 Ja.,n为奇数 （2)因为b,=2-Ln为偶数所以4,4，是以2为首项4为公 比的等比数列， b,4,,5是以3为首项，4为公差的等差数列. 所以 =6+6++)片6+6+…+6)归2-4xB+初- 1-4 2 24-2+2n2+n=2-2+2n2+m 3 3 1 32+1,n为奇数 【42】(1)a.= 2 2为奇数 4 (2)S= n-1n为偶数 3n -,n为偶数 解析：(1)因为a+a.=3n,所以a。+a.1=3n-3(n≥2)， 两式相减可得a1-a4=3(n≥2)， 因为a=1,a+a=3n,所以a2+a=3,所以a=2, 所以a,a,a,…,a1是首项为1，公差为3的等差数列， a2,a4,a6,…,a是首项为2，公差为3的等差数列， 则a21=1+3(n-1)=3n-2,a.=2+3(n-1=3n-1, 「3 “之加为奇数 故a。= -ln为偶数 3 (2)当n为奇数时， S=(a,+a+…+an)+(a2+a,+…+a） +222 3n2+1 2 2 4 当n为偶数时 S=(a1+a+…+a)+(+a4++a) 2 4 3n2+1 4 n为奇数 综上S.= 3n ,n为偶数 4 n2+4 -,n为偶数 【43】(1)a2m=2n+2(2)S= 2 n2+4n-1,为奇数 2 解析：(1)依题总，a。≠0，a,=2,对于a4.-2S=4① 当n=1时，a,a-2a,=2a,-4=4,a=4, 当n≥2时，a.a1-2S=4②， ①-②得aa-a,a1-2a=0,a1-a1=2 所以数列{a}的奇数项、偶数项分别成公差为2的等差数列， 所以a.=a2+(2-)×2=2n+2 (2)由(1)可知a.=2n+2,a4=4+(a-1)×2=2n, n（-1 当n是偶数时， n2-1 ×2+2；2+×4+2 2 x2=n2+4知， 2 2 当n是奇数时，a,=2,n≥3时有： 8=8+a=-广牛-l+14+4= 2 2 S=a=2也符合上式 〔2+4，n为偶数 所以Sa= 2 2+4n-1,n为奇数 2 【44】(1)a.=31:(2)T.= 兰为奇数 2 2+n+3"-3n为偶数 [2 8 解析：(1)数列{a}中，a=1,aH=2S+1, 当n≥2时，a.=2S,+1,两式相减得a=3a。, 而a2=2S+1=2a,+1=3a,即对任意neN”,aH=3a, 因此数列{a}是首项为1，公比为3的等比数列，a,=3-, 所以数列{a}的通项公式是a,=3 (2)由(1)知，b.= 3,n为偶数 2n+1,n为奇数 当n为偶数时， Z=a+a,++a)+(a,+a,+…+a)=3+[2a-+】么+30-9 2 2 1-9 =2+n+3-3 2 8 当n为奇数时， Z=7-8=@+Da++33=2++143-3 8 2 8 n2+3n3“+5 2 8 所以b}的前n项和T= 产+为府数 2 ++3”3为偶数 2 8 1）8=2b-7:2)8×2-n-名a内慨数 解析：(1)设等比数列{a}的公比为9，依题意，2(a+2)=a2+a, 又a=2,则2(2g2+2)=2g+2g,即4(g2+1=2g1+g）, 而1+g>0,解得g=2,因此a。=2: 数列好中当=1时有=2，由6点写多++点=。 相当22时6热片的++=派-0， 两式相减得6=2，即6=2n,显然4=2满足上式，因此6，=2如， 所以数列{a}和{.}的通项公式分别为a.=2“,b=2n。 (2)由(1)知，a.=2,b=2n,6.=(-1y(a-b), 因此当n为偶数时，S=G+C:+…+c=-4+乌+4-b:-+a.-b -s+a-+a+6-+-8).经×9 1-(-2) 3 当n为奇数 时.8=风m-6n=8,-8+6m方2m-自+-号2”46+0 3 1 ×2+n+行为奇数 所以数列{c}的前项和S={ 3 2a台为偶数 22,n为奇数 【46】(1)a.= (2)10+(4n-5)×2H 2,n为偶数 解析：（1)因为a=2,aa=2H,当n=1时4，a2=22,解得a2=2 又a4=22,所以2出=2 a 所以数列{}的奇数项和偶数项均是以首项为2，公比为2的等比数 列， 2z,n为奇数 所以a.= 2,n为偶数 (2)因为b=na。,所以b=a= x2是n为奇数 n×22,n为偶数 所以.=1×2+2×2+3×22+4×22+…+(2n-1)×2+2n×2 =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2+(2×2+4×22+6×2+…+2n×2"） 设P=1×2+3×22+5×2+…+(2n-1)×2 H。=2×2+4×22+6×2+…+2n×2", 则22=1×22+3×2+5×2+…+(2n-1)×2, 所以 -2=2+(22+2++2"）-(2n-1)x2 =2+8×1-2 2-(2n-1）×2H, 1-2 整理得P=6+(2n-3)×2,同理可得H.=4+(n-1)×22, 所以T,。=10+(4n-5)×2 [a+-3+仁3为偶数 【47】(1)a.=n(2)T.= 2 n(a+3+(3) 2 一，n为奇数 4 解折：1)根据题意，(+，=84+)，所以号月 n+1n2 由于三=4=1，则}是以首项为1公差为的等差数列， 所以三=1+a-x;”,所以8=a+9 22 2 当n≥2时，=8-8=+》血≥班=n 2 2 验证n=1时a=1满足通项公式，故数列{a}的通项公式为a=n, (2)由(1)知b=(a2+3）cosnπ=(1)n2+(（-3 设(-1)”n2的前n项和为A,则当n为偶数时， An=-12+22-32+42--(n-1）+n2 =(2-1)2+)+(4-34+3)+…+[n-(n-1)][n+(n-1] =1+2+3+4++(a-l）+n=aa+坦 2 当为奇数时，A=A,-r-么- -n2=-+1) 设(-3)的前n项和为A,则B,= （31-()-3-(3) 1+3 4 +3+(3) 因为T=A+B。,所以T={ 2 -,n为偶数， 4 (红+3+(3 一，n为奇数 2 4 【48】(1)证明见解析(2)S2=2×3”+16n+11, (3)6 Ja.-8n为奇数 解析：(1)因为a1=3a,n为偶数 所以当n≥2，n∈N时，a4-12=a-m-12=3a-2-12 =32r-1-12=3a2e-8)-12=3(a4-12), 即n≥2，neN时，a1-12=3a1-36, 又n=1时，a,-12=13-12=1, 所以数列{a-,-12}为首项为1，公比为3的等比数列 (2)由(1)知a1-12=31,所以a4=3+12, 又由an a。-8,n为奇数 3a,n为偶数 ,可得a-2=3-2+4,n≥2，neN, 所以 SH=a+a2+a+…+am+a2h=(a+a,+…+ai)+(a2+a4+…+azn) =[3°+3+…+3+12(n+1]+(3°+3+…+31+4) _+=g+16n+12=2×3+16m+1n 1-3+1-3 (3)因为S21=16n+1469,所以2×3+16n+11=16n+1469 整理得到3=729，解得n=6, 所以n的值为6. 【49】(1)a。=2n+3:(2)证明见解析. fa,-6,n=2业-l,keN 解析：(1)设等差数列a,}的公差为d,而6=2aA=2让 则b=a,-6,b,=2a2=2a,+2d,b,=a-6=a,+2d-6, 于提民6年将a=5-,4=4+-=2a+ 所以数列{a}的通项公式是a=2n+3. (2)方法1：由(1) 知-6++4东，=2=-'keN， 2 4n+6,n=2k 当n为偶数时，b-1+b.=2(n-1)-3+4n+6=6m+1, 2 当>5时，元-8=（尽+子-信+4=a-少>0，因此买>8， 当n为奇数 时=-+++小-46++子+-5 当n>5时，工-8=(+三a-5)-2+4=a+20-5列>0，因此 T>S, 所以当n>5时，T。>S 方法2：由(1) 知，8=5+2n+3》=m2+红，6= 2n-3,n=2k-1 keN', 2 4n+6,n=2k 当？为偶数时， T=6+6,++b)+6+5,++b,)=-1+2m-)-32+4+4n+6 2 2 2 2 当>5时，-8=+子)+-a-0,因此工>8， 2 当n为奇数时，若n≥3，则 T=(伯，+b+…+b)+仍2+b,+…+bn) =-1+2n-3.n+1+4+4(n-)+6n-1 2 2 2 2 +-5 显然石=4=-1满足上式因此当n为奇数时，工=子2+-5， 当>5时，五-8=2+子-5)3+4月=+2-5列少0，因此 T>S 所以当n>5时，T。>S。 第六节 专题:数列求和题型方法汇总 1 学科网（北京）股份有限公司 ▶练方法 错位相减求和 1 错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列（即）的前项和的方法.在使用错位相减法求和时,应注意将“与“”的表达式“错项对齐”,以便下一步准确写出“”的表达式,要确定项数与公比正确求出;若公比是个参数（字母）,则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况求和. 公式秒杀: （错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.） 【典例▪1】（2024·全国高三专项）已知数列满足,. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 【变式▪2】设数列的前n项和为,若, （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前n项和. 【练习▪3】已知等差数列的前n项和为,数列为等比数列,且,. （1）求数列,的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 【练习▪4】正项等比数列的公比,且,又与的等比中项为2. （1）求数列的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 【练习▪5】设公差不为0的等差数列中,,且. （1）求数列的通项公式; （2）若数列的前项和满足:,求数列的前项和. 【练习▪6】（2023·全国高三专项）已知数列的前n项和为,且. （1）求的通项公式; （2）设,求数列的前n项和. 【练习▪7】已知等比数列的首项为1,公比为q,,,依次成等差数列. （1）求公比q的值; （2）当公比时,求数列的前n项和. 【练习▪8】（2024·江西景德镇高二）已知数列, 满足,且,数列是公差为1的等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）求. 【练习▪9】（2024·江苏镇江高二统考期中）已知等差数列的前项和为,,,数列的前项和为,且. （1）求数列和的通项公式; （2）令,证明:数列的前项和. ▶练方法 裂项相消求和 2 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项. 常见的裂项形式: （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）; （7）; （8） ; （9）; （10）. 【典例▪10】（2023·重庆高二校考期中）已知数列中, ,为等差数列,它的前n项和为,满足,. （1）求数列的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 【变式▪11】等差数列满足,, . （1）求数列,的通项公式; （2）数列的前n项和为,求. 【练习▪12】（2024·甘肃高二）已知数列的前项和为,且. （1）求数列的通项公式; （2）设,证明:数列的前项和. 【练习▪13】已知数列的前项和,若,求数列的前项和. 【练习▪14】数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意的,总有,,成等差数列,记,求数列的前项和. 【练习▪15】（2024·全国高二专题复习）设数列满足. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 【练习▪16】已知正项数列的前项和为,且、、成等比数列,其中. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前项和. 【练习▪17】（2024·全国高二专题）已知数列的通项公式为,求该数列的前8项和. 【练习▪18】（2024·全国高二专题）已知正项数列中,,,则求数列的前项和. 【练习▪19】数列前项和为,且. （1）求数列的通项公式; （2）设,,求数列的前项和. 【练习▪20】记是公差不为零的等差数列的前项和,若,是和的等比中项. （1）求数列的通项公式; （2）记,求数列的前20项和. 【练习▪21】（2024·全国高三专题）已知数列的首项为3,且. （1）证明:数列是等差数列,并求; （2）若,求数列的前项和. 【练习▪22】已知是数列的前项和,,数列为等差数列,且的前项和为. （1）求; （2）设,求数列的前项和. 【练习▪23】（2024·河南周口高二统考期中）已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式; （2）设,数列的前项和为,证明:. ▶练方法 倒序相加法求和 3 等差数列的求和公式,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现（为常数）,（为常数）时,可以采用倒序相加的方法进行求和. 【典例▪24】（2024·全国高三专题）已知函数对任意的,都有,数列满足….求数列的通项公式. 【变式▪25】求的值. 【练习▪26】（2024·全国高三专题练习）函数对任意,都有.若数列满足,判断数列是否为等差数列. 【练习▪27】（2024·全国）函数,设,. （1）计算的值. （2）求数列的通项公式. 【练习▪28】（2024·高三专题）已知,求的值. 【练习▪29】（2024·重庆高三上阶段练习）已知函数,数列是正项等比数列,且,求的值. 【练习▪30】已知正项数列是公比不等于1的等比数列,且,若,求的值. ▶练方法 分组求和法求和 4 当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但它的通项公式可以拆分为几项的和,而且这些项又构成等差数列或等比数列时,那么就可以用分组求和法,即原数列的前项和等于拆分成的每个数列前项和的和. 【典例▪31】（2024高二·全国随堂练习） （1）求数列,,,…的前项的和; （2）求数列5,55,555,…的前项的和. 【练习▪32】（2024·福建三明高二期末）等差数列中,,. （1）求数列的通项公式: （2）已知数列是首项为1,公比为2的等比数列,求的前n项和. 【练习▪33】已知数列的前n项和为,且. （1）求的通项公式; （2）若数列满足,求数列的前2n项和. 【练习▪34】（2024·全国高三专题练习）已知数列的首项,且. （1）求证:是等比数列; （2）求数列的前n项和. 【练习▪35】（2024·江苏盐城高二）已知等差数列的首项为1,公差.数列为公比的等比数列,且成等差数列. （1）求数列和数列的通项公式; （2）若,求的前项和. 【练习▪36】等差数列和正项等比数列满足:,,. （1）求数列,的通项公式; （2）已知数列满足,求数列的前项和. ▶练方法 奇偶并项法求和 5 数列的通项中出现或时,常常要对取值的奇偶性进行分类讨论,应首先求出当为偶数时的,再考虑当为奇数时,为偶数,所以. 【典例▪37】已知数列的前项和为,且满足. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前项和. 【变式▪38】（2024·浙江模拟预测）记等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且满足. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 【变式▪39】已知等差数列的前项和为,公差,且成等比数列,. （1）求数列的通项公式; （2）若求数列的前项和. 【练习▪40】（2024·重庆高三上阶段练习）已知数列中,,且. （1）求的通项公式; （2）求的前10项和. 【练习▪41】已知等比数列的公比为2,且是与的等差中项. （1）求数列的通项公式; （2）设求数列的前项和. 【练习▪42】（2024·辽宁高三期末）已知数列满足,. （1）求的通项公式; （2）求的前项和. 【练习▪43】已知数列每一项都不为,,记为数列的前项和,且. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 【练习▪44】已知数列的前n项和为,, . （1）求数列的通项公式; （2）若数列,求的前n项和. 【练习▪45】（2024·广东惠州二模）已知是等比数列,满足,且成等差数列,数列满足. （1）求和的通项公式; （2）设,求数列的前n项和. 【练习▪46】已知数列中,. （1）求数列的通项公式; （2）令,求数列的前项和. 【练习▪47】已知数列的前项和为,,且满足. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前项和. 【练习▪48】（24-25高三·山东期中）已知数列的前项和为,,. （1）证明:数列为等比数列; （2）求数列的前项和; （3）若,求的值. 【练习▪49】（2023·全国高考真题）已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,. （1）求的通项公式; （2）证明:当时,. $