精品解析：江苏省南京市2026届高三上学期9月学情调研数学试题

南京市2026届高三年级学情调研 数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知是虚数单位，则复数的实部为（　　） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出复数，进而求出其实部. 【详解】复数，所以的实部为1. 故选：B 2. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 3. 已知，若集合，则“”是“”的（　　） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的包含关系求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，而，因此或， 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A 4. 的展开式中的系数为（　　） A. -20 B. -15 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】展开式的通项为， 取，得. 即的系数为. 故选：C. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得：,利用图像平移的规则求解即可. 【详解】由题可得：,所以只需将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 故选：A 6. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可. 【详解】，， ， 令，则， ，即， ， ， ， 解得， 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB可用作差比较法比较大小即可判断，对于C，根据对数函数性质，易知当时，从而排除C项；对于D，可用不等式的性质直接推得． 【详解】对于A，由，则，由， 可得，故A错误； 对于B，由，则，故，即，故B正确； 对于C，因，当时，，故C错误； 对于D，由，可得，利用不等式的性质可得， 即，故，故D正确． 故选：BD． 10. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数量积计算可判断A，由共线向量的坐标表示可判断B，根据投影向量的计算公式可判断C，利用向量模的坐标表示及均值不等式、二次函数的最值可判断D. 【详解】若，，，所以， 所以，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 在上的投影向量为，故C正确； 因为，所以， 令，当时，则由均值不等式，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 则（或）， 所以当时，有最小值，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（　　）． A. B. 在上单调递减 C. D. 在上有且仅有1个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，代入计算即可得到；对于B，由时，，结合初等函数单调性可直接判断；对于C，令，分析可得关于对称，当时，易证，当和时，利用导数判断单调性，结合单调性可证明不等式；对于D，对进行求导，结合基本不等式，可得在上单调递增，且，故在上有且仅有1个零点． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，时，， 又在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，令， ， 所以关于对称， 当时，， 又， 所以时，， 时， ， 所以在上单调递减，则， 当时，， ， ，， ，即， 所以， 则， 即，所以在上单调递增，此时， 又关于对称，所以成立，故C正确； 对于D，时，， ， 又，当时取等，， 所以， 即在上单调递增，且， 所以在上有且仅有1个零点，故D正确 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知椭圆的离心率为，则实数___________． 【答案】10 【解析】 【分析】判断椭圆为焦点在x轴上的椭圆，从而确定，再结合离心率公式及a、b、c的关系即可列式解答． 【详解】． ∵， ∴椭圆的焦点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为：10． 13. 记的内角的对边分别为，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助正、余弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则，即. 故答案为：. 14. 已知球 的半径为是球面上两点，过的平面与球面的交线为圆，且四点不共面．若平面与平面的夹角为，则四面体体积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，设，再写出体积表达式，求导即可得到其最值. 【详解】取中点 ，因为，则，同理可得， 因为平面，平面，且平面平面， 则平面与平面夹角为， 令，因为圆面，而圆面，所以， 则，则，且，故， ， ， 令，，， 令，解得（舍）或（舍）或， 当时，，当时，， 所以在单调递增，单调递减，所以， 则. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； （2）若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列间解析；. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的有关公式求值计算. （2）根据超几何分布的公式计算求值. 【小问1详解】 每次抽取后都放回，则取到黄球的个数， 所以，， 所以. 【小问2详解】 每次抽取后都不放回则取到黄球的个数的值可能为：0,1,2. 且，，. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 16. 对于数列，记，称数列为数列的差分数列． （1）已知，证明：的差分数列为等差数列； （2）已知的差分数列为，求的通项公式． 【答案】（1）证明：，其中， 故，故的差分数列为等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列； （2）利用累加法可求的通项公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设有， 故，由累加法可得， 而，所以， 而也满足该式，故. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证，再利用线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据可求的长，再求出平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为，则, 所以，取， 故与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与 交于两点． （1）求 的方程； （2）若均在 的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点 ，使得为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点 ，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以. 所以双曲线 的方程为：. 【小问2详解】 因为均在 的右支上，且的周长为， 所以. 如图： 因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在 的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. 【小问3详解】 假设存在轴上的定点 ，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 19. 已知函数，其中． （1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若集合中有且仅有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出切线斜率为时的切点，进而求出参数值； （2）根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数导数，根据参数的范围，求出函数定义域，进而根据参数范围求出函数单调性； （3）根据参数的范围，结合函数单调性，判断不等式只有一个整数解的情况，列出不等式组，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，解得或 （舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得，解得. 【小问2详解】 已知，得； 当时，定义域为， ，二次函数图象开口向上，且， 令，在必有解， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增； 当时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 由可知，， 当时，在上单调递减，若集合中有且仅有一个元素， 则，即，即， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 可知，所以集合中有且仅有一个元素， 则，即，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2026届高三年级学情调研 数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知是虚数单位，则复数的实部为（　　） A. B. 1 C. D. i 2. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 3. 已知，若集合，则“”是“”的（　　） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 的展开式中的系数为（　　） A. -20 B. -15 C. 15 D. 20 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 6. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 18 7. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 若，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则（　　）． A. B. 在上单调递减 C. D. 在上有且仅有1个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知椭圆的离心率为，则实数___________． 13. 记的内角的对边分别为，若，则___________． 14. 已知球的半径为是球面上两点，过的平面与球面的交线为圆，且四点不共面．若平面与平面的夹角为，则四面体体积的最大值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； （2）若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 16. 对于数列，记，称数列为数列的差分数列． （1）已知，证明：的差分数列为等差数列； （2）已知的差分数列为，求的通项公式． 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，其中． （1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若集合中有且仅有一个元素，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $