福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学校本作业54（两直线的位置关系）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业54《两直线的位置关系》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 2．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（       ） A． B．2或 C．2 D． 3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 4．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0 6．已知点A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为(　　) A．4 B．5 C．2 D. 7．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（ ）． A． B． C． D． 8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．8 9．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝3 C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝ 10．(多选)(苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0) C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是 11．(多选) 已知集合A＝{(x，y)＝a＋1}，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若A∩B＝∅，则a的值可能为(　　) A．－4或 B．1 C．－1 D．0 12．(多选)[济南模拟] 台球运动已有近六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图K45-1,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿与AB夹角为α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan α的值可能为 (　) 图K45-1 A． B．C．1 D． 二、填空题 13． 若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________． 14．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0，则原点O到l1的距离的最大值是________． 15．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1与l2之间的距离最大时，直线l1的方程是____________． 16．设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________. 三、解答题 17．（1）光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程． （2）在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标． 18．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 19．如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为tkm（0<t<8）． （1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）； （2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业54《两直线的位置关系》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案　D 解析　方法一　解方程组可得直线l1和l2的交点坐标为，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0. 方法二　根据题意可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－，所以所求直线的方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 2．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（       ） A． B．2或 C．2 D． 【答案】D 【解析】直线斜率必存在， 故两直线平行，则，即，解得， 当时，两直线重合，∴． 故选：D． 3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　∵l1∥l2， ∴AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得M所在直线的方程为x＋y－6＝0. ∴中点M到原点的最小距离为原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3. 4．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：， ． 故选：C． 5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0 答案　D 解析　由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)， 则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D． 6．已知点A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为(　　) A．4 B．5 C．2 D. 答案　C 解析　过A(3，0)，B(0，3)两点的直线方程为x＋y－3＝0， 设M(1，0)关于直线x＋y－3＝0对称的点为N(x，y)， 则解得即N(3，2)， 同理可求M(1，0)关于直线OB的对称点为E(－1，0)， 当N，P，Q，E四点共线时，△MPQ的周长MQ＋PQ＋PM＝EQ＋PQ＋NP， 取得最小值为NE＝＝2，故选C. 7．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为，故， ，故，所以， 又，所以，故四边形为平行四边形， ， 因为，当且仅当三点共线时等号成立， 的最小值为，选B. 8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值． 故选：C 9．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝3 C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝ 答案　BD 解析　直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，若l1∥l2，则＝≠－，解得m＝3，故A错误，B正确；若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C错误，D正确． 10．(多选)(苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0) C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是 答案　ABD 解析　对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立， 所以l1恒过定点A(0,1)； l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立， 所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确； 对于C，在l1上任取点， 其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为， 代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确； 对于D，联立解得 即M， 所以|MO|＝＝≤， 所以|MO|的最大值是，故D正确． 11．(多选) 已知集合A＝{(x，y)＝a＋1}，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若A∩B＝∅，则a的值可能为(　　) A．－4或 B．1 C．－1 D．0 答案　ABC 解析　由题意当a＝1时，B＝∅，满足题意， 当a≠1时，集合B表示一条直线，集合A也表示一条直线y－3＝(a＋1)(x－2)，即(a＋1)x－y－2a＋1＝0(去掉点(2，3))， 若直线(a2－1)x＋(a－1)y＝15过点(2，3)，则2(a2－1)＋3(a－1)＝15，解得a＝－4或a＝， 若两直线平行，则(a2－1)＋(a－1)(a＋1)＝0(a≠1)，解得a＝－1， ∴a的可能值为－4，，－1，1.故选ABC. 12．(多选)[济南模拟] 台球运动已有近六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图K45-1,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿与AB夹角为α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan α的值可能为 (　) 图K45-1 A. B. C.1 D. .AD　[解析] 如图①,设点A关于DC的对称点为E,点D关于AB的对称点为G,点C关于AB的对称点为F,连接GF,连接EF分别交CD,AB于点M,N,连接AM,CN,由题可得tan α===; 如图②,设点A关于BC的对称点为H,点B关于AD的对称点为J,点C关于AD的对称点为I,连接IJ,连接HI分别交BC,AD于点P,Q,连接AP,CQ,由题可得tan α===.故选AD. 二、填空题 13． 若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________． 答案　2 解析　直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8， 所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，故得所以a＋b＝2. 14．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0，则原点O到l1的距离的最大值是________． 答案　5 解析　直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0， 则直线过定点A(－3,4)， 当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1， 此时原点到l1的距离的最大值为 |OA|＝＝5. 15．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1与l2之间的距离最大时，直线l1的方程是____________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2之间的距离最大． 因为A(1,1)，B(0，－1)， 所以kAB＝＝2， 所以两平行直线的斜率k＝－， 所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 16．设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________. 【答案】 【解析】因为，所以， 而直线：即过定点， ：即过定点， 所以与的交点在以为直径的圆上， 圆方程为，即， 所以到的距离的最大值为． 故答案为：． 三、解答题 17．（1）光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程． 答案　10x－3y＋8＝0 解析　作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′， 则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C. 故BC所在的直线方程为＝. 即10x－3y＋8＝0. （2）在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标． 答案　A(－1，0)，C(5，－6) 解析　如图，设C(x0，y0)，由题意知l1∩l2＝A，则 ⇒ 即A(－1，0)． 又∵l1⊥BC，∴kBC·kl1＝－1. ∴kBC＝＝＝－2. ∴由点斜式可得BC的直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 又∵l2：y＝0(x轴)是∠A的平分线， ∴B关于l2的对称点B′在直线AC上，易得点B′的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC的方程为x＋y＋1＝0. 由C(x0，y0)在直线AC和BC上， 可得⇒即C(5，－6)． 18．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解　(1)设A′(x，y)，由题意知 解得 所以A′. (2)在直线m上取一点M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设M′(a，b)，则 解得M′. 设直线m与直线l的交点为N，则由 得N(4,3)． 又因为m′经过点N(4,3)， 所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)设P(x，y)为l′上任意一点， 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)， 因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0. 19．如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为tkm（0<t<8）． （1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）； （2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度． 【解析】（1）如图，以河岸所在直线为轴，以过垂直于的直线为轴建立直角坐标系， 则可得点， 设点，过P作平行于轴的直线m，作N关于m的对称点， 则． 所以 即为所求． （2）设三段水管总长为，则由（1）知 ， 所以在上有解． 即方程在上有解． 故，即， 解得或， 所以的最小值为21，此时对应的． 故，方程为， 令得，即， 从而，． 所以满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km． 15 学科网（北京）股份有限公司 $