校本作业60抛物线-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业60《抛物线》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C． D． 2．已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m= ( 　) A．1 B．2 C． D． 3．(湖北武汉高三月考)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 4．(桂林模拟)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|等于(　　) A．2 B．3 C． D． 5．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　　) A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m 6．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是C上一点,且|PF|=4,以线段PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2,则p= (　) A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 7．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若， 则（ ） A. B. C. D. 8．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的最小值为（ ）． A．4 B.9 C.13 D.18 9．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是，则抛物线的标准方程为（ ） A．y2＝16x B. y2＝8x C. y2＝4x D. y2＝2x 10．(多选) 设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A．准线的方程是 B．的最大值为2 C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 11．(多选)(潍坊模拟)已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 12．(多选) 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切 C．当时， D．若点在抛物线准线上的射影为，则、、三点共线 二、填空题 13．(新高考全国Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 14．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________． 15．长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB的中点M到y轴距离的最小值是________． 16．(课标全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________． 三、解答题 17．抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5，求此抛物线方程． 18．(全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业60《抛物线》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C. D. 答案　D 解析　抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p＝，故选D. 2．已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m= ( 　) A.1 B.2 C. D. 答案B　[解析] 点(x0,2)到焦点F的距离等于其到准线y=-的距离,则2+=,解得m=2. 3．(湖北武汉高三月考)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案　B 解析　不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l：x＝－2交x轴于点F′，作NA⊥l于点A，MB⊥l于点B，因为点F(2，0)，M为FN的中点，所以|NA|＝2，|FF′|＝4，|MF|＝|MB|＝＝3，所以|FN|＝2|MF|＝6.故选B. 4．(桂林模拟)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|等于(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　C 解析　如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|， 在Rt△NHM中，|MN|＝|NH|， 则∠NMH＝45°. 在Rt△MFK中，∠FMK＝45°， 所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1， 所以|MF|＝. 5．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　　) A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m 答案　B 解析　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)， 代入抛物线方程解得p＝4， 所以抛物线方程为x2＝－8y， 水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2， 所以此时水面宽度d＝2x1＝4. 6．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是C上一点,且|PF|=4,以线段PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2,则p= (　) A.2 B.4 C.2或4 D.2或6 D　[解析] 设P,由于|PF|=4,所以+=4,以线段PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2,易知弦的一个端点为F,设弦的另一个端点为A,则|AF|=2,连接AP,则PA⊥AF,所以|PF|2=|AF|2+|PA|2=4+=16,则=12,代入+=4得p2-8p+12=0,解得p=2或p=6,故选D. 7．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若， 则（ ） A. B. C. D. 答案　C 解析　分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过作于， 交轴于，由已知条件及抛物线的定义得，，， 所以，在中，因为，，所以， 所以，所以焦点到准线的距离为，即. 8．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的最小值为（ ）． A．4 B.9 C.13 D.18 答案：C 提示：依题意可知圆心即为，由抛物线焦点弦性质， ，即 9．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是，则抛物线的标准方程为（ ） A．y2＝16x B. y2＝8x C. y2＝4x D. y2＝2x 答案　A 解析　如图，设抛物线的准线交x轴于点D， 依题意得|DF|＝p，＝cos30°，因此|BF|＝，|AF|＝|BF|＝.由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为，又△ABC的面积为，因此有××＝，p＝8，所以该抛物线的标准方程为y2＝16x. 10．(多选) 设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A．准线的方程是 B．的最大值为2 C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】 根据抛物线的方程和定义进行判断即可. 【详解】 因为抛物线的方程为，所以，则准线的方程是，因此选项A正确； 因为焦点，则，当点在线段上时取等号，所以的最大值为，因此选项B是错误的； 过点，分别作准线的垂线，垂足为，，则，当点在线段上时取等号，所以的最小值为5，因此本选项正确； 设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相切，因此本选项正确. 故选：ACD． 11．(多选)(潍坊模拟)已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 答案　BCD 解析　易知点F的坐标为，选项A错误； 根据抛物线的性质知，MN过焦点F时， x1x2＝－p2＝－，选项B正确； 若＝λ，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确； 抛物线x2＝y的焦点为， 准线方程为y＝－， 过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)， 所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|. 所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝， 所以线段|PP′|＝＝， 所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确． 12．(多选) 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切 C．当时， D．若点在抛物线准线上的射影为，则、、三点共线【答案】ACD 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程，设，，在准线上的射影为，，，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A； 当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设为1，求得，，的横坐标，由直线和圆的位置关系可判断B； 以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，，，，求得，，可判断C； 考虑直线垂直于轴，取得最小值，可判断D． 【详解】 解：的焦点，准线方程为， 设，，在准线上的射影为，，， 由，，， 可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A对； 当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切； 当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得， 设，，，， 可得，，设，， 可得的横坐标为，的中点的横坐标为，， 当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故B错； 以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为， 设，，，，可得，， 可得，又，可得，，则，故C正确； 选项D，由题意知， ，，则，， 由，知， 即､､三点在同一条直线上，故D正确. 故选：ACD． 二、填空题 13．(新高考全国Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案　 解析　如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)， 设直线AB的方程为y＝(x－1)． 由 得3x2－10x＋3＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋2＝. 14．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________． 答案　 解析　设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝. 15．长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB的中点M到y轴距离的最小值是________． 答案　 解析　 设抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l，点A，B，M在l上的射影分别为点C，D，N，连接AC，BD，MN，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN|＝(|AC|＋|BD|)．连接AF，BF，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F在AB上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝(|AC|＋|BD|)≥|AB|＝1. 设点M的横坐标为a，抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，则|MN|＝a＋≥1，解得a≥. 因此，当且仅当线段AB为经过抛物线焦点的弦时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为. 16．(课标全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________． 答案　2 解析　方法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2. 方法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y12－y22＝4(x1－x2)，则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，连接MM′，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′.又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2. 三、解答题 17．抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5，求此抛物线方程． 答案　y2＝4x 解析　设抛物线y2＝2px(p>0)的内接直角三角形为Rt△AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，则另一直角边所在直线方程为y＝－x. 解方程组可得点A的坐标为. 解方程组可得点B的坐标为(8p，－4p)． ∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5，∴＋(64p2＋16p2)＝325. ∴p＝2，∴所求的抛物线方程为y2＝4x. 18．(全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得F， 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋. 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－. 从而－＝，解得t＝－. 所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2， 故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝， 即A(3,3)，B. 故|AB|＝. 2 学科网（北京）股份有限公司 $