福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学校本作业23（双变量及极值点偏移问题）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业23《双变量及极值点偏移问题》 班级： 姓名： 座号： 1．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．已知函数，若且满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．已知，都是正整数，且，则（       ） A． B． C． D． 6．若实数a，b，c满足，则的最小值是_________. 7．设函数． （2）若有两个极值点、，证明：． 8．（2021•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：． 9．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，分别为点，的横坐标，求证：． 10．已知函数，． （1）讨论函数的极值点； （2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：． 11．已知函数，是的极值点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方； （Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业23《双变量及极值点偏移问题》 班级： 姓名： 座号： 1．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，构造函数，分析可知函数在上为增函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】不妨设，可得，可得， 令，则， 所以，函数在上为增函数， 对任意的恒成立，所以，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，. 故选：B. 2．已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，函数利用导数求最小值，函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. 【详解】由题意可知， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，取得最小值，， ，， ①当时，函数单调递增，， 即 ，解得：，不成立； ②当时，， 即，解得：或，不成立； ③当时，函数单调递减， 即 ，解得：，成立. 综上可知：. 故选：B 【点睛】本题考查双变量不等式恒成立，求参数的取值范围，意在考查转化与化归，分类讨论的思想，属于中档题型，一般双变量不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题. 3．若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，可得，是有两解，根据，所以，带入可得，由即可得解. 【详解】根据题意，是有两解， 所以，所以， ，， 由可得， ， 由可得，，则， 故选：D. 4．已知函数，若且满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围． 【详解】由题意时，是减函数，且， 时，是减函数，且， 由且得，，，， ，所以， ， 设，， 时，，是增函数，所以，即， 所以． 故选：C． 5．已知，都是正整数，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，构造函数求解即可. 【详解】因为，所以，令， 所以，故在上单调递增，由已知得， 故，因为，都是正整数，即. 故选：A. 6．若实数a，b，c满足，则的最小值是_________. 答案：1 易知 . 提示：法1 解：由得： 在坐标系中考察函数与的图象， 所以，的最小值等价于直线与函数，交点横坐标之间距离的最小值.设直线与相切于点，则， 解得：，所以，，故. 法2 解：由得： ，则 ， 令，则， 当时，；当时，；当时，； 所以，在单调递增，在单调递减，故， 所以， 7．设函数． （2）若有两个极值点、，证明：． 【解答】解：（2）证明：， ， 由题意知有2个不相等的实数根， 即有2个不相等的实数根，， 则，令，则， 令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故（1），而时，， 故的取值范围是，， 由，得， 故 ， 令，则， ，， 故不等式只要在时成立， 令， ，， 故在上单调递增，即， 故在上单调递减，即， 故原不等式成立． 8．（2021•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：． 【解答】（1）解：由函数的解析式可得， ，，单调递增， ，，单调递减， 则在单调递增，在单调递减． （2）证明：由，得， 即， 由（1）在单调递增，在单调递减， 所以（1），且（e）， 令，， 则，为 的两根，其中． 不妨令，，则， 先证，即证，即证， 令， 则在单调递减， 所以（1）， 故函数在单调递增， （1）．，，得证． 同理，要证， （法一）即证， 根据（1）中单调性， 即证， 令，， 则，令， ，，单调递增， ，，，单调递减， 又，，且（e）， 故， （1）（1）， 恒成立， 得证， （法二），， 又，故，， 故，， 令，，， 在上，，单调递增， 所以（e）， 即，所以，得证， 则． 法三：利用切割线放缩 易求在处的切线为，过的割线 下面证明与的位置关系： 令 ，单调递增； 所以 令，显然， 所以时， 不妨令，所以 所以 9．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，分别为点，的横坐标，求证：． （1）解：的定义域为，且． 当时，，则在上单调递增． 当时，若，则，在上单调递增； 若，则，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）证明：当时，，， 所以， 所以． 要证，即证． 因为，所以，即证． 令，则，即证． 令，则， 所以在上单调递减， 所以（1），即，．① 令，则，所以在上单调递增， 则（1），即．② 综合①②得，所以． 10．已知函数，． （1）讨论函数的极值点； （2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：． 【解答】解：（1）， ， 令，△， 当时，△，，无极值点， 当时，令，解得：， 当，，时，，递增， ，时，，递减， 故极大值点是，极小值点是； 综上：时，无极值点， 时，极大值点是，极小值点是； （2）由，即， 令， ，令，得， 当时，，当时，， 在递减，在，上递增， 又有2个零点， ，即，解得：， 且，两式相减得：， 设，， ，要证明， 即证明，， ， 即证明， 令， ， 在上单调递减， （1）， 即． 11．已知函数，是的极值点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方； （Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：． 【解答】（Ⅰ）解：； 由题意知，； ； （Ⅱ）证明：设曲线在，处切线为直线； 令； ； ； 在上单调递增，在，上单调递减； ； ，即，即上的点都不在直线的上方； （Ⅲ）由（Ⅱ）设方程的解为； 则有，解得； 由题意知，； 令，； ； 在上单调递增； ； 的图象不在的下方； 与交点的横坐标为； 则有，即； ； 关于的函数在上单调递增； ． 备选7．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且，证明：. 【答案】（1）时，递增；时，递减；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性，结合导函数的零点，判断函数的单调性；（2）首先方程变形为，设，，通过构造函数，，利用导数证明，再分和时，证明. 【详解】 解：（1），是减函数，是增函数， 所以在单调递减， ∵， ∴时，，单调递增；时，，单调递减. （2）由题意得，，即 ，， 设，，则由得，，且. 不妨设，则即证， 由及的单调性知，. 令，，则 ， ∵，∴，， ∴，取，则， 又，则， 又，，且在单调递减，∴，. 下证：. （i）当时，由得，； （ii）当时，令，，则 ， 记，，则， 又在为减函数，∴， 在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增， 又，， ∴， 又， 从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以，， 又， ， 所以，， 显然，， 所以，，即， 取，则， 又，则， 结合，，以及在单调递增，得到， 从而. 1 学科网（北京）股份有限公司 $