第一章 集合与逻辑高频重点题型突破（五大高频+一大重难题型，专项训练）数学湘教版必修第一册

第一章 集合与逻辑全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 集合的三要素与表示法 题型2 集合间的基本关系 题型3 集合的基本运算 题型4 充分条件与必要条件 题型5 全称量词与存在量词 核心提升：重难题型归纳 题型 含参集合的分类讨论 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 集合的三要素与表示法 1．集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 5．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 6．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 8．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 9．已知集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值. 10．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 11．用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. ◆题型2 集合间的基本关系 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 14．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 15．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 16．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 17．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 19．已知非空集合，且⫋，则___________ 20．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 21．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． ◆题型3 集合的基本运算 22．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 23．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 24．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 25．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 27．已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 28．已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 29．设全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 30．已知集合 均为 的子集，且 ，则（    ） A． B． C． D． 31．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． ◆题型4 充分条件与必要条件 32．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 33．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 34．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 35．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 36．设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 37．设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 38．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 39．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的____________条件． 40．已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． ◆题型5 全称量词与存在量词 41．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 42．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 43．已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 44．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．，≥ D．，≥ 45．若命题，则是（    ） A．且 B．或 C．且 D． 46．命题“，使”的否定是（     ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 47．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 49．已知命题p：，，则（    ） A．：，，且为真命题 B．：，，且为真命题 C．：，，且为假命题 D．：，，且为假命题 50．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（   ） A．甲是律师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是律师 C．甲是医生，乙是律师，丙是记者 D．甲是记者，乙是医生，丙是律师 51．（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 52．命题“，”的否定是__________． 53．已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 54．已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． ◆题型 含参集合的分类讨论 1．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 2．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 3．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 4．已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 一、选择题 1．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，则命题为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 4．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 5．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 6．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（    ） A． B．8 C．16 D． 8．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 三、解答题 10．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 11．已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 12．已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与逻辑全章高频重点题型突破 ◆题型1 集合的三要素与表示法 1.【答案】A 【解析】因为且，所以有5个元素. 2.【答案】B 【解析】因为，所以.对于A：不成立，A错误；对于B：成立，B正确；对于C：成立，C错误；对于D：成立，D错误. 3.【答案】C 【解析】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 4.【答案】D 【解析】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误.对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误.对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误.对于D，根据元素的确定性可知D正确， 5.【答案】C 【解析】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或，当时，，集合为，元素各不相同，符合题意；当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意；因此实数的值为或. 6.【答案】A 【解析】因为且，则得(I)或(II)，由(I)解得，由(II)解得，故实数的取值范围是. 7.【答案】CD 【解析】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确；集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确；集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误；是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 8.【答案】0或1 【解析】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论：当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意，当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意，综上，的值为或. 9.解：（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 10.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 11.解：（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. ◆题型2 集合间的基本关系 12.【答案】C 【解析】因为，所以． 13.【答案】D 【解析】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个当集合中含有两个元素时，可为；当集合中含有三个元素时，可为；当集合中含有四个元素时，可为；综上所述满足条件的集合的个数为7个． 14.【答案】C 【解析】由题意得：，解得，又，所以，所以，所以，所以集合的真子集的个数为. 15.【答案】C 【解析】由集合，，根据集合补集的定义与运算，可得或. 16.【答案】C 【解析】由题知，所以，有6个元素． 17.【答案】C 【解析】因为、是实数，集合，，且，因为且，若，则，解得，此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意；若，即，解得或，因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意.综上所述，，，故. 18.【答案】 【解析】由题意，因集合或 ，，则或，即或，即实数的取值范围是 19.【答案】8 【解析】由题意得，中只有1个元素，则，解得，当时，，此时，则，当时，，此时，则，则. 20.解：因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 21.解：（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． ◆题型3 集合的基本运算 22.【答案】D 【解析】因为，所以，所以. 23.【答案】C 【解析】由题知阴影部分表示的集合为. 24.【答案】A 【解析】因为集合，所以. 25.【答案】D 【解析】因为，故．又因为，所以． 26.【答案】B 【解析】由集合，可得，又由集合，可得. 27.【答案】C 【解析】全集，而，则，因此，所以集合. 28.【答案】B 【解析】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 29.【答案】D 【解析】由全集，集合，得，而，所以. 30.【答案】C 【解析】根据补集定义，是实数集中所有不属于的元素构成的集合, 已知，说明不存在元素同时满足且，即对任意，都有，因此， 选项A：推导得，并非，故A错误；选项B：因为，故，仅当时等于，不是恒成立，故B错误；选项C：当时，恒成立，故C正确；选项D：举反例：取，，满足，但，故D错误. 31.【答案】5或10 【解析】由集合，得，，当时，或，则或； 当时，或，则或，当时，，，有两个元素，不合题意；当时，，，有一个元素，符合题意，则，元素之和为；当时，，，有一个元素，符合题意，则，元素之和为，所以元素之和为5或10． ◆题型4 充分条件与必要条件 32.【答案】B 【解析】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误；因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确；因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误；因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 33.【答案】A 【解析】由，当，，此时不等式无解，当，此时，所以，解得，即,已知，且是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以. 34.【答案】A 【解析】不等式可化为，即.若成立，一定满足，因此充分性成立；若满足，不一定满足，因此，必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件. 35.【答案】A 【解析】由“”是“”的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，则，解得，所以实数的取值范围是. 36.【答案】A 【解析】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 37.【答案】D 【解析】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立；例如：设全集，集合，此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立，综上可得，是的既非充分也非必要条件. 38.【答案】B 【解析】因为，若，则，所以，解得，当时，，此时，所以是的充要条件，故“”的一个必要不充分条件是. 39.【答案】充分不必要 【解析】由已知得，．但由于r推不出p，所以q推不出p，故p是q的充分不必要条件． 40.解：（1）把代入集合，得 ，， 或. （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. ◆题型5 全称量词与存在量词 41.【答案】A 【解析】若，，则，即，故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 42.【答案】D 【解析】解不等式可得，通过否定命题的定义可知，的否定为. 43.【答案】C 【解析】因为，所以是假命题，是真命题；若，则；若，则，故是真命题. 44.【答案】B 【解析】根据全称量词命题否定的定义，命题“，”的否定是：“，”. 45.【答案】B 【解析】命题，则是或. 46.【答案】B 【解析】命题“，使”的否定是“”. 47.【答案】A 【解析】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以，又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集，当时，，解得，此时，不满足，当时，，解得，因为，所以或，由，解得；由，解得，因此得到，又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或，结合，可得. 48.【答案】D 【解析】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除；选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除；选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除；选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 49.【答案】D 【解析】全称命题的否定为特称命题，故命题的否定为.对二次函数，配方得，对任意，，因此恒成立，即命题为真命题.根据命题与否定的真假性相反，为假命题.综上，，且为假命题. 50.【答案】C 【解析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，且记者的年龄比乙小，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生，可以确定A错误，C正确. 51.【答案】ACD 【解析】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域.由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分），这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ，这与图形不符，故选项B错误；选项C：命题“，使得”等价于 .由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立，表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 52.【答案】， 【解析】命题“，”的否定是“，”. 53.【答案】 【解析】因为命题“，使得”为真命题，所以，解得或，即实数的取值范围为. 54.解：（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． ◆题型 含参集合的分类讨论 1.解：（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 2.解：（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 3.解：（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 4.解：（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 一、选择题 1.【答案】A 【解析】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 2.【答案】A 【解析】:，. 3.【答案】A 【解析】，，则， 则的元素个数为16. 4.【答案】B 【解析】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数，故属于奇数集，即. 5.【答案】C 【解析】因为元素，所以有或两种情况，当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性；当时，即，当时，不符合题意；当时，集合为，满足，符合条件. 6.【答案】D 【解析】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题：当时，不等式即，符合题意；当时，命题为真等价于，解得，综上所述，. 7.【答案】B 【解析】因为且，故集合中的元素必然包含3，根据可知，集合中的元素可能包含，故满足条件的集合等价于的子集，则集合的个数是个． 8.【答案】A 【解析】解方程，因式分解得，解得或，故.当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足.当时，，由可知：若，解得；若，解得.综上，实数的取值集合为. 9.【答案】1 【解析】显然，①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性；②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或.经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性.综上可知，. 10.解：（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 11.解：（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 12.解：（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与逻辑全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 集合的三要素与表示法 题型2 集合间的基本关系 题型3 集合的基本运算 题型4 充分条件与必要条件 题型5 全称量词与存在量词 核心提升：重难题型归纳 题型 含参集合的分类讨论 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 集合的三要素与表示法 1．集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】因为且，所以有5个元素. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.对于A：不成立，A错误；对于B：成立，B正确；对于C：成立，C错误；对于D：成立，D错误. 3．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 4．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【解析】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误.对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误.对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误.对于D，根据元素的确定性可知D正确， 5．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或，当时，，集合为，元素各不相同，符合题意；当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意；因此实数的值为或. 6．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且，则得(I)或(II)，由(I)解得，由(II)解得，故实数的取值范围是. 7．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【解析】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确；集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确；集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误；是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 8．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【解析】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论：当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意，当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意，综上，的值为或. 9．已知集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值. 9.解：（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 10．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 10.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 11．用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 11.解：（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. ◆题型2 集合间的基本关系 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 13．满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【解析】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个当集合中含有两个元素时，可为；当集合中含有三个元素时，可为；当集合中含有四个元素时，可为；综上所述满足条件的集合的个数为7个． 14．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】由题意得：，解得，又，所以，所以，所以，所以集合的真子集的个数为. 15．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合，，根据集合补集的定义与运算，可得或. 16．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】由题知，所以，有6个元素． 17．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为、是实数，集合，，且，因为且，若，则，解得，此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意；若，即，解得或，因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意.综上所述，，，故. 18．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意，因集合或 ，，则或，即或，即实数的取值范围是 19．已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【解析】由题意得，中只有1个元素，则，解得，当时，，此时，则，当时，，此时，则，则. 20．已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 20.解：因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 21．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 21.解：（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． ◆题型3 集合的基本运算 22．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以. 23．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知阴影部分表示的集合为. 24．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，所以. 25．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故．又因为，所以． 26．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，可得，又由集合，可得. 27．已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全集，而，则，因此，所以集合. 28．已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 29．设全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由全集，集合，得，而，所以. 30．已知集合 均为 的子集，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据补集定义，是实数集中所有不属于的元素构成的集合, 已知，说明不存在元素同时满足且，即对任意，都有，因此， 选项A：推导得，并非，故A错误；选项B：因为，故，仅当时等于，不是恒成立，故B错误；选项C：当时，恒成立，故C正确；选项D：举反例：取，，满足，但，故D错误. 31．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【解析】由集合，得，，当时，或，则或； 当时，或，则或，当时，，，有两个元素，不合题意；当时，，，有一个元素，符合题意，则，元素之和为；当时，，，有一个元素，符合题意，则，元素之和为，所以元素之和为5或10． ◆题型4 充分条件与必要条件 32．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误；因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确；因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误；因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 33．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，当，，此时不等式无解，当，此时，所以，解得，即,已知，且是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以. 34．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式可化为，即.若成立，一定满足，因此充分性成立；若满足，不一定满足，因此，必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件. 35．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，则，解得，所以实数的取值范围是. 36．设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 37．设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立；例如：设全集，集合，此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立，综上可得，是的既非充分也非必要条件. 38．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，若，则，所以，解得，当时，，此时，所以是的充要条件，故“”的一个必要不充分条件是. 39．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的____________条件． 【答案】充分不必要 【解析】由已知得，．但由于r推不出p，所以q推不出p，故p是q的充分不必要条件． 40．已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 40.解：（1）把代入集合，得 ，， 或. （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. ◆题型5 全称量词与存在量词 41．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，，则，即，故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 42．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式可得，通过否定命题的定义可知，的否定为. 43．已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】因为，所以是假命题，是真命题；若，则；若，则，故是真命题. 44．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．，≥ D．，≥ 【答案】B 【解析】根据全称量词命题否定的定义，命题“，”的否定是：“，”. 45．若命题，则是（    ） A．且 B．或 C．且 D． 【答案】B 【解析】命题，则是或. 46．命题“，使”的否定是（     ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】B 【解析】命题“，使”的否定是“”. 47．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以，又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集，当时，，解得，此时，不满足，当时，，解得，因为，所以或，由，解得；由，解得，因此得到，又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或，结合，可得. 48．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【解析】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除；选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除；选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除；选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 49．已知命题p：，，则（    ） A．：，，且为真命题 B．：，，且为真命题 C．：，，且为假命题 D．：，，且为假命题 【答案】D 【解析】全称命题的否定为特称命题，故命题的否定为.对二次函数，配方得，对任意，，因此恒成立，即命题为真命题.根据命题与否定的真假性相反，为假命题.综上，，且为假命题. 50．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（   ） A．甲是律师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是律师 C．甲是医生，乙是律师，丙是记者 D．甲是记者，乙是医生，丙是律师 【答案】C 【解析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，且记者的年龄比乙小，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生，可以确定A错误，C正确. 51．（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【解析】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域.由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分），这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ，这与图形不符，故选项B错误；选项C：命题“，使得”等价于 .由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立，表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 52．命题“，”的否定是__________． 【答案】， 【解析】命题“，”的否定是“，”. 53．已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】因为命题“，使得”为真命题，所以，解得或，即实数的取值范围为. 54．已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 54.解：（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． ◆题型 含参集合的分类讨论 1．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 1.解：（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 2．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 2.解：（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 3．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 3.解：（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 4．已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 4.解：（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 一、选择题 1．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 2．已知命题，则命题为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】:，. 3．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【解析】，，则， 则的元素个数为16. 4．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【解析】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数，故属于奇数集，即. 5．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为元素，所以有或两种情况，当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性；当时，即，当时，不符合题意；当时，集合为，满足，符合条件. 6．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题：当时，不等式即，符合题意；当时，命题为真等价于，解得，综上所述，. 7．设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（    ） A． B．8 C．16 D． 【答案】B 【解析】因为且，故集合中的元素必然包含3，根据可知，集合中的元素可能包含，故满足条件的集合等价于的子集，则集合的个数是个． 8．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解方程，因式分解得，解得或，故.当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足.当时，，由可知：若，解得；若，解得.综上，实数的取值集合为. 二、填空题 9．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【解析】显然，①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性；②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或.经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性.综上可知，. 三、解答题 10．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 10.解：（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 11．已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 11.解：（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 12．已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 12.解：（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $