校本作业19利用导数研究函数的零点-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业19《利用导数研究函数零点问题》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)上的零点个数是 (　 ) A．0 B．1 C．.2 D．3 2．若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为(　　) A．[－4，0] B．(1，28] C．[－4，0)∪(1，28] D．[－4，0)∪(1，28) 3．(湖北黄石一中模拟)已知函数f(x)＝eax－存在两个零点，则正数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4．已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．已知，若关于的方程恰有3个不同的实数解（为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数，下列选项正确的是（ ） A．图象关于点成中心对称 B．若有三个不同的解，则 C．对任意实数，函数在上单调递增 D．当时，若过点可以做函数的三条切线，则 二、填空题 7．函数的零点个数是__________． 8．（河南焦作·二模（理））函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是_______. 三、解答题 9．(安庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)． (1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 10．（新高考2）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①；②． 11．（河南·长葛市）已知函数，． (1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论关于x的方程的实根个数． 12．已知函数． （1）若函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围． 13．（四川成都·模拟预测（理））已知 (1)当时，求的单调性； (2)讨论的零点个数． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业19《利用导数研究函数零点问题》 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)上的零点个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案B　[解析] f'(x)=2xln 2+3x2,当x∈(0,1)时,f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增,∵f(0)=-1<0,f(1)=1>0,∴函数在区间(0,1)上的零点个数为1. 2．若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为(　　) A．[－4，0] B．(1，28] C．[－4，0)∪(1，28] D．[－4，0)∪(1，28) 答案　C 解析　设f(x)＝2x3－3x2＋a，可得f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，x∈[－2，2]， 令f′(x)≥0，可得－2≤x≤0或1≤x≤2，令f′(x)<0，可得0<x<1， 可得函数f(x)的单调递增区间为[－2，0]，[1，2]，单调递减区间为(0，1)， 由函数f(x)在区间[－2，2]上仅有一个零点，f(－2)＝a－28，f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋4，若f(0)＝a＝0，则f(x)＝x2(2x－3)，显然不符合题意，故f(0)≠0， ∴或 可得1<a≤28或－4≤a<0.故选C. 3．(湖北黄石一中模拟)已知函数f(x)＝eax－存在两个零点，则正数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　显然f(0)＝1，f(x)＝eax－有两个零点，即方程eax＝在(0，＋∞)上有两个解， 两边取对数得到2ax＝ln x，令g(x)＝ln x－2ax，则g′(x)＝－2a，可得g(x)在上单调递增，在上单调递减， 又当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→－∞， 因为g(x)有两个零点，则g＝ln －1>0， 解得a<.所以正数a的取值范围是.故选C. 4．已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A ， 直线过点， 设， 所以在点处的的切线方程为， 即，将代入得，. ，即在函数的图象上， . 要使方程在区间上恰有3个不等实数根， 则，即的取值范围是. 故选：A 5．已知，若关于的方程恰有3个不同的实数解（为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 6．（多选）已知函数，下列选项正确的是（ ） A．图象关于点成中心对称 B．若有三个不同的解，则 C．对任意实数，函数在上单调递增 D．当时，若过点可以做函数的三条切线，则 【答案】ABD 【详解】 对于选项A，由于，所以图像关于点成中心对称，故A正确； 对于选项B，由韦达定理有， 则，故B正确； 对于选项C，，若，当时，，因此在区间上单调递减，故C不正确； 对于选项D，当时，，则，设切点为， 因此切线方程为， 将代入切线方程整理有， 令，由题意可知，要有三条切线，即有三个零点， ， 时，；时，或. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以，， 因此要使有三个零点，则，故D正确. 故选：ABD. 二、填空题 7．函数的零点个数是__________． 【答案】2 ， 画出与的图象如下图所示， 当时，， ，所以在曲线图象上点的切线方程为，即. 由图可知与有两个公共点，即有两个零点. 故答案为： 8．（河南焦作·二模（理））函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 由函数的零点个数等价于函数与的图象公共点个数， 由指数函数和对数函数的性质，可得它们都经过点， 又由，，可得，， ①当时，单调递增，或单调递减，两图象仅有一个交点； ②当时，结合两函数的图象，可得两个图象只有一个公共点； ③当时，根据指数函数与对数函数图象的形状，可知两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点； ④当时，根据指数函数与对数函数图象的形状，两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点， 综上：实数a的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 9．(安庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)． (1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解　(1)由f(x)＝ln x－aex＋1， 知x∈(0，＋∞)． 当a＝1时，f(x)＝ln x－ex＋1， f′(x)＝－ex， 显然f′(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又f′＝2－>0，f′(1)＝1－e<0， 所以f′(x)在上存在零点x0，且是唯一零点，当x∈(0，x0)时，f′(x)>0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0， 所以x0是f(x)＝ln x－ex＋1的极大值点，且是唯一极值点． (2)令f(x)＝ln x－aex＋1＝0，则a＝. 令y＝a，g(x)＝， g′(x)＝(x>0)． 令h(x)＝－ln x－1， 则h′(x)＝－－<0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0， 故当x∈(0,1)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减． 故g(x)max＝g(1)＝. 又g＝0，当x>1且x→＋∞时， g(x)>0且g(x)→0， 作出函数g(x)＝的图象如图所示． 结合图象知，当a>时，f(x)无零点， 当a≤0或a＝时，f(x)有1个零点， 当0<a<时，f(x)有两个零点． 10．（新高考2）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. (1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 11．（河南·长葛市）已知函数，． (1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论关于x的方程的实根个数． 【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析 【解析】(1)当a＝2时，，， 则切线的斜率为， 又，所以曲线在处的切线方程是， 即． (2)即为，化简得， 令，则， 令，则， 令，得． 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减． ①当时，，即， 所以在R上单调递减． 又，所以有唯一零点0； ②当时，，，所以存在，， 又， 令，， 所以在上单调递减，， 即，所以存在，， x n m － 0 ＋ － 单调递减 单调递增 单调递减 则，又，所以存在，； 同理，，又，所以存在，， 由单调性可知，此时有且仅有三个零点0，，． 综上，当时，有唯一零点，方程有唯一的实根； 当时，有且仅有三个零点，方程有3个实根． 12．已知函数． （1）若函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围． 解：（1）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 由，， 可得， 由于，则在上恒成立， 令，， 故在上单调递增， 所以只需即可，， 所以， 所以的取值范围是，． （2）的定义域为， ，令，， 当时，单调递增，，，，， 故存在，使得，即， 即①，两边取对数得②， 而在上单调递减，在，上单调递增， 故，故， 将①②代入上式得，化简得， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 故， 即的取值范围是． 13．（四川成都·模拟预测（理））已知 (1)当时，求的单调性； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)当，0个零点；当或，1个零点；，2个零点 【解析】，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的图象，数形结合即可得解； (1)因为，， 所以， 令，，所以在单增，且， 当时，当时， 所以当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增 (2) 解：因为 令，易知在上单调递增，且， 故的零点转化为即， 当时无解， 当时，令，，，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增， 所以的大致图象如下： ①当即时，与没有交点，故函数有0个零点； ②当或即或时，与有个交点，故函数有1个零点； ③当即时，与有个交点，故函数有2个零点； 综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点； 4 学科网（北京）股份有限公司 $