校本作业17 导数与函数的单调性-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业17（导数与函数单调性） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是(　　) A． B． C． D．(e，＋∞) 2．已知f '(x)是函数f(x)的导数,则“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f '(x)<0在(a,b)上恒成立”的 (　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(长沙调研)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　) 4．(深圳质检)若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞) 5．若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(　　) A． B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D． 6．对任意x1,x2∈,x2>x1,y1=,y2=,则 ( 　) A．y1=y2 B．y1>y2 C．y1<y2 D．y1,y2的大小关系不能确定 7．（2020全国1）若，则（ ） A. B. C. D. 8．[丹东模拟] 设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x+1,则满足f(x)+f(3-2x)<2的x的取值范围是 (　) A．(3,+∞) B．(1,+∞) C．(-∞,3) D．(-∞,1) 9．(株洲市第二中学4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　) A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3) C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2) 10．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x 11．(多选) [大连二模] 已知函数f(x)=x+,则下列说法正确的是 (　) A．f(x)在[-2,1]上单调递增 B．f(x)的值域是[-2,4] C．方程f[f(x)]=2有两个实数解 D．对于x1,x2(x1<x2)满足f(x1)=f(x2),则x1+x2<2 12．(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cosx＋f(x)sinx＜0，则下列判断中正确的是(　　) A．f ＜f B．f ＞0 C．f ＞f D．f ＞f 二、填空题 13．(长沙市长郡中学月考)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3,1)，则m＋n的值为________． 14．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是______________ 15．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式 的解集为______________ 16．若函数对任意，都有，则实数 的取值范围是 ． 三、解答题 17．讨论下列函数的单调性． (1)f(x)＝x－aln x； (2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2. 18． 已知函数.（1）讨论函数的单调性； 19．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业17（导数与函数单调性） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是(　　) A. B. C. D．(e，＋∞) 答案　C 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1＋ln x， 令f′(x)<0，得0<x<， 所以f(x)的单调递减区间为. 2．已知f '(x)是函数f(x)的导数,则“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f '(x)<0在(a,b)上恒成立”的 (　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B　[解析] 若f(x)在(a,b)上单调递减,f'(x)<0在(a,b)内不恒成立,例如f(x)=-x3,显然f(x)在(-1,1)上单调递减,但f'(0)=-3×02=0;若f'(x)<0在(a,b)上恒成立,设任意x0∈(a,b),则f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f'(x0)<0,所以f(x)在(a,b)上单调递减.所以“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f'(x)<0在(a,b)上恒成立”的必要不充分条件.故选B. 3．(长沙调研)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　列表如下： x (－∞，－1) (－1,0) (0,1) (1，＋∞) xf′(x) － ＋ － ＋ f′(x) ＋ － － ＋ f(x) 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． 故函数f(x)的图象是C选项中的图象． 4．(深圳质检)若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞) 答案　C 解析　∵f(x)＝－x2＋4x＋bln x在(0，＋∞)上是减函数， ∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即f′(x)＝－2x＋4＋≤0， 即b≤2x2－4x， ∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2. 5．若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(　　) A. B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D. 答案　B 解析　因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h′(x)＝－ax－2<0在[1,4]上有解， 所以当x∈[1,4]时，a>－有解， 而当x∈[1,4]时，－＝2－1， min＝－1(此时x＝1)， 所以a>－1，所以a的取值范围是(－1，＋∞)． 6．对任意x1,x2∈,x2>x1,y1=,y2=,则 ( 　) A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1<y2 D.y1,y2的大小关系不能确定 答案.B　[解析] 设函数f(x)=,则f'(x)=,令u(x)=xcos x-(1+sin x),则u'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x<0,∴u(x)在上单调递减,∴u(x)<u(0)=-1<0,∴f'(x)<0,∴函数f(x)在上单调递减,∵x2>x1,∴f(x1)>f(x2),即y1>y2.故选B. 7．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 8．[丹东模拟] 设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x+1,则满足f(x)+f(3-2x)<2的x的取值范围是 (　) A.(3,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,1) 答案.A　[解析] 令g(x)=sin x+ex-e-x-x,则f(x)=sin x+ex-e-x-x+1=g(x)+1,则g(-x)=sin(-x)+e-x-ex+x=-(sin x+ex-e-x-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,又g'(x)=cos x+ex+e-x-1>0,∴g(x)在R上单调递增.由f(x)+f(3-2x)=g(x)+g(3-2x)+2<2,得g(x)<-g(3-2x),∴g(x)<g(2x-3),又g(x)在R上单调递增,∴x<2x-3,∴x>3,∴x的取值范围为(3,+∞).故选A. 9．(株洲市第二中学4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　) A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3) C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2) 答案　A 解析　首先令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(x)是偶函数，所以4f(－2)＝g(－2)＝g(2)<g(3)＝9f(3)，故选A． 10．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x 答案　ACD 解析　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x， 当x∈时，g′(x)<0， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x， 当x∈时，g′(x)<0， 故D中函数不是“F函数”． 11．(多选) [大连二模] 已知函数f(x)=x+,则下列说法正确的是 (　) A.f(x)在[-2,1]上单调递增 B.f(x)的值域是[-2,4] C.方程f[f(x)]=2有两个实数解 D.对于x1,x2(x1<x2)满足f(x1)=f(x2),则x1+x2<2 答案.ABD　[解析] f(x)的定义域为[-2,2],f'(x)=1+×(12-3x2×(-6x)=1-=.当x∈[-2,1]时,-3x>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,故A正确;当x∈[-2,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,2]时,f'(x)<0,即当x∈[-2,1)时,函数单调递增,当x∈(1,2]时,函数单调递减,f(x)max=f(1)=4,f(2)=2,f(-2)=-2,所以f(x)min=-2,故B正确;由f[f(x)]=2,可得f(x)=2或f(x)=-1,易知f(x)=2有2个解,f(x)=-1有1个解,故f[f(x)]=2的解有3个,故C错误;作出f(x)的图像,如图所示,由f(x1)=f(x2),x1<x2,可知x1∈[-1,1),x2∈(1,2],由图可知x1+x2<2,故D正确.故选ABD. 12．(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cosx＋f(x)sinx＜0，则下列判断中正确的是(　　) A．f＜f B．f＞0 C．f＞f D．f＞f 答案　CD 解析　令g(x)＝，x∈，则g′(x)＝，因为f′(x)cosx＋f(x)sinx＜0，所以g′(x)＝＜0在上恒成立，因此函数g(x)＝在上单调递减，因此g＞g，即＞，即f＞f，故A错误；又f(0)＝0，所以g(0)＝＝0，所以g(x)＝≤0在上恒成立，因为ln ∈，所以f＜0，故B错误；又g＞g，所以＞，即f＞f，故C正确；又g＞g，所以＞，即f＞f，故D正确．故选CD． 二、填空题 13．(长沙市长郡中学月考)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3,1)，则m＋n的值为________． 答案　－2 解析　由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n， 由f(x)的单调递减区间是(－3,1)， 得f′(x)<0的解集为(－3,1)， 则－3,1是f′(x)＝0的解， ∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3， 可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. 14．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是______________ 答案　 解析　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.据题意得 解得1≤k<． 15．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式 的解集为______________ 16．若函数对任意，都有，则实数 的取值范围是 ． 提示：当时，函数在上是增函数，又函数在上是减函数， 不妨设，则， 所以等价于， 即．设， 则等价于函数在区间上是减函数． ∵，∴在时恒成立， 即在上恒成立，即不小于在区间内的最大值． 而函数在区间上是增函数，所以的最大值为． ∴，又，所以． 三、解答题 17．讨论下列函数的单调性． (1)f(x)＝x－aln x； (2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2. 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－＝， 令f′(x)＝0，得x＝a， ①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0， x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减， 在(a，＋∞)上单调递增． (2)g(x)的定义域为R， g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)， 令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2， ①当a>ln 2时， x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0， x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减． ②当a＝ln 2时，g′(x)≥0恒成立， ∴g(x)在R上单调递增， ③当a<ln 2时， x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0， x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减． 综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减； 当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增； 当a<ln 2时，g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减． 18． 已知函数.（1）讨论函数的单调性； 解：（1）函数的定义域为，， 所以当，即，成立，故函数在上单调递增； 当，即或时， 当时，在上恒成立，故函数在上单调递增； 当时，由得且， 所以的解集为，的解集为， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 19．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 解　函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝ ＝. （1）当a≤0时，ax－1<0， ∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． （2）当a>0时 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1. ①当0<a<1时，>1， ∴x∈(0,1)和时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增， 在上单调递减； ②当a＝1时，＝1， ∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1， ∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增， 在上单调递减． 综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 1 学科网（北京）股份有限公司 $