校本作业15 函数模型及其应用-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业15（函数模型及其应用） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．某化工原料厂原来的月产量为100吨,一月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份的产量为 A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨 ( 　) 2．(福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 3．因市场战略储备的需要,某公司自1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易的,且该公司在买卖的过程中盈利,那么图K14-1的三个折线图中可反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是 (　 ) 图K14-1 A.① B.② C.①② D.①③ 4．某种防护用品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P=(t∈N*),设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q=40-t(0<t≤30,t∈N*),则当这种商品的日销售金额最大时t的值为 (　) A.10 B.20 C.25 D.30 5．(衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为(　　) A．72小时 B．36小时 C．24小时 D．16小时 6．(南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为(　　) A．10 B．100 C．200 D．1 000 7．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) (　　) A．6 min B．7 min C．8 min D．9 min 8．小明在如图K14-3①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t s,他与教练间的距离为y m,表示y与t的函数关系的图像大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的 (　) A.点M B.点N C.点P D.点Q 9．(多选)(厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则(　　) A．a＝3 B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 10．(多选)某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从到产生的包装垃圾量如下表： 年份x 2016 2017 2018 2019 包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5 有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝asin ＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是(　　) A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·x－2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin ＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 11．(多选)(济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当x>1时，乙走在最前面 C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 二、填空题 12．某城市出租车按如下方法收费:起步价8元,可行驶3 km(含3 km),3 km到10 km(含10 km)每行驶1 km加价1.5元,10 km后每行驶1 km加价0.8元,某人坐该城市的出租车行驶了20 km,他应交费　　　　元.  13．(临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟．(参考数据：ln 3≈1.1) 14．为了提升生活质量,保护环境,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),定义为“绝对斜率”,用“绝对斜率”的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图K14-5所示. 给出下列四个结论: ①在[t2,t3]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业弱;②从t2时刻往后,乙企业的污水排放量比甲企业的污水排放量小;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都未达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t1,t2]这段时间内的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是　　　　.  三、解答题 15．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元． (1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)； (2)该车若干年后有两种处理方案： ①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出； ②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 16．近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0ln计算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2000 m/s. (1)当总质比为410时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度; (2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加1000 m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. 参考数据:ln 410≈6,e≈2.718. 17．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤恒成立． (1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)＝x＋10；(Ⅱ)f(x)＝2－6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ (2)已知函数f(x)＝a－10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业15（函数模型及其应用） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．某化工原料厂原来的月产量为100吨,一月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份的产量为 ( 　) A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨 B　[解析] 因为化工原料厂原来的月产量为100吨,一月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)吨.又因为二月份比一月份减产10%,所以二月份的产量为100×(1+20%)×(1-10%)=108(吨).故选B. 2．(福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 答案　B 解析　由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x， 令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5. 3．因市场战略储备的需要,某公司自1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易的,且该公司在买卖的过程中盈利,那么图K14-1的三个折线图中可反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是 (　 ) 图K14-1 A.① B.② C.①② D.①③ D　[解析] 设公司每月1日用于购买某种物资的金额为a万元.图①中,四次购买的物资为+a++a=a(份),5月1日一次卖出物资,又1.25×a=a>4a,所以公司盈利,故①满足条件;图②中,四次购买的物资为a+++=a(份),5月1日一次卖出物资,又1×a=a<4a,所以公司亏本,故②不满足条件;图③中,四次购买的物资为a++a+=a(份),5月1日一次卖出物资,又1×a=a>4a,所以公司盈利,故③满足条件.故选D. 4．某种防护用品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为P=(t∈N*),设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q=40-t(0<t≤30,t∈N*),则当这种商品的日销售金额最大时t的值为 (　) A.10 B.20 C.25 D.30 C　[解析] 设这种商品的日销售金额为y元,由题意得y=当0<t<25,t∈N*时,y=(t+20)(40-t)=-t2+20t+800=-(t-10)2+900,∴当t=10时,y取得最大值,为900.当25≤t≤30,t∈N*时,y=(-t+100)(40-t)=t2-140t+4000=(t-70)2-900,当t∈[25,30]时,函数单调递减,∴当t=25时,y取得最大值,为1125.∵1125>900,∴当t=25时,日销售金额最大,为1125元.故选C. 5．(衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为(　　) A．72小时 B．36小时 C．24小时 D．16小时 答案　A 解析　当x＝6时，e6a＋b＝216； 当x＝24时，e24a＋b＝8，则＝＝27， 整理可得e6a＝，于是eb＝216×3＝648， 当x＝12时， y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72. 6．(南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为(　　) A．10 B．100 C．200 D．1 000 答案　B 解析　设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2， 则140＝10lg ，120＝10lg ， 两式相减即得20＝10lg ，即lg ＝2， 从而＝100，所以n的值约为100. 7．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) (　　) A．6 min B．7 min C．8 min D．9 min 答案　B 解析　由题意可知， 当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60， 所以y＝60×0.908 5x＋25. 当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25， 即0.908 5x＝0.5， 则x＝log0.908 50.5＝＝ ≈≈7， 所以茶水泡制时间大约为7 min. 8．小明在如图K14-3①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t s,他与教练间的距离为y m,表示y与t的函数关系的图像大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的 (　) 图K14-3 A.点M B.点N C.点P D.点Q .D　[解析] 假设这个位置为点M,则从A至B这段时间,y不随t的变化而变化,与函数图像不符,故排除A;假设这个位置为点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应的y的大小应该相同,与函数图像不符,故排除B;假设这个位置为点P,则从B至C这段时间,y的值一直在减小,与函数图像不符,故排除C.故选D. 9．(多选)(厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则(　　) A．a＝3 B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 答案　AD 解析　由函数图象可知y＝ 当t＝1时，y＝4，即1－a＝4，解得a＝3， ∴y＝故A正确， 药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝， 药物刚好失效的时间t－3＝0.125， 解得t＝6， 故药物有效时长为6－＝5(小时)， 注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误． 10．(多选)某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从到产生的包装垃圾量如下表： 年份x 2016 2017 2018 2019 包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5 有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝asin ＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是(　　) A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·x－2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin ＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 答案　AD 解析　若选y＝4·x－2 016，计算可得对应数据近似为4,6,9,13.5， 若选y＝4sin ＋2 016，计算可得对应数据近似值都大于2 012， 显然A正确，B错误； 按照选择函数模型y＝4·x－2 016， 令y>40，即4×x－2 016>40， ∴x－2 016>10， ∴x－2 016>， ∴x－2 016>＝≈5.678 6， ∴x>2 021.678 6， 即从开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确． 11．(多选)(济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当x>1时，乙走在最前面 C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 答案　CD 解析　甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型． 当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确； 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确． 二、填空题 12．某城市出租车按如下方法收费:起步价8元,可行驶3 km(含3 km),3 km到10 km(含10 km)每行驶1 km加价1.5元,10 km后每行驶1 km加价0.8元,某人坐该城市的出租车行驶了20 km,他应交费　　　　元.  26.5　[解析] 设x(单位:km)为行车路程,y(单位:元)为费用,则y=当x=20时,y=18.5+0.8×(20-10)=26.5(元). 13．(临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟．(参考数据：ln 3≈1.1) 答案　22 解析　由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50， ∴50＝30＋(90－30)e－0.05t， ∴e－0.05t＝， ∴－0.05t＝ln ， ∴0.05t＝ln 3， ∴t＝＝20×ln 3≈22. 14．为了提升生活质量,保护环境,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),定义为“绝对斜率”,用“绝对斜率”的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图K14-5所示. 图K14-5 给出下列四个结论: ①在[t2,t3]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业弱; ②从t2时刻往后,乙企业的污水排放量比甲企业的污水排放量小; ③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都未达标; ④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t1,t2]这段时间内的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  ④　[解析] 设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t).对于①,在[t2,t3]这段时间内,甲企业的污水治理能力为-,乙企业的污水治理能力为-.由图可知,f(t3)-f(t2)<g(t3)-g(t2),∴->-,即在[t2,t3]这段时间内甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①错误;对于②,由图可知,在t2时刻后,甲企业的污水排放量小于乙企业的污水排放量,故②不正确;对于③,在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量,∴在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标,故③不正确;对于④,由图可知,甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t1,t2]这段时间内的污水治理能力最强,故④正确.故答案为④. 三、解答题 15．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元． (1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)； (2)该车若干年后有两种处理方案： ①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出； ②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 解　(1)∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元，若该车x年开始盈利， 则30x>2x2＋6x＋50， 即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9， ∴该车营运第3年开始盈利． (2)方案①盈利总额y1＝30x－(2x2＋6x＋50) ＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22， ∴x＝6时，盈利总额达到最大值为22万元． ∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元)． 方案②年平均盈利总额y2＝＝－2x－＋24＝24－2≤4(当且仅当x＝5时取等号)． ∴x＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元． ∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元)． ∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算． 16．近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0ln计算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2000 m/s. (1)当总质比为410时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度; (2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加1000 m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. 参考数据:ln 410≈6,e≈2.718. 解:(1)当总质比为410时,v=2000ln 410. 由参考数据得v≈2000×6=12 000(m/s), ∴当总质比为410时,A型火箭的最大速度约为12 000 m/s. (2)由题意,经过材料更新和技术改进后, A型火箭的喷流相对速度为3000 m/s,总质比变为. 要使火箭的最大速度至少增加1000 m/s, 则需3000 ln-2000ln≥1000. 化简得3ln-2ln≥1. ∴ln-ln≥1, 整理得ln≥1. ∴≥e,则≥125×e. 由参考数据,知e≈2.718, ∴125×e≈339.75, ∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340. 17．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤恒成立． (1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)＝x＋10；(Ⅱ)f(x)＝2－6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ (2)已知函数f(x)＝a－10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围． 解　(1)对于函数模型：(Ⅰ)f(x)＝x＋10，验证条件③：当x＝30时，f(x)＝12，而＝6， 即f(x)≤不成立，故不符合公司要求； 对于函数模型：(Ⅱ)f(x)＝2－6， 当x∈[25,1 600]时，条件①f(x)是增函数满足； ∴f(x)max＝2－6＝2×40－6＝74<90，满足条件②； 对于条件③： 记g(x)＝2－6－(25≤x≤1 600)， 则g(x)＝－(－5)2－1， ∵∈[5,40]， ∴当＝5时， g(x)max＝－(5－5)2－1＝－1≤0， ∴f(x)≤恒成立，即条件③也成立． 故函数模型： (Ⅱ)f(x)＝2－6符合公司要求． (2)∵a≥2， ∴函数f(x)＝a－10符合条件①； 由函数f(x)＝a－10符合条件②， 得a－10＝a×40－10≤90， 解得a≤； 由函数f(x)＝a－10符合条件③， 得a－10≤对x∈[25,1 600]恒成立， 即a≤＋对x∈[25,1 600]恒成立． ∵＋≥2，当且仅当＝， 即x＝50时等号成立， ∴a≤2， 综上所述，实数a的取值范围是. 11 学科网（北京）股份有限公司 $