福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学校本作业04（基本不等式）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业04（基本不等式） 班级： 姓名： 座号： 一、单项选择题 1．下列函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1) 2．若a, b都为正实数,a+2b=1, 则ab的最大值是 (　) A. B.C. D. 3．[河北邢台模拟] 已知a>0,b>0,且a+b=2,则+的最小值是 (　) A.1 B.2 C. D. 4．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　) A．0 B． C．1 D． 5．(苏州模拟)若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋，x∈取得最小值时x的值为(　　) A. B. C. D. 6．(重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　) A．1 B．4 C．7 D．3＋ 7. (宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 8．已知x>0，y>0，且x＋4y－xy＝0，若不等式a≤x＋y恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，6] B．(－∞，7] C．(－∞，8] D．(－∞，9] 9．(湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　) A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 10．若关于x的不等式+≥4对任意x>2恒成立,则正实数a的最大值是 (　) A.4 B.3 C.2 D.1 二、多项选择题 11．(新高考卷Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 12．设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B.> C.≥a＋b D．(a＋b)≥4 13．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a＜b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a＜v＜ B．v＝ C.＜v< D．v＝ 14．已知x,y∈R,且满足x2+4y2+2xy = 2,则下列结论正确的有 ( 　) A.xy的最大值为B.xy的最大值为 C.x2 +4y2的取值可以为D.x2 +4y2的取值可以为4 三、填空题 15．若0<x<2，则x的最大值为________． 16．(百师联盟联考)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋b的最小值为________． 17．请根据如图K4-1矩形图表信息,补齐不等式:≤　　　　　　.  图K4-1 18．(重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为________． *19．【江苏镇江中学调研】 已知三次函数f(x)=x3+x2+cx+d(a<b)在R上单调递增,则的最小值为　　　　.  20．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小。 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业04（基本不等式） 班级： 姓名： 座号： 一、单项选择题 1．下列函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1) 答案　C 解析　当x<0时，y＝x＋<0，故A错误； y＝＝＋≥2， 当且仅当＝， 即x2＝－1时取等号， ∵x2≠－1，故B错误； y＝ex＋e－x≥2＝2， 当且仅当ex＝e－x， 即x＝0时取等号，故C正确； 当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误． 2．若a, b都为正实数,a+2b=1, 则ab的最大值是 (　) A. B.C. D. [解析] ∵a,b都为正实数,a+2b=1,∴1=a+2b≥2,∴ab≤,当且仅当a=2b=,即a=,b=时取等号,故选D. 3．[河北邢台模拟] 已知a>0,b>0,且a+b=2,则+的最小值是 (　) A.1 B.2 C. D. [解析] 由题意可得+=(a+b)=≥×=,当且仅当a=,b=时,等号成立.故选C. 4．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　) A．0 B． C．1 D． 答案　A 解析　由于x>0，则y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 5．(苏州模拟)若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋，x∈取得最小值时x的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)＝＋＝＋ ≥＝25， 当且仅当＝，即x＝时等号成立． 6．(重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　) A．1 B．4 C．7 D．3＋ 答案　C 解析　∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4， ∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥ 2＋3＝7， 当且仅当时等号成立． 7. (宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 答案　D 解析　由图形可知，OF＝AB＝(a＋b)， OC＝(a＋b)－b＝(a－b)， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， CF＝＝， ∵CF≥OF， ∴≥(a＋b)(a>0，b>0)． 8．已知x>0，y>0，且x＋4y－xy＝0，若不等式a≤x＋y恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，6] B．(－∞，7] C．(－∞，8] D．(－∞，9] 答案　D 解析　∵x>0，y>0，x＋4y－xy＝0，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝5＋＋.∵＋≥2＝4(当且仅当＝，即x＝2y＝6时取等号)，∴x＋y≥5＋4＝9.又不等式a≤x＋y恒成立，∴a≤9. 9．(湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　) A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 答案　B 解析　设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则 方案一：两次加油平均价格为 ＝>， 方案二：两次加油平均价格为 ＝<， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算． 10．若关于x的不等式+≥4对任意x>2恒成立,则正实数a的最大值是 (　) A.4 B.3 C.2 D.1 [解析] 由关于x的不等式+≥4对任意x>2恒成立,可得+≥4-对任意x>2恒成立,由a>0,x>2,可得+≥2=,当且仅当x=2+时,取等号,则4-≤,解得0<a≤4,则a的最大值为4,故选A. 二、多项选择题 11．(新高考卷Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 答案　ABD 解析　对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝22＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log22＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为(＋)2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤ ，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD. 12．设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B.> C.≥a＋b D．(a＋b)≥4 答案　ACD 解析　因为a>0，b>0， 所以a＋b＋≥2＋≥2， 当且仅当a＝b且2＝， 即a＝b＝时取等号，故A正确； 因为a＋b≥2>0， 所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号， 故B错误； 因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号， 所以＝＝a＋b－≥ 2－＝，当且仅当a＝b时取等号， 所以≥，即≥a＋b，故C正确； 因为(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确． 13．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a＜b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a＜v＜ B．v＝ C.＜v< D．v＝ 答案　AD 解析　设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为＋，∴v＝＝.∵b＞a＞0，∴v＝＜＝，另一方面，v＝＜＝，v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a，则a＜v＜.故选AD. 14．已知x,y∈R,且满足x2+4y2+2xy = 2,则下列结论正确的有 (　) A.xy的最大值为B.xy的最大值为 C.x2 +4y2的取值可以为D.x2 +4y2的取值可以为4 [解析] 对于A,B,因为2=x2+4y2+2xy≥4xy+2xy=6xy⇒xy≤,当且仅当x=2y=±时,等号成立,故A中结论正确,B中结论错误;对于C,2=x2+4y2+2xy≤x2+4y2+=(x2+4y2)⇒x2+4y2≥,当且仅当x=2y=±时,等号成立,故x2+4y2的取值可以为,故C中结论正确;对于D,若x2+4y2=4,代入x2+4y2+2xy=2,得xy=-1,得y=-,所以4=x2+4y2=x2+≥4,当且仅当即或时,等号成立,故D中结论正确.故选ACD. 三、填空题 15．若0<x<2，则x的最大值为________． 答案　2 解析　∵0<x<2， ∴x＝≤＝2， 当且仅当x2＝4－x2，即x＝时取“＝”． 16．(百师联盟联考)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋b的最小值为________． 答案　2　 解析　∵a＋2b＝2ab， ∴2ab≥2，即ab≥2， 当且仅当a＝2b，即b＝1，a＝2时等号成立， 故ab的最小值为2. ∵a＋2b＝2ab， ∴＋＝2， ∵2a＋b＝(2a＋b)·· ＝ ≥(5＋2)＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立， ∴2a＋b的最小值为. 17．请根据如图K4-1矩形图表信息,补齐不等式:≤　　　　　　.  图K4-1 .+　[解析] 如图所示,由勾股定理知,AB==,AC=,BC=,易知AB≤AC+BC,当且仅当A,B,C三点共线时,等号成立,∴≤+. 18．(重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为________． 答案　3＋2 解析　因为x>0，y>0且x＋y＝xy， 则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1， 由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1， 于是得＋＝1＋＋2＋ ＝3＋ ≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝， 即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”， 所以＋的最小值为3＋2. *19．【江苏镇江中学调研】 已知三次函数f(x)=x3+x2+cx+d(a<b)在R上单调递增,则的最小值为　　　　.  [解析] 由题意f'(x)=ax2+bx+c≥0在R上恒成立,则a>0,Δ=b2-4ac≤0,∴=≥=.令t=(t>1),∴≥=·=·=≥3(当且仅当t=4,即b=c=4a时取“=”). 20．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小。 答案　72 600 解析　设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm， 由题意可得3ab＝60 000， 所以ab＝20 000，即b＝， 所以该海报的高为(a＋20)cm， 宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm， 所以整个矩形海报面积 S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600 ＝30(a＋2b)＋60 600＝30＋60 600≥30×2＋60 600 ＝30×400＋60 600＝72 600， 当且仅当a＝，即a＝200时等号成立， 所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2. 3 学科网（北京）股份有限公司 $