校本作业12 对数与对数函数-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业12（对数与对数函数） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．（全国卷（文科））设，则（ ） A． B． C． D． 2．(天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 3．已知函数f(x)＝logax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为(　　) 4．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 5．已知函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上单调递减,则a的取值范围是 (　) A．(1,3] B．(1,3) C．(0,1) D．[3,+∞) 6．设x=log0.40.5,y=log1.50.5,则 (　) A．xy<x+y<0 B．x+y<xy<0 C．x+y<0<x y D．xy<0<x+y 7．(沈阳模拟)函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n－m等于(　　) A. B. C. D. 8．（全国卷（理科））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 9．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则＋ln x2的值为(　　) A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2 C．2 D．4 10．(多选题)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 11．(多选题)（全国文数）若，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 12．(多选题)[漳州三模] 已知正数x,y,z满足2x=4y=6z,则 (　) A．x=2y B．x<2y C．x<3z D．y<3z 二、填空题 13．(1)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . （2）已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ . 14．(潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f 2(x)＋f(x2 )，则g(x)max－g(x)min＝ . 15．[山西临汾一模] 已知函数f(x)=ln(+2x) -,若f(log2a)=2,则f(loa)=　　　　.  16．关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是______________ 三、解答题 17．已知a>2，函数f(x)＝log4(x－2)－log4(a－x)． (1)求f(x)的定义域；(2)当a＝4时，求不等式f(2x－5)≤f(3)的解集． 18．已知函数f(x)=lo(4x+a)+x(a>0). (1)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)若对任意的x∈[1,+∞),不等式f(x)- f(-x)≤ -1恒成立,求实数a的取值范围. 19．已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1). (1)求解关于x的不等式f(x)>0; (2)若∀x∈[2,4],f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围. 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业12（对数与对数函数） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．（全国卷（文科））设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，所以， 所以有，故选：B. 2．(天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52<log5＝0.5.因为y＝log0.5x是减函数，所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A. 3．已知函数f(x)＝logax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为(　　) 答案　D 4．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　C 解析　由题意得 或 解得a>1或－1<a<0. 5．已知函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上单调递减,则a的取值范围是 (　) A．(1,3] B．(1,3) C．(0,1) D．[3,+∞) 答案A　[解析] 由函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上单调递减,可得6-ax>0在(0,2)上恒成立,又函数t=6-ax在(0,2)上单调递减,所以解得1<a≤3.故选A. 6．设x=log0.40.5,y=log1.50.5,则 (　) A.xy<x+y<0 B.x+y<xy<0 C.x+y<0<xy D.xy<0<x+y 答案A　[解析] 由题意,x=log0.40.5>log0.41=0,y=log1.50.5<log1.51=0,所以xy<0.根据对数换底公式可知+=+=log0.50.4+log0.51.5=log0.50.6∈(0,1),即0<<1,所以xy<x+y<0.故选A. 7．(沈阳模拟)函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n－m等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)， ∴0<m<1<n，且|log3m|＝|log3n|， ∴log3m＝－log3n， ∴log3m＋log3n＝0，解得mn＝1， 又∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2， 易知f(m2)＝－log3m2＝2，此时 ∴n－m＝. 8．（全国卷（理科））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 答案A 【分析】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 9．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则＋ln x2的值为(　　) A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2 C．2 D．4 答案　C 解析　根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点， 函数f(x)＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x1，)， 函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)， 又由函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称， 而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有＋ln x2＝＋x1＝2. 10．(多选题)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 答案　AC 解析　对于A，当a＝0时，解x2－1＞0有x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1的对称轴x＝－≤2，解得a≥－4，但当a＝－4时f(x)＝lg (x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误．故选AC. 11．(多选题)（全国文数）若，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 选项C正确，故选AC． 12．(多选题)[漳州三模] 已知正数x,y,z满足2x=4y=6z,则 (　) A．x=2y B．x<2y C．x<3z D．y<3z 答案ACD　[解析] 正数x,y,z满足2x=4y=6z,设2x=4y=6z=k(k>0),则x=log2k=,y=log4k=,z=log6k=,∵=×=2,∴x=2y,∴A正确,B错误;∵=×=<1,∴x<3z,∴C正确;∵=×=<1,∴y<3z,∴D正确.故选ACD. 二、填空题 13．(1)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . 答案　4 解析　原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4. （2）已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ . 答案　6 解析　设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝， 所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba， 所以b2b＝，即2b＝b2， 又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 所以a＋b＝6. 14．(潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f 2(x)＋f(x2 )，则g(x)max－g(x)min＝ . 答案　5 解析　由题意得 ∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1,3]， g(x)＝f2(x)＋f(x2) ＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2 ＝(log3x)2＋4log3x＋2， 设t＝log3x，则0≤t≤1， 则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2，在[0,1]上单调递增， ∴当t＝0即x＝1时，g(x)min＝2， 当t＝1即x＝3时，g(x)max＝7， ∴g(x)max－g(x)min＝5. 15．[山西临汾一模] 已知函数f(x)=ln(+2x) -,若f(log2a)=2,则f(loa)=　　　　.  答案根据题意,函数f(x)=ln(+2x)-,则f(-x)=ln(-2x)-=-ln(+2x)-,则f(x)+f(-x)=-1.若f(log2a)=2,则f(loa)=f(-log2a)=-3. 16．关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是______________ 答案由题意知关于的不等式在恒成立， 所以当时，函数的图象不在的图象的上方， 由图可知，解得. 三、解答题 17．已知a>2，函数f(x)＝log4(x－2)－log4(a－x)． (1)求f(x)的定义域；(2)当a＝4时，求不等式f(2x－5)≤f(3)的解集． 解　(1)由题意，得解得 因为a>2，所以2<x<a， 故f(x)的定义域为(2，a)． (2)因为a＝4，所以f(2x－5)＝log4(2x－7)－log4(9－2x)，f(3)＝log41－log41＝0， 因为f(2x－5)≤f(3)，所以log4(2x－7)－log4(9－2x)≤0，即log4(2x－7)≤log4(9－2x)， 从而解得<x≤4， 故不等式f(2x－5)≤f(3)的解集为. 18．已知函数f(x)=lo(4x+a)+x(a>0). (1)若函数f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)若对任意的x∈[1,+∞),不等式f(x)- f(-x)≤ -1恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)f(x)=lo(4x+a)+x=lo, 由f(x)=f(-x),得lo=lo, 故=,即4x+a=1+a·4x, 整理得(a-1)(4x-1)=0恒成立,故a=1. (2)因为f(x)=lo, 所以f(-x)=lo, 所以f(x)-f(-x)=lo, 所以由f(x)-f(-x)≤-1, 得lo≤lo2, 所以≥2对任意的x∈[1,+∞)恒成立, 即a≤-对任意的x∈[1,+∞)恒成立. 因为y=-在[1,+∞)上单调递增, 所以=,所以0<a≤. 19．已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1). (2)求解关于x的不等式f(x)>0; (3)若∀x∈[2,4],f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围. 解 (1)由(logax)2-logax-2>0得logax>2或logax<-1. 当0<a<1时,可得0<x<a2或x>; 当a>1时,可得x>a2或0<x<. 即当0<a<1时,原不等式的解集为. 当a>1时,原不等式的解集为. (2)∀x∈[2,4],f(x)≥4恒成立, 即∀x∈[2,4],(logax)2-logax-2≥4恒成立, 即∀x∈[2,4],(logax)2-logax-6≥0恒成立, 解得logax≥3或logax≤-2. 当0<a<1时,可得a3≥4(舍去)或≤2,故≤a<1; 当a>1时,可得a3≤2或≥4(舍去),故1<a≤. 综上所述,实数a的取值范围为∪(1,]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $