福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学校本作业11（指数与指数函数）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业11（指数与指数函数） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1. 给出下列结论： ①当a<0时，(a2)＝a3；②＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；③(x<0，y<0)＝－2x2·y； ④若5a＝0.3，0.7b＝0.8，则ab>0. 其中正确的是(　　) A．①②　　　B．②③ C．③④ D．②④ 2．(佛山模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　 ) A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．c<a<b 3．已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为（ ） A． B. C. D. 4．(新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 5． (泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6．(大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A．{0} B．{－1,0} C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1} 7．已知实数a,b满足52a-5-3b≤4-a-8b,则32a+3b ( 　) A.有最大值1 B.有最小值0 C.有最小值1 D.有最大值0 8．设函数，则（ ） A． B. C. D. 9．(多选)(潍坊模拟)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) 10．(多选)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为(　　) A. B．2 C．3 D. 12．(多选)(南京模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是(　　) A. B. C. D．2 二、填空题 13．（1）已知a>0，b>0，则 ＝______. （2）计算：－0＋＋＝________.（3）若＋＝3(x>0)，则＝________. 14．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则a＝________，实数m的最小值为________． 15．已知函数f(x)=2|x|,x∈[-1,2],g(x)=m+2-1,x∈[-1,2],若对于任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　.  16．[河南驻马店期末] 对于函数y=f(x)和y=f(-x),若两函数在区间[m,n]上均单调,且单调性相同,则把区间[m,n]叫作y=f(x)的“稳定区间”.已知区间[1,2021]为函数f(x)=的“稳定区间”,则实数a的取值范围为　　　　.  三、解答题 17．已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足a·b≠0. (1)若a·b>0,判断函数f(x)的单调性; (2)若a·b<0,求满足f(x+1)>f(x)的x的取值范围. 18．已知函数， ． (1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围； (2)设，若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围； 19．(上海模拟)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业11（指数与指数函数） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1. 给出下列结论： ①当a<0时，(a2)＝a3；②＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；③(x<0，y<0)＝－2x2·y； ④若5a＝0.3，0.7b＝0.8，则ab>0. 其中正确的是(　　) A．①②　　　　　 B．②③ C．③④ D．②④ 答案　B 解析　(a2)>0，a3<0，故①错，∵0<5a<1，0<0.7b<1，∴a<0，b>0，∴ab<0.故④错． 2．(佛山模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　 ) A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．c<a<b 答案　A 解析　因为a＝＝，b＝， 所以a＝>＝b， 因为b＝＝＝， c＝＝＝，则b>c. 综上所述，a>b>c. 3．已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为（ ） A． B. C. D. 答案　B 解析　令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)， ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 4．(新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 答案　B 解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 得r＝＝＝0.38. 由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t2)＝2I(t1)， 即＝， 所以＝2， 即0.38(t2－t1)＝ln 2， 所以t2－t1＝≈≈1.8. 5． (泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为f(x)＝ex－，定义域为R， f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)， 所以f(x)＝ex－为奇函数． 又因为f(x)＝ex－在R上为增函数， 所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2) ≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)， 6．(大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A．{0} B．{－1,0} C．{－2，－1,0} D．{－1,0,1} 答案　C 解析　f(x)＝－ ＝－ ＝－＋， ∵ex>0，∴ex＋1>1， ∴0<<2， ∴－2<－<0， ∴f(x)∈， ∴[f(x)]为－2或－1或0. 7．已知实数a,b满足52a-5-3b≤4-a-8b,则32a+3b (　) A.有最大值1 B.有最小值0 C.有最小值1 D.有最大值0 A　[解析] 因为52a-5-3b≤4-a-8b,所以52a-5-3b≤2-2a-23b,所以52a-2-2a≤5-3b-23b.令f(x)=5x-2-x,可知f(x)在R上单调递增.52a-2-2a≤5-3b-23b,即f(2a)≤f(-3b),所以2a≤-3b,所以2a+3b≤0,则32a+3b≤30=1,所以32a+3b有最大值1.故选A. 8．设函数，则（ ） A． B. C. D. 【解析】，， ， 因此，. 故答案为. 9．(多选)(潍坊模拟)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) 答案　ABD 解析　由图可得a1＝2，即a＝2， y＝a－x＝x单调递减，且过点(－1,2)，故A正确；y＝x－a＝x－2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减， 在(－∞，0)上单调递增，故B正确； y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数， 结合指数函数图象可知C错误； y＝|logax|＝|log2x|， 根据“上不动、下翻上”可知D正确． 10．(多选)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为(　　) A. B．2 C．3 D. 答案　AC 解析　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1 ＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3(负值舍去)． 当0<a<1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝2－2＝14， 解得a＝ (负值舍去)． 综上知a＝3或a＝. 12．(多选)(南京模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是(　　) A. B. C. D．2 答案　AB 解析　①当a>1时，由图象得0<2a<1， ∴0<a<， ∵a>1，∴此种情况不存在； ②当0<a<1时，由图象得0<2a<1， ∴0<a<， ∵0<a<1，∴0<a<. 二、填空题 13．（1）已知a>0，b>0，则 ＝______. （2）计算：－0＋＋＝________. （3）若＋＝3(x>0)，则＝________. （1）答案　 1 （2）答案　π＋8 解析　原式＝－1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8. （3）答案　 解析　由＋＝3， 两边平方，得x＋x－1＝7， 再平方得x2＋x－2＝47， ∴x2＋x－2－2＝45. ＋＝＋ ＝(x－1＋x－1) ＝3×(7－1)＝18. ∴＝. 14．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则a＝________，实数m的最小值为________． 答案　1　1 解析　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝1.函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示．因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1. 15．已知函数f(x)=2|x|,x∈[-1,2],g(x)=m+2-1,x∈[-1,2],若对于任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　.  答案.m≤24　[解析] 由题可知,f(x)=2|x|在[-1,0)上单调递减,在(0,2]上单调递增,故f(x)min=f(0)=1,所以存在x∈[-1,2],使得1≥g(x)成立.令t=,因为x∈[-1,2],所以t∈,则存在t∈,使得mt2+2t-1≤1成立,即m≤成立,所以m≤.又因为=2-2×,∈,所以=2×42-2×4=24,所以m≤24. 16．[河南驻马店期末] 对于函数y=f(x)和y=f(-x),若两函数在区间[m,n]上均单调,且单调性相同,则把区间[m,n]叫作y=f(x)的“稳定区间”.已知区间[1,2021]为函数f(x)=的“稳定区间”,则实数a的取值范围为　　　　.  -3≤a≤-　[解析] f(x)=,f(-x)=|3x+a|.①当两个函数均单调递增时,在区间[1,2021]上恒成立,即(-3x)max≤a≤,即-3≤a≤-; ②当两个函数均单调递减时,在区间[1,2021]上恒成立,即≤a≤(-3x)min,此时不等式组无解.综上可知,-3≤a≤- . 三、解答题 17．已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足a·b≠0. (1)若a·b>0,判断函数f(x)的单调性; (2)若a·b<0,求满足f(x+1)>f(x)的x的取值范围. 解:(1)①若a>0,b>0,则y=a·2x与y=b·3x均为增函数, 所以f(x)=a·2x+b·3x在R上为增函数; ②若a<0,b<0,则y=a·2x与y=b·3x均为减函数, 所以f(x)=a·2x+b·3x在R上为减函数. (2)①若a>0,b<0, 由f(x+1)>f(x)得a·2x+1+b·3x+1>a·2x+b·3x, 化简得a·2x>-2b·3x, 即>-, 解得x<lo. ②若a<0,b>0, 由f(x+1)>f(x)可得<, 解得x>lo. 18．已知函数， ． (1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围； (2)设，若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围； 【解析】（1）由求得，求出对称轴，分和讨论的单调性，再结合的正负，得到的单调性，即可求解； （2）令画出图像，将问题转化为的根的问题，结合的图像求得两根的分布，由二次函数的性质求出实数即可. （1）由，可知，所以，对称轴为，，当时，，则在上是减函数，又，则在上有，则函数在上是减函数；当时，，则在上为增函数，又，则在上，有，则函数在上为减函数，则有，解得，综上可得，实数的取值范围为； 19．(上海模拟)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围． 解　(1)∵函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R， 又∵f(－x)＝2－x＋a·2x， ∴①当f(－x)＝f(x)， 即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1， 即当a＝1时，函数f(x)为偶函数； ②当f(－x)＝－f(x)， 即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x) ＝－2x－a·2－x时， 可得a＝－1， 即当a＝－1时，函数f(x)为奇函数． (2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1， 即f(x)＝2x＋2－x， f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2， 由题可得， (2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3⇔(2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0， 令t＝2x＋2－x， 则有t2－kt－5＝0， ∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]， 根据对勾函数的性质可知，2x＋2－x∈， 即t∈， 方程t2－kt－5＝0在t∈上有实数根， 则k＝＝t－， 令φ(t)＝t－， ∴φ(t)在上单调递增， 且φ(2)＝－，φ＝， ∴－≤k≤， ∴实数k的取值范围是. 4 学科网（北京）股份有限公司 $