校本作业10 二次函数与幂函数-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业10（二次函数与幂函数） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．在下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)上单调递增的是 (　) A．y= B．y=C．y= D．y= 2．已知函数f(x)＝x2－2x＋m，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f的值为(　　) A．1 B．2 C．m－1 D．m 3．已知函数y=xα+3(α为常数)的图像过定点P,如果点P是函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点,那么b,c的值分别为 ( 　) A．2，5 B．-2，5 C．-2，-5 D．2，-5 4．[河北唐山二模] 不等式≤的解集是 (　) A． B．C． D． 5．在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx(x≠0)与幂函数y=(x>0)的图像可能为 (　) A B C D 6．(福州模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c有最小值,且f(1-x)=f(1)+f(x),若f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,则实数m的取值范围是 (　) A. B.C. D. 8．(浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 9．(多选)(宜昌质检)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　) A．a<1 B．若x1x2≠0，则＋＝ C．f(－1)＝f(3) D．函数y＝f(|x|)有四个零点 10．(多选)已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有(　　) A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0 C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能 11．(多选)若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的是（ ） A．当时，， B． C．当时， D．二次函数的图象与x轴交点的坐标为和 *12．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有(　　) A．存在实数k，使得方程无实根 B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 二、填空题 13．函数的单调递减区间为________________ 14．[广东深圳一模] 已知二次函数f(x)的图像关于y轴对称,且与直线y=x相切,则f(x)的解析式可能为　　　　　.(填写一个即可)  15．若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　 *16．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数 的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R. (1)若函数f(x)在R上至少有一个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在[a，a＋1]上的最大值为3，求a的值． 18．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围． *20．（选做）已知函数和. （1）讨论函数的奇偶性； （2）当时，求函数在区间上的值域. 19．已知函数f(x)=|ax-2|x+3(a∈R). (1)当a=1时,画出函数y=f(x)的图像; (2)当x>0时,f(x)>x恒成立,求a的取值范围. 图K9-2 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业10（二次函数与幂函数） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．在下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)上单调递增的是 (　) A．y= B．y=C．y= D．y= 答案 .A　[解析] 由幂函数的性质知B,C中的函数是奇函数,A,D中的函数是偶函数,D中函数在(0,+∞)上单调递增,A中函数在(0,+∞)上单调递减,故D中函数在(-∞,0)上单调递减,A中函数在(-∞,0)上单调递增,故选A. 2．已知函数f(x)＝x2－2x＋m，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f的值为(　　) A．1 B．2 C．m－1 D．m 答案　C 解析　由题意知，函数图象的对称轴为直线x＝＝1，所以f＝f(1)＝m－1.故选C. 3．已知函数y=xα+3(α为常数)的图像过定点P,如果点P是函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点,那么b,c的值分别为 ( 　) A.2,5 B.-2,5 C.-2,-5 D.2,-5 答案.B　[解析] 易知函数y=xα+3(α为常数)的图像过定点P(1,4),又∵P(1,4)为f(x)=x2+bx+c的图像的顶点,∴解得故选B. 4．[河北唐山二模] 不等式≤的解集是 (　) A. B.C. D. 答案.B　[解析] 在同一坐标系中作出函数y=和y=的图像,如图所示,当=时,可得x=,由图可知≤的解集是,故选B. 5．在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx(x≠0)与幂函数y=(x>0)的图像可能为 (　) A B C D A　[解析] 对于A,二次函数y=ax2+bx(x≠0)的图像开口向上,则a>0,其对称轴方程为x=-,->0,则<0,即幂函数y=(x>0)单调递减,符合题意;对于B, 二次函数y=ax2+bx的图像开口向下,则a<0,其对称轴方程为x=-,->0,则<0,即幂函数y=(x>0)单调递减,不符合题意;对于C,二次函数y=ax2+bx的图像开口向上,则a>0,其对称轴方程为x=-=-1,则=2,即幂函数y=(x>0)单调递增,且增加得越来越快,不符合题意;对于D, 二次函数y=ax2+bx的图像开口向下,则a<0,其对称轴方程为x=-,->-,则0<<1,即幂函数y=(x>0)单调递增,且增加得越来越慢,不符合题意.故选A. 6．(福州模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若f(x)<0对x∈[1,3]恒成立， 则 解得m>3， {m|m>3}是{m|m>2}的真子集， 所以“m>2”是“f(x)<0对x∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件． 7．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c有最小值,且f(1-x)=f(1)+f(x),若f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,则实数m的取值范围是 (　) A. B.C. D. 答案A　[解析] 由f(x)=ax2+bx+c有最小值,可得a>0,∵f(1-x)=f(1)+f(x),即a(1-x)2+b(1-x)+c=ax2+bx+2c+a+b,∴c=0,b=-a<0,∴f(x)的图像的对称轴方程为x=.∵f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,∴2m<<m+1,解得-<m<.故选A. 8．(浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 答案　B 解析　解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B. 解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B. 9．(多选)(宜昌质检)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　) A．a<1 B．若x1x2≠0，则＋＝ C．f(－1)＝f(3) D．函数y＝f(|x|)有四个零点 答案　ABC 解析　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a>0，a<1，故A正确； 由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a， ＋＝＝ ，故B正确； 因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确； 当a<0时，y＝f(|x|)只有两个零点，故D不正确． 10．(多选)已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有(　　) A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0 C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能 答案　BC 解析　因为f(x)＝为幂函数， 所以m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1. 依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以m＝2，此时f(x)＝x3， 因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， 所以f(x)＝x3为奇函数． 因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0， 所以f(a)<f(－b)． 因为y＝f(x)为增函数， 所以a<－b，所以a＋b<0. 11．(多选)若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的是（ ） A．当时，， B． C．当时， D．二次函数的图象与x轴交点的坐标为和 【答案】ABD 【详解】 对于选项A：当时，，解得：，，故选项A正确； 对于选项B：若关于x的一元二次方程有实数根，， 即，则，解得：，故选项B正确； 对于选项C： 图象与图象交点横坐标即为和， 但不满足，故选项C不正确； 对于选项D：由展开得：，根据韦达定理可得，所以 ，故二次函数的图象与x轴交点的坐标为和，故选项D正确， 故选：ABD 12．(多选)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有(　　) A．存在实数k，使得方程无实根 B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 答案　AB 解析　设t＝x2－2x， 方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*) 当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根； 当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1； 当k<1时，方程(*)有两个实根t1，t2(t1<t2)， 由t1＋t2＝－2可知，t1<－1，t2>－1. 因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根． 综上可知，A，B项正确，C，D项错误． 二、填空题 13．函数的单调递减区间为________________； 和 14．[广东深圳一模] 已知二次函数f(x)的图像关于y轴对称,且与直线y=x相切,则f(x)的解析式可能为　　　　　.(填写一个即可)  答案f(x)=x2+(答案不唯一)　[解析] 因为二次函数f(x)的图像关于y轴对称,所以可设f(x)=ax2+c(a≠0),由得ax2-x+c=0,所以Δ=1-4ac=0,即ac=.取a=1,c=,则f(x)=x2+(答案不唯一). 15．若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　 .[-4,0]　[解析] 因为f(x)=x2+a|x-2|,所以f(x)=由题可知,当x≥2时f(x)=x2+ax-2a在[2,+∞)上单调递增,则-≤2,所以a≥-4;当x<2时,f(x)=x2-ax+2a在(0,2)上单调递增,则≤0,所以a≤0.又当x=2时,22-2a+2a=4=f(2),所以a∈[-4,0]. 16.已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数 的取值范围是 ．或 三、解答题 17．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R. (1)若函数f(x)在R上至少有一个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在[a，a＋1]上的最大值为3，求a的值． 解　(1)由Δ＝16－4(a＋3)≥0，得a≤1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]． (2)f(x)＝(x－2)2＋a－1. 当|a－2|≥|a＋1－2|，即a≤时，f(x)max＝f(a)＝a2－3a＋3＝3，解得a＝0或a＝3(舍去)； 当|a－2|<|a＋1－2|，即a>时，f(x)max＝f(a＋1)＝a2－a＝3， 解得a＝或a＝(舍去)． 综上，a＝0或a＝. 18．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围． 解　(1)由已知得c＝1，a－b＋c＝0，－＝－1， 解得a＝1，b＝2，则f(x)＝(x＋1)2. 则F(x)＝ 故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意得f(x)＝x2＋bx， 原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立． 又当x∈(0,1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0. 故b的取值范围是[－2,0]． 19．已知函数f(x)=|ax-2|x+3(a∈R). (1)当a=1时,画出函数y=f(x)的图像; (2)当x>0时,f(x)>x恒成立,求a的取值范围. 图K9-2 .解:(1)当a=1时,f(x)=|x-2|x+3= 作出f(x)的图像如图所示. (2)①当a=0时,f(x)=2x+3,当x>0时,f(x)>x显然成立; ②当a<0时,由于x>0,故ax-2<0, 故f(x)=-ax2+2x+3, f(x)>x可化为ax2-x-3<0,当x>0时该不等式恒成立; ③当a>0且0<x≤ 时,f(x)=-ax2+2x+3, 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减, 当a>0且x>时,f(x)=ax2-2x+3, 故f(x)在上单调递增, 因此,当x>0时,f(x)≥f=f(0)=3, 令g(x)=x,若要f(x)>x恒成立, 只需g=<3,所以a>. 综上可得,a的取值范围是(-∞,0]∪. *20．（选做）已知函数和. （1）讨论函数的奇偶性； （2）当时，求函数在区间上的值域. 解：（1）函数，其定义域为， 1°当时，，∵， ∴为偶函数； 2°当时，，取，， ∵，∴且，∴既非奇函数又非偶函数； （2）函数，其中， 设函数，其对称轴为，，， 1°当，即时，对恒成立且在上单调递增， ∴在上单调递减，∴，， 即的值域为； 2°当，即时，令，有（舍）和， 在上单调递增，且当时，；当时，， ∴在上递减，在上递增，且，∴， 2 ，即时，，即的值域为； ②当，即时，，即的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $