福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学校本作业09（函数的周期性及其性质综合）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业09（函数的周期性及其性质综合） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．（全国卷）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（ ） A． B． C． D． 2．(重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 3．(南京质检)已知函数f(x)＝－x－x3，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值(　　) A．一定大于零 B．一定小于零 C．等于零 D．正负都有可能 4．已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,且为偶函数.若f(-2)=1,则满足f(2x)≥1的x的取值范围是 ( 　) A.[-1,1] B.[-2,2] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 5．定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2,0)对称，且f(x)在[0,2)上单调递增，则(　　) A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11) C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12) 6. (高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f(x) (　　) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 7．已知y=f(x)的图像关于坐标原点对称,且对任意的x∈R,f(x+2)=f(-x)恒成立,当-1≤x<0时,f(x)=2x,则f(2021)= ( 　) A．-1 B．- C． D．1 *8．(全国Ⅱ卷)设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． *9．[全国乙卷(理)，12]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A. －21 B．－22 C．－23 D．－24 10．(多选)(本溪统考)已知定义在R上的奇函数f(x)对∀x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是(　　) A．f(x)是周期函数且周期为4 B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 D．f(x)在[－4,4]上至少有5个零点 11．(多选) (山东临沂期末)已知函数f(x)在R上单调递增，且f(1＋x)＋f(1－x)＝0，f(2)＝1，则(　　) A．f(x)的图象关于(1,0)对称 B．f＋f＞0 C．f＋f＞0 D．不等式[f(x)]2＞1的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞) 12．(多选) [重庆南开中学八检] 已知函数y=f(x-1)的图像关于直线对称,且∀x∈R,f(x)+f(-x)=4.当x∈(0,2]时,f(x)=x+2.则下列说法正确的是 (　) A．f(x)的周期为8 B．f(x)的最大值为4 C．f(2021)=2 D．f(x+2)为偶函数 二、填空题 13．函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________. 14．若是定义在上的奇函数，且，则=________ 15．[淄博三模] 请写出一个函数f(x)= 　　　　　,使之同时具有如下性质: ①∀x∈R,f(x)=f(4-x);②∀x∈R,f(x+4)=f(x).  16．[菏泽一模] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=1,g(x)=f(x-1)是奇函数,则f(2021)= 　　　　,   17． 已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是___________. 三、解答题 18．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． 19．(北京西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业09（函数的周期性及其性质综合） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．（全国卷）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可． 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点． 故选项B正确 2．(重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4， 又f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f ＝f  ＝f ＝－f ＝－. 3．(南京质检)已知函数f(x)＝－x－x3，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值(　　) A．一定大于零 B．一定小于零 C．等于零 D．正负都有可能 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为R， 又f(－x)＝－(－x)－(－x)3＝x＋x3 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是R上的奇函数， 由单调性的运算性质可知，函数f(x)是R上的减函数， 因为x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0， 即x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1， 所以f(x1)<f(－x2)，f(x2)<f(－x3)，f(x3)<f(－x1)， 即f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)， 所以f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0， 三式相加可得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0. 4．已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,且为偶函数.若f(-2)=1,则满足f(2x)≥1的x的取值范围是 ( 　) A.[-1,1] B.[-2,2] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 【答案】A [解析] 因为定义在R上的函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,且为偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.因为f(-2)=f(2)=1,所以f(2x)≥1等价于f(|2x|)≥f(2),所以|2x|≤2,解得-1≤x≤1.故选A. 5．定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2,0)对称，且f(x)在[0,2)上单调递增，则(　　) A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11) C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12) 答案　A 6. (高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f(x) (　　) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 解析：由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确． 故选：D． 7．已知y=f(x)的图像关于坐标原点对称,且对任意的x∈R,f(x+2)=f(-x)恒成立,当-1≤x<0时,f(x)=2x,则f(2021)= ( 　) A.-1 B.- C. D.1 [解析] 由题可知,y=f(x)是R上的奇函数,又f(x+2)=f(-x),∴f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数y=f(x)的周期为4,∴f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=-f(-1)=-2-1=-.故选B. *8．(全国Ⅱ卷)设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵时，，，∴，即右移个单位，图像变为原来的倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，∴（舍），∴，，∴时，成立，即，∴，故选B ． *9．[全国乙卷(理)，12]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A. －21 B．－22 C．－23 D．－24 10．(多选)(本溪统考)已知定义在R上的奇函数f(x)对∀x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是(　　) A．f(x)是周期函数且周期为4 B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 D．f(x)在[－4,4]上至少有5个零点 答案　ACD 解析　对于A选项，因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)] ＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4，故A项正确； 对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)， 且f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＝f(－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， 故B项错误； 对于C选项，因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(x－2)， 又因为f(－x)＝－f(x)， 所以f(x－2)＝f(－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 故C项正确； 对于D选项，因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，因为T＝4， 所以f(4)＝f(－4)＝0， 因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(0＋2)＝－f(0)＝0， 所以f(2)＝0，因为T＝4， 所以f(－2)＝0，故D项正确． 11．(多选) (山东临沂期末)已知函数f(x)在R上单调递增，且f(1＋x)＋f(1－x)＝0，f(2)＝1，则(　　) A．f(x)的图象关于(1,0)对称 B．f＋f＞0 C．f＋f＞0 D．不等式[f(x)]2＞1的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案　ACD 解析　函数f(x)满足f(1＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(x)的图象关于(1,0)对称，A正确；x＝和x＝关于(1,0)对称，故f＋f＝0，又函数f(x)在R上单调递增，则f＜f，即f＋f＜0，B错误；f＜f，即f＋f＞0，C正确；x＝0和x＝2关于(1,0)对称，则f(0)＝－1，又[f(x)]2＞1等价于f(x)＞1或f(x)＜－1，∵f(x)在R上单调递增，∴x＜0或x＞2，D正确．故选ACD. 12．(多选) [重庆南开中学八检] 已知函数y=f(x-1)的图像关于直线对称,且∀x∈R,f(x)+f(-x)=4.当x∈(0,2]时,f(x)=x+2.则下列说法正确的是 (　) A．f(x)的周期为8 B．f(x)的最大值为4 C．f(2021)=2 D．f(x+2)为偶函数 答案.ABD　[解析] 因为函数y=f(x-1)的图像关于直线x=-1对称,所以f(x)的图像关于直线x=-2对称,因为∀x∈R,f(x)+f(-x)=4,所以函数y=f(x)的图像关于点(0,2)中心对称,所以f(-2+x+2)=f[-2-(x+2)],即f(x)=f(-4-x)=4-f(-x),又f(-4-x)+f(x+4)=4,即f(-4-x)=4-f(x+4),所以f(x+4)=f(-x),所以f[(x+4)+4]=f[-(x+4)]=f(x),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)的周期为8,故选项A正确;又f(x+2)=f(-x+2),所以函数f(x+2)为偶函数,故选项D正确;因为当x∈(0,2]时,f(x)=x+2,且f(x)+f(-x)=4,所以当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],所以f(-x)=-x+2=4-f(x),所以f(x)=x+2,故当x∈[-2,2]时,f(x)=x+2,又函数y=f(x)的图像关于直线x=-2对称,所以f(x)在[-6,2]上的最大值为f(2)=4,故f(x)在R上的最大值为4,故选项B正确;因为f(2021)=f(252×8+5)=f(5)=f(1+4)=f(-1)=-1+2=1,所以选项C错误.故选ABD. 二、填空题 13．函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________. 答案　 解析　∵f(x)f(x＋2)＝13， ∴f(x＋2)＝， ∵f(x＋4)＝＝＝f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2 023)＝f(3)＝＝. 14．若是定义在上的奇函数，且，则=________ 答案 0 15．[淄博三模] 请写出一个函数f(x)= 　　　　　,使之同时具有如下性质: ①∀x∈R,f(x)=f(4-x);②∀x∈R,f(x+4)=f(x).  答案.cosx(答案不唯一)　[解析] 由性质①:∀x∈R,f(x)=f(4-x),可知函数f(x)的图像关于直线x=2对称.由性质②:∀x∈R,f(x+4)=f(x),得函数f(x)的周期为4.考虑同时具有对称性和周期性的函数,常见的是三角函数,故可取f(x)=cosx (答案不唯一). 16．[菏泽一模] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=1,g(x)=f(x-1)是奇函数,则f(2021)= 　　　　,   答案0　-1　 [解析] 根据题意,g(x)=f(x-1)是奇函数,则f(x)的图像关于点(-1,0)对称,则有f(-x)=-f(-2+x),且f(1)=0,由f(x)是定义在R上的偶函数,即f(-x)=f(x),得f(x)=-f(x-2),变形可得f(x-4)=-f(x-2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,f(2021)=f(1+4×505)=f(1)=0.由f(x)=-f(x-2),可得f(x)+f(x-2)=0,则f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则n×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(4n)=0-f(0)=-1. 17． 已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 ，， 所以的图象关于直线对称， 时， 设，则，， ，， 所以，即 即是减函数，所以时，函数为增函数， 因此由得，解得且． 故答案为： 三、解答题 18．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． (1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2 ＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 19．(北京西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明) (2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值． 解　(1)因为函数y＝x是增函数， 所以函数y＝x不具有性质P， 当A＝1，T＝2π时， 函数y＝cos x对于任意x∈R， f(x＋T)＝Af(x)成立， 所以y＝cos x具有性质P. (2)设x∈(－π，0]， 则x＋π∈(0，π]， 由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)， 所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]， 由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)， 得f(－π)＝f(π)＝0， 所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x， 所以当x＝－时， f(x)在[－π，0]上有最大值f ＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $