校本作业08 函数的奇偶性与对称性 -福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业08（函数的奇偶性与对称性） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．已知函数f(x)＝，则函数f(x)(　　) A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数，但不是偶函数 D．是偶函数，但不是奇函数 2．已知函数f(x)=为奇函数,则a= (　 ) A.-1 B.C.- D.1 3．设函数若f(x)是奇函数，则g(3)的值是(　　) A．1 B．3 C．－3 D．－1 4． (重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于(　　) A．－7 B．－3 C．3 D．7 5．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a2x－a－2x＋1(a>0，a≠1)，则f(1)等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 6． (哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 7．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象关于直线对称，则函数的值域为( ) A． B． C． D． 9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 10． (多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是(　　) A．f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 11．(多选)(岳阳质检)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有(　　) A．f(－1.1)＝0.9 B．函数f(x)为奇函数 C．f(x＋1)＝f(x)＋1 D．函数f(x)的值域为[0,1) 12．(多选) [湖南长郡十五校一联] 函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则 (　) A．函数g(x)=f(x)cos x为奇函数 B．函数h(x)=x[f(x)-f(2)]有且只有3个零点 C．不等式x[f(x)-f(2)]≤0的解集为(-∞,-2]∪[0,2] D．f(x)的解析式可能为f(x)=ex+e-x-x2 二、填空题 13．设为奇函数，且当时，，则当时， 14．(2015高考数学新课标1理科)若函数为偶函数，则 15．函数图象的对称中心为_____ 16．[湖北八市联考] 已知函数f(x)=2sin α+log2,f(m)=3,f(-m)=1,则m=　　　　 17．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝____________，f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________. 三、解答题 18．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 19．已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)若对于任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(3t2-k)≤0恒成立,求k的取值范围. 20．已知函数 （1） 求证：的图像关于点对称； （2） 若在上恒成立，求实数的取值范围. 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业08（函数的奇偶性与对称性） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．已知函数f(x)＝，则函数f(x)(　　) A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数，但不是偶函数 D．是偶函数，但不是奇函数 答案　C 解析　由9－x2≥0且|6－x|－6≠0， 解得－3≤x≤3且x≠0， 可得函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤3且x≠0}， 关于原点对称， 所以f(x)＝＝＝， 又f(－x)＝＝－ ＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数，但不是偶函数． 2．已知函数f(x)=为奇函数,则a= (　) A.-1 B.C.- D.1 [解析] 函数的定义域为{x|x≠-1且x≠a},因为f(x)=为奇函数,所以定义域关于原点对称,则a=1,所以f(x)==.因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数,故选D. 3．设函数若f(x)是奇函数，则g(3)的值是(　　) A．1 B．3 C．－3 D．－1 答案　C 解析　因为函数f(x)＝且f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)，所以log2(1＋3)＝－[g(3)＋1]，则g(3)＝－3.故选C. 4． (重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于(　　) A．－7 B．－3 C．3 D．7 答案　B 解析　设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3， 则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)， 即f(x)－2＝－f(－x)＋2， 故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3. 5．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a2x－a－2x＋1(a>0，a≠1)，则f(1)等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　由已知可得f(1)＋g(1)＝a2－a－2＋1， f(－1)＋g(－1)＝a－2－a2＋1， 因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， 所以f(1)－g(1)＝a－2－a2＋1， 联立 解得f(1)＝1. 6． (哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案　C 解析　依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)， 显然函数g(x)的定义域为R， 则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)， 即函数g(x)是奇函数， 因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1， 则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1， 于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2， 所以M＋N的值为2. 7．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，显然该函数的定义域为全体实数， 因为，所以该函数是偶函数， 设， 当时，单调递增， 因此函数在时单调递增，而函数是偶函数， 所以由，两边同时平方整理得：，故选：D 8．已知函数的图象关于直线对称，则函数的值域为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数的图象关于直线对称 ∴， 即， ∴， 整理得恒成立， ∴， ∴，定义域为． 又， ∵时，，∴， ∴函数的值域为．故选D． 9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 答案　B 解析　构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)， 函数g(x)为奇函数， 故函数g(x)的图象的对称中心为原点． 函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度， 故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)． 10． (多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是(　　) A．f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 答案　BCD 解析　∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋ ＝－sin x－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称， 故A错误，B正确． ∵f ＝cos x＋， f ＝cos x＋， ∴f ＝f ， ∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确． 又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋ ＝sin x＋， f(－x)＝－sin x－， ∴f(x＋2π)＝－f(－x)， ∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确． 11．(多选)(岳阳质检)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有(　　) A．f(－1.1)＝0.9 B．函数f(x)为奇函数 C．f(x＋1)＝f(x)＋1 D．函数f(x)的值域为[0,1) 答案　AD 解析　对于A，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1] ＝－1.1＋2＝0.9，故A正确． 对于B，取x＝－1.1，则f(－1.1)＝0.9， 而f(1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1， 故f(－1.1)≠－f(1.1)， 所以函数f(x)不为奇函数，故B错误． 对于C，f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－[x]－1＝f(x)，故C错误． 对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1， 当0≤x≤1时，则 当x＝0时，f(0)＝0－[0]＝0， 当0<x<1时，f(x)＝x－[x]＝x－0＝x， 当x＝1时，f(x)＝1－[1]＝1－1＝0， 故当0≤x≤1时，则有0≤f(x)<1， 故函数f(x)的值域为[0,1)，故D正确． 12．(多选) [湖南长郡十五校一联] 函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则 (　) A.函数g(x)=f(x)cos x为奇函数 B.函数h(x)=x[f(x)-f(2)]有且只有3个零点 C.不等式x[f(x)-f(2)]≤0的解集为(-∞,-2]∪[0,2] D.f(x)的解析式可能为f(x)=ex+e-x-x2 .BCD　[解析] 对于A,若g(x)=f(x)cos x,则g(-x)=f(-x)cos(-x)=f(x)cos x=g(x),则g(x)=f(x)cos x为偶函数,故A错误;对于B,设函数F(x)=f(x)-f(2),F(2)=f(2)-f(2)=0,F(-2)=f(-2)-f(2)=f(2)-f(2)=0,则F(x)在R上有且只有2个零点,所以h(2)=h(-2)=h(0)=0,h(x)在R上有且只有3个零点,故B正确;对于C,因为x[f(x)-f(2)]≤0,所以当x<0时,f(x)-f(2)≥0,即f(x)≥f(-2),可得x≤-2,当x≥0时,f(x)-f(2)≤0,即f(x)≤f(2),可得0≤x≤2,故x[f(x)-f(2)]≤0的解集为(-∞,-2]∪[0,2],故C正确;对于D,若f(x)=ex+e-x-x2,易得f(x)为偶函数,其导数f'(x)=ex-e-x-2x,令φ(x)=ex-e-x-2x,则有φ'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当x=0时等号成立,则f'(x)在R上单调递增,当x∈[0,+∞)时,f'(x)≥f'(0)=0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,故D正确.故选BCD. 二、填空题 13．设为奇函数，且当时，，则当时， 【答案】 14．(2015高考数学新课标1理科)若函数为偶函数，则 【答案】1 解析：由题知是奇函数，所以 =，解得=1． 15．函数图象的对称中心为_____ 【答案】 法一：三次函数对称中心横坐标为导函数对称轴 法二：由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，代入函数解析式得， 整理得到： ， 整理得到 对任意均成立， 所以 ，所以，.，即对称中心．故答案为：． 16．[湖北八市联考] 已知函数f(x)=2sin α+log2,f(m)=3,f(-m)=1,则m=　　　　 　[解析] 设g(x)=log2,则函数g(x)的定义域为{x|-3<x<3},由题得g(-x)=log2=-log2=-g(x),∴函数g(x)是奇函数,∴g(m)+g(-m)=0,∴f(m)+f(-m)=4sin α=4,∴sin α=1.∵f(m)=3,∴3=2+log2,解得m=1. 17．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝____________，f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________. 答案　1　1 011 解析　因为f(x)＝， 所以f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝ ＝1， 设f ＋f ＋f ＋…＋f ＝m， ① 则f ＋…＋f ＋f ＋f ＝m， ② ①＋②得2 022＝2m，即m＝1 011， 故f ＋f ＋f ＋…＋f ＝1 011. 三、解答题 18．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2) 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1,3]． 19．已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)若对于任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(3t2-k)≤0恒成立,求k的取值范围. 解:(1)定义域为R的函数f(x)=是奇函数, 可得f(0)=0,即b-20=0,即b=1, 又f(-x)+f(x)=+=0, 化为(2-a)(2x+2-x-2)=0, 因为上式对任意x∈R恒成立, 所以2-a=0,即a=2, 所以a=2,b=1. (2)f(x)==·=-+, 由y=2x在R上单调递增,可得y=在R上单调递减, 则奇函数f(x)在R上单调递减, 所以f(t2-4t)+f(3t2-k)≤0即为f(t2-4t)≤-f(3t2-k)=f(k-3t2), 可得t2-4t≥k-3t2,即k≤4t2-4t恒成立, 由4t2-4t=4-1,可得当t=时,4t2-4t取得最小值-1, 所以k≤-1,即k的取值范围是(-∞,-1]. 20．已知函数 （3） 求证：的图像关于点对称； （4） 若在上恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）设的图像上任一点为，则 关于点的对称点为. 则. 说明点也在函数的图像上 的图像关于点对称 （2） 由，化为在上恒成立 令，则恒成立，的对称轴为 在递增 解得 12 学科网（北京）股份有限公司 $