福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学校本作业07（函数的单调性与最值）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业07（函数的单调性与值域） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)=ln(3x2-6x-24)的单调递增区间为 (　 ) A.(-1,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.(4,+∞) 2．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　 　) A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 3．函数f(x)＝且满足对任意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围是(　 　) A．[4,8) B．(4,8) C．(1,8] D．(1,8) 4．已知f(x)是定义在R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R上的 (　) A.增函数 B.减函数 C.先减后增的函数 D.先增后减的函数 5．函数f(x)=x+e|ln x|的单调递增区间为 ( 　) A.(0,+∞) B.(0,e) C.(1,+∞) D.(0,1) 6．函数y＝＋的值域为(　　) A．[1，] B．[1,2] C. D．[，2] 7．(南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 8．若实数x,y满足2020x-2020y<2021-x-2021-y,则 ( 　) A.x-y<0 B.x-y>0 C.<1 D.>1 9．已知函数，或对任意的，且时，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　 ） A． B． 　　 C. D． 10．（多选）下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝x＋cos x D．y＝ 11．（多选）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2] 12．（多选）设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.下列说法正确的有 (　) A.函数f(x)为偶函数 B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x) C.当x∈R时,f[f(x)]≤f(x) D.当x∈[-4,4]时,|f(x)-2|≥f(x) 二、填空题 13．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________． 14．已知函数，则关于的不等式的解集是_______. 15．函数y=的最大值为　　　　 16．[昆明二模] 已知函数f(x)=若n>m,且f(n)=f(m),设t=n-m,则t的取值范围为　　　　 三、解答题 17．已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)． (1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； (2)当a＝时，求函数f(x)的值域． 18．[福建龙岩期末] 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意正实数a,b都有f(ab)+1=f(a)+f(b),且当x>1时,f(x)>1. (1)求f(2021)+f的值,判断函数f(x)的单调性并加以证明; (2)当x∈[1,3]时,关于x的不等式f(kx-3)+f(x)>2恒成立,求实数k的取值范围. 19．对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是f(x)的“和谐区间”． (1)求证：函数g(x)＝3－不存在“和谐区间”； (2)已知函数 (a∈R，a≠0)有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n－m的最大值． 厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业07（函数的单调性与值域） 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．函数f(x)=ln(3x2-6x-24)的单调递增区间为 (　 ) A.(-1,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.(4,+∞) 答案 D [解析] 由3x2-6x-24>0,即3(x-4)(x+2)>0,得x<-2或x>4,所以f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).设g(x)=3x2-6x-24,则g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又y=ln x是增函数,所以f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 2．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　 　) A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 答案　C 解析　f(x)＝＝2＋， ∵x2≥0，∴x2＋1≥1， ∴0<≤1， ∴f(x)∈(2,3]． 3．函数f(x)＝且满足对任意的实数x1≠x2都有成立，则实数a的取值范围是(　 　) A．[4,8) B．(4,8) C．(1,8] D．(1,8) 答案　A 解析　函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0， 所以函数f(x)＝是R上的增函数， 则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足 解得4≤a<8， 所以实数a的取值范围为[4,8)． 4．已知f(x)是定义在R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R上的 (　) A.增函数 B.减函数 C.先减后增的函数 D.先增后减的函数 B　[解析] ∵y=f(x)是定义在R上的增函数,y=1-x是R上的减函数,∴y=f(1-x)是R上的减函数.∵y=f(x)是定义在R上的增函数,∴y=-f(x)是R上的减函数,又y=1+x是R上的增函数,y=-f(1+x)是R上的减函数, ∴F(x)=f(1-x)-f(1+x)是R上的减函数,故选B. 5．函数f(x)=x+-e|ln x|的单调递增区间为 ( 　) A.(0,+∞) B.(0,e) C.(1,+∞) D.(0,1) 　[解析] f(x)=x+-e|ln x|,当x≥1时,f(x)=,显然单调递减;当0<x<1时,f(x)=x,显然单调递增.所以f(x)在(0,1)上单调递增.故选D. 6．函数y＝＋的值域为(　　) A．[1，] B．[1,2] C. D．[，2] 答案　D 解析　函数的定义域为{x|－1≤x≤1}，因为y＝＋>0，又y2＝2＋2∈[2,4]，所以y＝＋的值域为[，2]．故选D. 7．(南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 答案　A 解析　y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数， 因此在(0，＋∞)上y＝ex－e－x单调递增，且此时f(x)>0. f(x)＝－x2在x≤0时单调递增， 所以f(x)在R上单调递增． c＝log20.9<0，b＝log32， 所以0<b<1，a＝50.01>1， 即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)． 8．若实数x,y满足2020x-2020y<2021-x-2021-y,则 (　) A.x-y<0 B.x-y>0 C.<1 D.>1 答案.A　[解析] 不等式2020x-2020y<2021-x-2021-y可化为2020x-2021-x<2020y-2021-y,∵f(x)=2020x-2021-x是增函数,∴x<y,即x-y<0.故选A. 9．已知函数，或对任意的，且时，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ B　 ） A． B． 　　 C. D． 【解析】因为，故函数在上单调递增；易知，当时， 在上是增函数，，解得；当时，，令，解得，由对勾函数性质可知，函数的单调递增区间为，故，得，综上所述，实数的取值范围为. 10．（多选）下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝x＋cos x D．y＝ 答案　AC 解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确； 对于选项C，y′＝1－sin x≥0， ∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确； y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确． 11．（多选）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2] 答案　BC 解析　易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确； 若f(x)在(a，a＋1)上单调递增， 则a≥0或a＋1≤0， 即a≤－1或a≥0，故C正确； 当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]， 当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]， 故x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]， 故D不正确． 12．（多选）设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.下列说法正确的有 (　) A.函数f(x)为偶函数 B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x) C.当x∈R时,f[f(x)]≤f(x) D.当x∈[-4,4]时,|f(x)-2|≥f(x) 答案.ABC　[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y=|x-2|,y=x2,y=|x+2|的图像如图所示,由图可知,f(x)=f(x)的图像为图中实线部分,显然有f(-x)=f(x),可得f(x)为偶函数,故A中说法正确;又当x≥1时,f(x)=|x-2|,f(x-2)的图像可由f(x)的图像向右平移2个单位得到,显然当x≥1时,f(x-2)≤f(x),故B中说法正确;由图可知,当x∈R时,f(x)≥0,可令t=f(x),由y=f(t)和y=t(t≥0)的图像可知,当t≥0时,直线y=t在曲线y=f(t)的上方,∴当t≥0时,有t≥f(t),即有f[f(x)]≤f(x),故C中说法正确;当x∈[-4,4]时,f(-4)=2,f(-4)-2=0,显然f(-4)>|f(-4)-2|,故D中说法不正确.故选ABC. 二、填空题 13．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________． 答案　[1，＋∞) 解析　f(x)＝＝a－， 定义域为{x|x≠－2a}， 所以 所以所以a≥1. 14．已知函数，则关于的不等式的解集是_______. 15．函数y=-的最大值为　　　　 [解析] 由可得x≥0,y=-==,因为y=+在[0,+∞)上单调递增,所以y=在[0,+∞)上单调递减,所以当x=0时,y=取得最大值,最大值为1,故函数y=-的最大值为1. 16．[昆明二模] 已知函数f(x)=若n>m,且f(n)=f(m),设t=n-m,则t的取值范围为　　　　 .　[解析] 画出f(x)的大致图像如图所示,3×1+1=4,令x2-1=4(x>0),解得x=,由n>m,f(n)=f(m)得3m+1=n2-1,m=,且1<n≤,所以t=n-m=n-=-n2+n+(1<n≤),结合二次函数的性质可知,当n=-=时,t取得最大值,最大值为-×++=,当n=时,t取得最小值,最小值为-×()2++=-1.所以t的取值范围是. 三、解答题 17．已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)． (1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； (2)当a＝时，求函数f(x)的值域． 解　(1)∵g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]， ∴f(x)＝g(x)·h(x)＝(＋1)·＝， 即f(x)＝，x∈[0，a](a>0)． (2)当a＝时，函数f(x)的定义域为， 令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈. ∴f(x)＝F(t)＝＝， 当t∈时，y＝t＋单调递减，且t＋－2>0， 则F(t)单调递增，∴F(t)∈， 即函数f(x)的值域为. 18．[福建龙岩期末] 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意正实数a,b都有f(ab)+1=f(a)+f(b),且当x>1时,f(x)>1. (1)求f(2021)+f的值,判断函数f(x)的单调性并加以证明; (2)当x∈[1,3]时,关于x的不等式f(kx-3)+f(x)>2恒成立,求实数k的取值范围. .解:(1)令a=b=1,则f(1)+1=2f(1),所以f(1)=1, 所以f(2021)+f=f+1=f(1)+1=1+1=2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 证明如下:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=f-f(x1)=f+f(x1)-f(x1)-1=f-1, 因为>1,所以f>1,故f(x2)-f(x1)>0, 所以f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)因为f(a)+f(b)=f(ab)+1, 所以f(kx-3)+f(x)=f(kx2-3x)+1>2, 又因为f(1)=1,所以可化为f(kx2-3x)>1=f(1). 由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以对任意的x∈[1,3]恒成立, 所以k>+对任意的x∈[1,3]恒成立, 所以k>,x∈[1,3]. 记t=∈,g(t)=t2+3t, 易知g(t)在区间上单调递增,所以g(t)max=g(1)=4,所以k>4. 因此,实数k的取值范围是(4,+∞). 19．对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是f(x)的“和谐区间”． (1)求证：函数g(x)＝3－不存在“和谐区间”； (2)已知函数 (a∈R，a≠0)有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n－m的最大值． 解　(1)证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集． ∵x≠0，∴[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)， 故函数g(x)＝3－在[m，n]上单调递增． 若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则 故m，n是方程3－＝x的同号的相异实数根． ∵x2－3x＋5＝0无实数根， ∴函数g(x)＝3－不存在“和谐区间”． (2)设[m，n]是已知函数定义域的子集． ∵x≠0，∴[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)， 函数h(x)＝(a∈R，a≠0)在“和谐区间”[m，n]上单调递增， 则故m，n是方程h(x)＝－＝x的同号的相异实数根，即a2x2－(a2＋a)x＋1＝0的同号的相异实数根， 又nm＝>0， ∴只须Δ＝a2(a＋3)(a－1)>0，即a>1或a<－3. 已知函数有“和谐区间”[m，n]， 则n－m＝＝， ∴当a＝3时，n－m取得最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $