专题2.4点、线间的对称关系重难点题型讲义（4个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

该高中数学讲义围绕“点、线间的对称关系”构建系统知识体系，通过清晰的四大知识点框架、13类典型题型分类和3大拓展训练，辅以表格归纳特殊对称规律、思维导图梳理解题路径，使抽象概念具象化，重难点分布明确，内在逻辑紧密关联，帮助学生建立从基础到综合的认知结构。 讲义亮点突出“数形结合”“逻辑推理”与“模型应用”的核心素养培养，如在“将军饮马问题”中引导学生用对称思想转化最短路径，体现数学建模意识；在“直线关于直线对称”题型中强调作图辅助与代数运算双轨并进，提升空间想象与严谨推理能力。每类题型均配经典例题与变式训练，基础薄弱生可掌握通法，优等生能突破难点，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力课堂高效复习与学生自主巩固。

专题2.4点、线间的对称关系重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求点到直线的距离 题型二 直线围成图形的面积问题 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 求到两点距离相等的直线方程 题型五 求点关于直线的对称点 题型六 求两点的对称轴 题型七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 题型九 求平行线间的距离 题型十 由距离求已知直线的平行线 题型十一 求直线关于点的对称直线 题型十二 将军饮马问题求最值 题型十三 直线关于直线对称问题 拓展训练一 点关于点的对称问题 拓展训练二 直线关于点的对称问题 拓展训练三 直线关于直线的对称问题 知识点一：点关于点的对称 1．点关于点的对称 【即时训练】 1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 2．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 知识点二：直线关于点的对称 1．直线关于点的对称 【即时训练】 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】在对称的直线方程上任取一点，根据点对称性可得在直线上，代入即可求解. 【详解】设直线关于点对称的直线方程为， 在上任取一点， 则点关于点对称的点的坐标为， 由题意可知点在直线上， 故，整理可得. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 知识点三：点关于直线的对称 1．两点关于某直线对称 (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 【即时训练】 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据点关于坐标轴以及原点对称的点坐标，构造方程组可解得结果. 【详解】因为，其关于轴对称的点坐标为， 则，解得； 又点关于原点对称的点坐标为，所以， 解得， 则． 故选： 知识点四：直线关于直线的对称 【即时训练】 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则解得即. 所以人射光线所在直线的方程为，即. 故选：A 2．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 【答案】6或－2 【分析】根据反射光线上的点关于直线的对称点一定在入射光线上，即可求解. 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则，整理得，解得或. 故答案为：6或－2. 【经典例题一 求点到直线的距离】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）在边长为1的正方体中，是线段上一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由三角形相似得，过点作于，即为点到直线的距离，进而是的中点，且是与的交点，当时，取得最小值，计算得到答案； 【详解】如图，连接，由正方体的性质易知，所以， 过点作于，则即为点到直线的距离，则是的中点， 所以是与的交点，当时，取得最小值， 又，在中，， 所以此时，故点到直线的距离的最小值为． 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）先将直线方程化为一般式；再根据点到直线距离公式即可求解.． （2）特殊状态的直线可数形结合解决． （3）特殊状态的直线可数形结合解决. 【详解】（1）将化为一般式：. 由点到直线距离公式可得： 点到该直线的距离为. （2）将化为：，    因为该直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为 （3）因为直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【详解】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 2．（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1，利用点到直线距离公式去判断四个选项，得到答案. 【详解】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1， A选项，原点O到的距离， 点在上，且到原点O到距离为1，满足要求，A正确； B选项，原点O到的距离为1，B正确； C选项，原点O到的距离，满足要求，C正确； D选项，原点O到的距离，D错误. 故选：ABC 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）点到直线的距离为 【答案】/ 【分析】应用点线距离公式求距离即可. 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·期末）已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程. (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得； （2）根据点到直线距离公式结合条件即得. 【详解】（1）易得的中点坐标为，， ∴所求直线斜率为， 故线段垂直平分线所在直线方程为，即. （2）直线过，且，， 当直线斜率不存在时，直线为，显然不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线为即， ∵、到直线距离相等， ∴，解得或， ∴直线为或. 【经典例题二 直线围成图形的面积问题】 【例1】（2023高二·全国·竞赛）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、、三点的坐标，求出的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的值． 【详解】由题意知，，，， 易知，故直线所在方程为，即， 点到该直线的距离为， 故 ， ， 当时，有最大值，此时． 故选：B． 【例2】（22-23高二上·福建福州·期末）已知平行四边形的三个顶点坐标为、、. (1)求所在的直线方程； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，则，可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，可计算得出点到直线的距离，并求出，再利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：因为四边形为平行四边形，则，则， 所以，直线的方程为，即. （2）解：直线的方程为，即，且， 点到直线的距离为， 所以，平行四边形的面积为. 1．（23-24高二·江苏·专题练习）直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线与x轴的交点M坐标，直线与y轴的交点N坐标，及直线和的交点P坐标，则可求和由两点式可得直线MN的方程为，即可求P点到直线MN的距离，即可求 【详解】直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为， 则． 如图所示： 则由两点式可得直线MN的方程为，即， 由解得， 此为两直线的交点， 根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为 ， 故 ． 故选：B 2．（23-24高二上·山西太原·阶段练习）直线过点,则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由题意，，，由基本不等式结合三角形面积公式即可得结论. 【详解】由题意，，， 由基本不等式可得，∴， ∴直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积的最小值为4， 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线方程，考查三角形面积的计算，基本不等式的应用，属于中档题. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ . 【答案】 【分析】先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可. 【详解】由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，        直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝，当a＝时，面积最小. 故答案为：. 【点睛】本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值. 4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）中，顶点、，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （2）求出点的坐标，计算出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式即可求得的面积. 【详解】（1）解：因为边上的高所在直线方程为，可设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 因此，直线的方程为. （2）解：联立，解得，即点，， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 点到直线的距离为，故. 【经典例题三 已知点到直线距离求参数】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C 【例2】（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出交点坐标，由平行设的方程为，代入交点坐标求解可得． （2）分类讨论，判断斜率不存在的直线是否满足题意，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求解． 【详解】（1）由，解得， 可得两直线和的交点为, 当直线与直线平行，设的方程为， 把点代入求得， 可得的方程为． （2）当的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为2． 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，两点到直线：的距离相等，则（   ）. A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，两点到直线：的距离相等， 所以，所以，所以或， 故选：D. 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】当斜率存在时，设直线方程，根据点到直线的距离公式列方程组求解可得. 【详解】易知，当直线的斜率不存在时不满足题意； 过点作垂直于直线，垂直分别为， 则，所以，所以， 又，所以直线过原点， 设直线方程为，即， 由题知，，解得或或， 所以满足条件的直线有4条. 故选：A 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 【答案】或9 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 4．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程． 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 【经典例题四 求到两点距离相等的直线方程】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式建立关系可求解. 【详解】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 根据点，到直线的距离相等，得，解得或， 故直线的方程为或. 故选：A. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】解法1：直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l到点和点的距离相等求解；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程成立； 解法2：分，则和l过AB中点求解； 【详解】解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即． 由题意知，即，∴， ∴直线l的方程为，即． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意． 解法2：当时，，直线l的方程为，即． 当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为． 故所求直线l的方程为或． 1．（23-24吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知两点，到直线的距离相等，则m的值为 A．或1 B．或1 C．或 D．或 【答案】D 【分析】两点到直线距离相等，可用几何法，直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，或者也可用代数法． 【详解】解法一：依题意得，直线过线段AB的中点，或与直线AB平行. ①线段AB的中点坐标为，且在直线上，，解得； ②由两直线平行知，解得.因此m的值为或， 故选：D 解法二：由题意得，解得或， 故选：D 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查两直线平行的应用，考查转化思想，属于基础题． 3．（22-23高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是 . 【答案】（或） 【分析】根据题意，设点，由结合两点间距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设点，由题意可得， 则， 即， 化简可得. 即动点P满足的方程是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·河南焦作·期末）分别求出符合下列条件的直线方程： （Ⅰ）经过点但不过坐标原点，且在轴上的截距等于在轴上截距的3倍； （Ⅱ）经过直线与直线的交点，且与点，等距离. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或. 【解析】（Ⅰ）设出直线方程，点代入解出即可； （Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率即可． 【详解】（Ⅰ）因为直线不过原点，所以可设所求直线方程为， 将（3，1）代入所设方程，解得， 所以直线方程为. （Ⅱ）由解得 则点的坐标是， 当直线的斜率存在时，设其方程是，即 ， 由点到直线的距离公式得， 解得. 此时直线方程为. 当直线的斜率不存在，即直线平行于轴时，方程为. 所以直线的方程是或. 【经典例题五 求点关于直线的对称点】 【例1】（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得. 故选：A. 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）若点关于直线对称的点是，求a、b的值． 【答案】，. 【分析】根据点关于线对称的性质，结合斜率公式、中点坐标公式进行求解即可. 【详解】因为点关于直线对称的点是， 所以有，解得，. 1．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】作点O关于直线的对称点C，则．点P到y轴的距离为，故可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 【详解】如图： 作点O关于直线的对称点C，则． 设，则有解得所以． 已知第一象限内的点，则， 而，，所以点P到y轴的距离为， 所以可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 过P作轴，显然有， 当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值． 过点C作轴，则即为最小值， 此时P的位置即为CH与直线的交点． 因为，所以的最小值为4． 故选：B. 2．（24-25高二上·山东·期中）在平面直角坐标系中，第一象限内的动点，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】过点作点关于线段的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则.    设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为最小值，与线段的交点， 即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知关于直线的对称点为，求点的坐标． 【答案】 【分析】设点，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】解：设点，直线的斜率为，线段的中点为， 由题意可得，解得，故点. 【经典例题六 求两点的对称轴】 【例1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·单元测试）点与点)关于直线对称，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线为线段AB的垂直平分线，求出AB中点坐标和直线AB的斜率，利用直线的点斜式方程计算即可. 【详解】直线就是线段的垂直平分线， 的中点为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 1．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 2．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（    ） A．8 B．-8 C．4 D．-4 【答案】C 【解析】由对称的性质结合斜率公式、中点公式可得，求得后，由截距的概念即可得解. 【详解】因为点，，所以，线段的中点， 则，解得， 所以直线即为， 当时，， 所以直线在轴上的截距是4. 故选：C. 3．（23-24高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离. 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 【经典例题七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 【例1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 【例2】（23-24高一下·全国·课后作业）光线从点射出，到直线上的B点后被直线反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点，求所在直线的方程. 【答案】 【分析】画出图形，分析可得所在直线经过点B与点C即可求出. 【详解】解析作出草图，如图所示，设A关于直线的对称点为，D关于y轴的对称点为， 则易得.由反射角等于入射角可得所在直线经过点B与点C. 故所在直线的方程为，即. 1．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于轴对称点坐标，直线即为反射光线所在直线，由直线方程中令得纵截距． 【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为. 因为，所以反射光线所在直线的方程为. 令，得反射光线所在直线在轴上的截距为. 故选：C． 2．（22-23高二上·山东泰安·期中）从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得从点射出的光线所在直线方程，再求得其关于轴对称的直线方程即可解决. 【详解】与向量平行的直线的斜率为2， 则从点射出的光线所在直线方程为， 在直线上取二点，， ，关于轴的对称点分别为，， 则所求反射光线所在直线经过，两点，， 故所求反射光线所在直线方程为，即， 故选：C 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 4．（23-24高二·重庆万州·期中）已知直线，求： (1)点P（4,5）关于l的对称点； (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程. 【答案】(1) （－2，7）(2) 7x＋y＋22＝0 【分析】（1）设P（x，y）关于直线：3x－y＋3＝0的对称点为，则有和PP'的中点在直线3x－y＋3＝0上，列方程组求解即可； （2）将（1）中关于关于l的对称点的解代入x－y－2＝0中的x，y即可得解. 【详解】(1)设P（x，y）关于直线：3x－y＋3＝0的对称点为则 ∵，即．① 又PP'的中点在直线3x－y＋3＝0上， ∴．② 由①②得． 把x＝4，y＝5代入③④得＝－2，＝7， ∴P（4，5）关于直线的对称点的坐标为（－2，7）． （2）用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y得关于的对称直线方程为 ． 化简得7x＋y＋22＝0． 【点睛】本题主要考查直线关于直线对称的直线方程，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 【经典例题八 坐标法的应用——点到直线的距离】 【例1】（23-24江西九江·模拟预测）与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】结合各选项中直线解析式，应用点线距、直线与轴交点即可得到正确选项. 【详解】与的距离为2，在轴上的截距为4，故符合要求； 对于直线，有且时，故也符合要求； 与的距离为3且轴无交点，不符合要求. ∴、都是与点距离为2且在轴上的截距为4的直线. 故选：C 【点睛】本题考查了点线距离公式及直线的截距，属于简单题. 【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）在中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，由边BC的中点在轴上，点在轴上，可得D坐标，据此可得答案； （2）设角的平分线与直线的交点为，由到直线AB，BC的距离相等，验证后可得答案. 【详解】（1）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． 因为点在轴上，且，所以，解得． 所以，所以．则． （2）设角的平分线与直线的交点为，则易知． 直线BC的方程为，即． 直线AB的方程为，即． 由到直线AB，BC的距离相等，可得，即． 即，解得或． 则交点可能为或， 将坐标代入，，可得， 将坐标代入，，可得， 则在BC，AB 之间满足题意，在BC，AB 同侧，不满足题意. 所以角的平分线与直线的交点坐标为． 1．（23-24高一·全国·课后作业）在圆上的所有点中，到直线的距离最大的点的坐标为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆与直线的图象，设点到直线的距离最大，则直线垂直直线，点在圆上，从而得到关于的方程组． 【详解】设点到直线的距离最大，由图象知， 且直线垂直直线，所以， 所以解得：或（舍去），故选B. 【点睛】本题考查坐标法的运用，注意利用数形结合思想对求出的点的坐标进行取舍． 2．（23-24高一·全国·单元测试）设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x2＋y2的最小值和最大值分别为(　　) A． ，1 B．0,1 C．0， D． ，2 【答案】A 【详解】如图2，在直角坐标系中，表示直线，记，它表示直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线的距离的平方即为所求的最小值， 即；又，问题即为求线段上的点与原点距离平方的最大值，显然有,故选A.    点睛：本题主要考查了点到直线的距离公式和直线方程的应用，解答中把转化为直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线的距离的平方即为所求的最小值，和线段上的点与原点距离平方的最大值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，试题有一定的思维含量，属于中档试题. 3．（23-24高一下·山东潍坊·开学考试）已知点在直线上,则的最小值为 . 【答案】4 【分析】据题意可知，表示原点到直线上的点的距离，求出原点到直线的距离为4，从而可得出的最小值． 【详解】根据题意知，表示原点到直线上的点的距离， 大于等于原点到直线的距离， 原点到直线的距离为， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查点到直线的距离、两点间的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意几何意义的应用. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【答案】证明见解析 【分析】利用等腰三角形的对称性建立直角坐标系，设点写出直线方程，再利用点线距离公式即可证明. 【详解】设是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系．    设，，则． 直线AB的方程为，即． 直线BC的方程为，即． 设底边AC上任意一点为， 则点P到直线AB的距离为， 点P到直线BC的距离为， 点A到直线BC的距离为． 所以． 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【经典例题九 求平行线间的距离】 【例1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 【例2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若与互相平行，求与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出的值； （2）利用直线平行的充要条件求出的值，进一步求出两平行线间的距离． 【详解】（1）直线和． 当直线与互相垂直，故， 解得；故； （2）当直线与互相平行，则，故直线的方程为； 所以直线与间的距离． 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 2．（多选）（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】AC 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】由，解得，满足． 的方程为，有，则， 解得或，故． 故选：AC． 3．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 【答案】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； （2）若与平行，则或， 当时，直线，直线，两直线重合，舍去， 当时，则直线，直线， 则与的距离为. 【经典例题十 由距离求已知直线的平行线】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】根据题意，结合两平行线间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为两条平行直线与之间的距离为， 由两平行线间的距离公式，可得，解得或． 故选：A. 【例2】（22-23高二上·江西南昌·期中）已知直线，试求： (1)与直线的距离为的直线的方程； (2)点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设所求直线的方程为，根据平行直线间的距离公式列出方程求解即可； （2）设对称点，利用垂直时斜率关系以及的中点在直线上列出方程组求解即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 由题意，得，解得或， 所以所求直线的方程为或. （2）设点关于直线的对称点为， 已知直线的斜率为，且的中点在直线上， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为. 1．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可. 【详解】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 则由平行线间的距离公式得，得 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【详解】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 3．（22-23高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】假设方程，利用平行直线间距离公式可构造方程求得结果. 【详解】直线不过原点且与平行，可设直线， 与之间的距离，解得：或（舍）， 直线的一般式方程为：. 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·课后作业）过点的直线与过点的直线平行，且它们之间的距离为，求直线和的方程． 【答案】，；或， 【分析】当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，不满足题意； 当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，由题意：，由此能求出所求的直线方程． 【详解】解：当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，此时它们之间的距离为2，不满足题意； 当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，即，． 它们之间的距离为， ，化简得，解得，或， 这两条直线的方程为，；或， 【经典例题十一 求直线关于点的对称直线】 【例1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【分析】解法一设，得到对称点坐标，再代入直线即可得到答案；解法二在直线上取两特殊点，得到其关于的对称点，则得到直线l方程；解法三根据对称特点设l的方程为，代入一个具体的对称点坐标即可得到答案. 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为． 1．（22-23高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 2．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 【答案】 【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值. 【详解】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为： 【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，直线：. （1）求直线关于点对称的直线方程； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，根据中点坐标公式，得到代入直线的方程，即可得出结果； （2）记直线与轴交点为，与轴交点为，先分别求出其坐标，再得到中点坐标，根据重心的性质，即可得出结果. 【详解】（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上， 则，所以，又，所以， 整理得， 即所求直线方程为：； （2）记直线与轴交点为，与轴交点为， 由，令得，即；令得，即， 又原点为，记中点为，则，连接，则三角形的重心点在线段上， 且满足，设， 则，所以，即. 【点睛】本题主要考查求直线关于点对称的直线方程，考查求三角形重心的坐标，属于常考题型. 【经典例题十二 将军饮马问题求最值】 【例1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 【例2】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知，求的最小值． 【答案】 【分析】将目标式理解为点到点和的距离之和，求得点关于直线的对称点，数形结合即可求得最小值. 【详解】设点的坐标为， 则表示点到点和的距离之和， 点为直线上一个动点，作图如下：    不妨设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， ， 当且仅当三点共线时取得等号； 故的最小值为. 1．（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为，利用平面内两点间的距离公式可求得结果. 【详解】点关于直线的对称点为，如下图所示： 在直线上任取一点，由对称性可知， 所以，， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故“将军饮马”的最短总路程为. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北唐山·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点，则为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对称点即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点． 根据题意，为最短距离，先求出的坐标． 的中点为，直线的斜率为1， 故直线的方程为，即． 由，联立得，， ，则， 故， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：转化为点关于直线的对称点与原点的距离求解是解题关键. 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点是直线上一点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 4．（23-24高二·全国·单元测试）如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元） （参考数据：，，，） 【答案】需要两村共同自筹资金23900元 【分析】建立直角坐标系,利用关于轴的对称点求出铺设的输水管道最短距离，再结合已知条件可求出结果. 【详解】建立直角坐标系如图所示，则． 由，可知，那么点A关于x轴的对称点． 连接交x轴于点C． 由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短． ∵，∴（km）， ∴铺设管道所需资金为（元）， 总费用（元）． ∴（元）． 答：需要两村共同自筹资金23900元． 【经典例题十三 直线关于直线对称问题】 【例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【例2】（23-24高二下·上海·课后作业）试求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】 【分析】设点为对称直线上的点，则点关于直线的对称点在直线上，代入化简可得结果. 【详解】设为对称直线上的点，则点关于对称的点为必然满足直线的方程， 则有，整理得. 【点睛】本题考查直线关于直线的对称直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线，将点的坐标代入直线的方程，可求出所求直线的方程. 【分析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 2．（2023·全国·高考真题）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出. 【详解】在上取一点， 则由题意可得其关于直线的对称点在上， 所以，得， 在上取一点， 则其关于直线的对称点在上， 所以，得， 综上， 故选：A 3．（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 【答案】9x－46y＋102＝0 【解析】求出直线上任一点如关于直线的对称点的坐标，再求出直线和的交点的坐标，由可得对称直线的方程． 【详解】解：在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则 ，解得，∴. 设直线m与直线l的交点为N，则 由，得N(4,3)． 又∵m′经过点N(4,3)．∴由两点式得直线m′的方程为， 化简得：9x－46y＋102＝0. 【点睛】本题考查直线关于直线对称的直线方程，解题方法是求出已知直线上任一点的对称点坐标，再求得已知直线与对称轴的交点坐标，由这两点得对称直线的方程． 【拓展训练一 点关于点的对称问题】 【例1】（2025高一下·广东潮州·竞赛）将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知A与点B关于直线l对称，可求出直线l方程，C与点D也关于直线l对称，可得CD中点在直线l上，且kCD=-，即可求出结果. 【详解】根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称，则点C与点D也关于直线l对称. 易知kAB=-，所以直线l的斜率为2，又易知AB的中点坐标为(2，1)， 则直线l的方程为y-1=2(x-2)，即y=2x-3， 因为CD中点在直线l上，且kCD=-， 所以可列方程组为解得所以m+n=. 故选：A 【点睛】本题考查了点关于点的对称直线，考查了计算能力，属于一般题目. 【例2】（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线． (1)求过点P且倾斜角为的直线方程； (2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先联立直线和的方程求得交点的坐标，再由直线的点斜式方程，即可求解； （2）设点P的对称点，结合点关于直线对称的条件得到，即可求解. 【详解】（1）联立直线和得：，解得，所以， 又过点P的直线的倾斜角为，则过点P的直线的斜率 由点斜式得， 即过点的直线方程为； （2）由（1）知， 由题意设点P的对称点， 则有， 消去m，得．解得， 故实数k的值为. 1．（23-24高一·云南普洱·阶段练习）将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得折线为点和的垂直平分线，求得垂直平分线方程，然后设点关于直线的对称点为,根据“一垂直，二中点”列出方程组求解即可. 【详解】由已知得折线为点和的垂直平分线， 两点和连线段的中点为,斜率为， ∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y=x+2， 设点关于直线的对称点为, 则，解得， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线的对称点问题和线段的垂直平分线方程的求法，涉及直线垂直的条件，中点公式，属基础题. 2．（23-24高一·全国·单元测试）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可. 【详解】 因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 3．（23-24高二上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为 .    【答案】 【解析】因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程. 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程， 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：， 故折痕所在的直线的方程. ，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 折痕所在的直线方程为， 即， 综上所述：折痕所在的直线的方程为：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点关于线段对称问题，考查了直线方程的求法，考查了两直线垂直关系的应用，属于中档题 4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 【拓展训练二 直线关于点的对称问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【例2】（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解； （2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解. 【详解】（1） 易知直线与直线互相平行， 设的方程为​，点到两直线距离相等， 有​， 即​，或​(舍去)， 故​的方程为​. （2） 设点​的坐标为​， 直线，且的中点在直线上， 而直线的斜率为，， 故有​，解得 ， ​故​的坐标为. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 2．（多选）（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 B．过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有3条 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称直线方程为 【答案】AB 【分析】对于A：直接求出过点且截距相等的直线，即可判断； 对于B：直接求出过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线； 对于C：直接求出点关于直线的对称点坐标，即可判断； 对于D：直接求出直线关于点对称直线方程，即可判断. 【详解】已知点与直线. 对于A：当截距为0时，直线与直线垂直； 当截距相等且不为0时，可设直线：，把代入，无解. 所以过点且截距相等的直线与直线垂直.故A正确； 对于B：过点的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在，可设其为k，则直线为，所以三角形的面积为，解得：或，所以符合题意的直线有3条.故B正确； 对于C：设点关于直线的对称点坐标，则有，解得：， 即点关于直线的对称点坐标.故C错误； 对于D：设直线关于点对称直线方程为，则有，解得c=3，即设直线关于点对称直线方程为.故D错误. 故选：AB 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 【答案】6x－8y＋1＝0 【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案. 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b 取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b＝. ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0 【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用. 4．（23-24高一·全国·单元测试）已知直线l: . (1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q； (2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程． 【答案】(1)Q (2)x－2y＋10＝0 【分析】（1）利用PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上列方程求出Q； （2）在直线l上任取一点，如M（0，-1)，求出点M关于点（2， 3)对称的点N（4， 7)．利用平行，求出斜率，即可求出所求的直线方程. 【详解】（1）设Q（x0， y0)． 由于PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上， 则，解得，所以Q. （2）在直线l上任取一点，如M（0， －1). 设点M关于点（2， 3)对称的点为N（x， y)， 所以，解得：，所以N（4， 7) 因为所求直线与l平行，所以, 所以所求的直线方程为，即x－2y＋10＝0. 【拓展训练三 直线关于直线的对称问题】 【例1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解. （2）求得点关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解. 【详解】（1）因为直线, 所以，即, 因为，所以，即， 从而直线的方程为：即; （2）设点关于直线的对称点为， ，解得：， 入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为， 即. 1．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 2．（多选）（23-24高二上·山东济南·期末）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】AD 【分析】根据入射光线上的点关于直线的对称点一定在反射光线上，即可求解. 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则整理得， 解得或. 故选：AD. 3．（2024高二上·江苏·专题练习）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意，利用入射光线与反射光线的关系，用表示t的值，由此可得关于的不等式，解可得答案． 【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点， 则， 有，则，， ，， ，， 即， ，解得. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】法一，联立方程解出和的交点坐标，直线也过该点，在直线上取一点，求出点M关于直线l的对称点坐标，由两点式可得到直线的方程；法二，联立方程解出和的交点坐标，设直线的斜率为，由点斜式设出直线的方程，在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等，求出，即可求得直线的方程；法三，由于对称轴的斜率为，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直线的方程. 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 【点睛】方法点睛：解法三，凡对称轴方程的斜率为，均可用代入法．如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，只能用上述的解法一和解法二． 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．3 B． C．3或-6 D．3或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得或3. 故选：D 3．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离相等可得答案． 【详解】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等， 所以 ． 即： ， 化简得：． 故选：． 4．（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设出直线方程，根据平行线间的距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线关于原点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程. 【详解】点在直线上，则在所求直线上 所求直线的斜率，则所求直线方程为 故选：A 6．（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知直线经过点，且一个法向量为，若点，到的距离相等，则实数的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分直线和直线与直线相交两种情况求解即可． 【详解】由直线经过点，且一个法向量为，可得， 当直线时，则，即； 当直线与直线相交时，则，在直线的两侧， 则，解得或． 故选：AC． 7．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 【答案】BC 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D. 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B正确； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称的点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D错误； 故选：BC. 8．（多选）（22-23高二下·甘肃临夏·阶段练习）已知直线与直线平行，且与的距离是，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，再利用平行间距离列式计算作答. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 于是，解得或， 所以直线的方程为或，AD正确，BC错误. 故选：AD 9．（多选）（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 【答案】BC 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即关于的对称点为，且， 所以，当三点共线时取等号， 故BC选项符合题意， 故选：BC 10．（多选）（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．过点的直线的倾斜角为 B．直线与直线之间的距离为 C．与关于y轴对称 D．已知两点，过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 【答案】ABD 【分析】求出过点的直线的倾斜角可判断A；求出直线与直线之间的距离可判B；求出直线关于y轴对称直线方程可判断C；求出过点的直线l与线段有公共点的斜率的取值范围可判断D. 【详解】对于A，设过点的直线的倾斜角为，则， 且斜率为，由可得，故A错误； 对于B，可化为，所以直线与直线之间的距离为，故错误； 对于C，直线与轴的交点为，且直线的斜率为，所以直线关于轴对称的直线的斜率为，由点斜式方程可得直线关于与轴对称的直线方程为，即为，故正确； 对于D，如下图，过点的直线l与线段有公共点，直线的斜率为， 直线的斜率为，则直线l的斜率的取值范围是，故错误. 故选：ABD. 11．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】本题利用定点到定直线的距离为求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 12．（2023高三·全国·专题练习）已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是 ． 【答案】 【解析】由已知得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，建立方程组，求得k，b,从而可求得直线在x轴上的截距. 【详解】由题意得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段A B的中点在直线y＝kx＋b上， 故解得k＝－，b＝， 所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 14．（23-24高一下·天津和平·期末）已知点和点，点在轴上，若的值最小，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】作出图形，作点关于轴的对称点，由对称性可知，结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值，并求出直线的方程，与轴方程联立，即可求出点的坐标. 【详解】如下图所示，作点关于轴的对称点，由对称性可知， 则， 当且仅当、、三点共线时，的值最小， 直线的斜率为，直线的方程为，即， 联立，解得，因此，点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用折线段长的最小值求点的坐标，涉及两点关于直线对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 15．（22-23高二上·全国·课后作业）已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为 ，此时点的坐标为 . 【答案】 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知当且仅当、、三点共线时，取得最小值为，求出直线的方程，在直线的方程中，令可求得点的坐标. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，由对称性可知， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 直线的斜率为，直线的方程为，即， 联立，可得，即点， 故当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：；. 16．（24-25高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，求： (1)边上中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）求得的中点坐标，再由两点坐标即可得出中线所在直线的方程； （2）根据两点间距离公式以及点到直线距离求得的面积，再由等面积法可得三角形的面积. 【详解】（1）根据题意可知的中点坐标为，由可得； 所以中线所在直线的方程为，即； （2）易知， 点到直线的距离为； 所以的面积为； 即三角形的面积为. 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. （2）因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 18．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据直线上的两点求出斜率，即可得出答案； （2）设出直线的方程，代入点的坐标，求出方程.根据两条平行直线之间的距离公式，列出方程，即可得出答案. 【详解】（1）由条件可知，直线过点和， 所以直线的斜率 所以所求直线的方程为，即 （2）设所求的直线的方程为 则有，得，即直线的方程为 ∵与直线间的距离为， ∴，整理可得. 又，∴ 19．（23-24高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 20．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4点、线间的对称关系重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求点到直线的距离 题型二 直线围成图形的面积问题 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 求到两点距离相等的直线方程 题型五 求点关于直线的对称点 题型六 求两点的对称轴 题型七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 题型九 求平行线间的距离 题型十 由距离求已知直线的平行线 题型十一 求直线关于点的对称直线 题型十二 将军饮马问题求最值 题型十三 直线关于直线对称问题 拓展训练一 点关于点的对称问题 拓展训练二 直线关于点的对称问题 拓展训练三 直线关于直线的对称问题 知识点一：点关于点的对称 1．点关于点的对称 【即时训练】 1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 知识点二：直线关于点的对称 1．直线关于点的对称 【即时训练】 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 知识点三：点关于直线的对称 1．两点关于某直线对称 (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 【即时训练】 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 知识点四：直线关于直线的对称 【即时训练】 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 【经典例题一 求点到直线的距离】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）在边长为1的正方体中，是线段上一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）点到直线的距离为 4．（23-24高二上·上海·期末）已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程. (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程. 【经典例题二 直线围成图形的面积问题】 【例1】（2023高二·全国·竞赛）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（22-23高二上·福建福州·期末）已知平行四边形的三个顶点坐标为、、. (1)求所在的直线方程； (2)求平行四边形的面积. 1．（23-24高二·江苏·专题练习）直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西太原·阶段练习）直线过点,则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ . 4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）中，顶点、，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积． 【经典例题三 已知点到直线距离求参数】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，两点到直线：的距离相等，则（   ）. A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 4．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【经典例题四 求到两点距离相等的直线方程】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程． 1．（23-24吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知两点，到直线的距离相等，则m的值为 A．或1 B．或1 C．或 D．或 3．（22-23高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是 . 4．（23-24高一上·河南焦作·期末）分别求出符合下列条件的直线方程： （Ⅰ）经过点但不过坐标原点，且在轴上的截距等于在轴上截距的3倍； （Ⅱ）经过直线与直线的交点，且与点，等距离. 【经典例题五 求点关于直线的对称点】 【例1】（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）若点关于直线对称的点是，求a、b的值． 1．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·山东·期中）在平面直角坐标系中，第一象限内的动点，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知关于直线的对称点为，求点的坐标． 【经典例题六 求两点的对称轴】 【例1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·单元测试）点与点)关于直线对称，则直线的方程为 ． 1．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（    ） A．8 B．-8 C．4 D．-4 3．（23-24高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 4．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【经典例题七 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 【例1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·全国·课后作业）光线从点射出，到直线上的B点后被直线反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点，求所在直线的方程. 1．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山东泰安·期中）从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 4．（23-24高二·重庆万州·期中）已知直线，求： (1)点P（4,5）关于l的对称点； (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程. 【经典例题八 坐标法的应用——点到直线的距离】 【例1】（23-24江西九江·模拟预测）与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）在中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 1．（23-24高一·全国·课后作业）在圆上的所有点中，到直线的距离最大的点的坐标为（　） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·单元测试）设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x2＋y2的最小值和最大值分别为(　　) A． ，1 B．0,1 C．0， D． ，2 3．（23-24高一下·山东潍坊·开学考试）已知点在直线上,则的最小值为 . 4．（22-23高二·全国·课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【经典例题九 求平行线间的距离】 【例1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【例2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若与互相平行，求与间的距离． 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 【经典例题十 由距离求已知直线的平行线】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【例2】（22-23高二上·江西南昌·期中）已知直线，试求： (1)与直线的距离为的直线的方程； (2)点关于直线的对称点的坐标． 1．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（22-23高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）过点的直线与过点的直线平行，且它们之间的距离为，求直线和的方程． 【经典例题十一 求直线关于点的对称直线】 【例1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 1．（22-23高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 . 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，直线：. （1）求直线关于点对称的直线方程； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标. 【经典例题十二 将军饮马问题求最值】 【例1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【例2】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知，求的最小值． 1．（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北唐山·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点是直线上一点，则的最小值为 ． 4．（23-24高二·全国·单元测试）如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元） （参考数据：，，，） 【经典例题十三 直线关于直线对称问题】 【例1】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·上海·课后作业）试求直线关于直线对称的直线方程. 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 【拓展训练一 点关于点的对称问题】 【例1】（2025高一下·广东潮州·竞赛）将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）已知直线与交点为P，直线． (1)求过点P且倾斜角为的直线方程； (2)若点P关于直线的对称点在x轴上，求实数k的值 1．（23-24高一·云南普洱·阶段练习）将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·单元测试）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为 .    4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【拓展训练二 直线关于点的对称问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 B．过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有3条 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称直线方程为 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 4．（23-24高一·全国·单元测试）已知直线l: . (1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q； (2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程． 【拓展训练三 直线关于直线的对称问题】 【例1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 1．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·山东济南·期末）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为（    ） A．6 B． C．2 D． 3．（2024高二上·江苏·专题练习）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    4．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．3 B． C．3或-6 D．3或 3．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线关于原点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知直线经过点，且一个法向量为，若点，到的距离相等，则实数的可能值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 8．（多选）（22-23高二下·甘肃临夏·阶段练习）已知直线与直线平行，且与的距离是，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 10．（多选）（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．过点的直线的倾斜角为 B．直线与直线之间的距离为 C．与关于y轴对称 D．已知两点，过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 11．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 12．（2023高三·全国·专题练习）已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是 ． 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 14．（23-24高一下·天津和平·期末）已知点和点，点在轴上，若的值最小，则点的坐标为 . 15．（22-23高二上·全国·课后作业）已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为 ，此时点的坐标为 . 16．（24-25高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，求： (1)边上中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积． 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 18．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 19．（23-24高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 20．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $