第03讲 直线方程的综合应用问题（思维导图+5大知识点+10大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义以思维导图系统梳理直线方程知识体系，通过表格对比直线方程五种形式的适用范围与几何意义，将倾斜角斜率、平行垂直条件、距离公式与对称等知识点按逻辑关系串联，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“题型归纳举一反三”设计，如对称问题分点线对称等类型，结合例题与变式题培养逻辑推理能力，综合应用题型如光线反射问题强化数学建模意识，过关测试覆盖不同层次，助力学生自主复习与教师精准教学。

第03讲 直线方程的综合应用问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：倾斜角和斜率 4 知识点二：两条直线的平行与垂直 4 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 4 知识点四：直线的交点 5 知识点五：距离公式与对称 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：倾斜角与斜率 7 题型二：直线与线段的相交问题 7 题型三：两直线平行与垂直问题 8 题型四：求直线方程 8 题型五：直线与坐标轴围成三角形问题 9 题型六：直线过定点问题 10 题型七：距离公式的简单应用 10 题型八：对称问题 11 题型九：两线段和与差的最值问题 12 题型十：直线方程的综合应用 12 05 过关测试 14 知识点一：倾斜角和斜率 （1）直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定． （2）倾斜角α的取值范围：．当直线l与x轴垂直时，． （3）直线的斜率： 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 ①当直线l与x轴平行或重合时，，； ②当直线l与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在． （4）直线的斜率公式： 给定两点，用两点的坐标来表示直线的斜率： 知识点二：两条直线的平行与垂直 （1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果，那么一定有 （2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线 知识点四：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点五：距离公式与对称 1、两点间的距离公式 两点，间的距离公式为． 2、点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 3、两平行线间的距离 直线与直线的距离为． 4、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 5、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 6、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 7、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 8、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 题型一：倾斜角与斜率 【例1】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·新疆喀什·期末）过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：直线与线段的相交问题 【例2】（2025·高二·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高二·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三：两直线平行与垂直问题 【例3】（2025·高二·天津·期中）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2025·高二·北京昌平·期末）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2025·高二·广东·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【变式3-3】（2025·高二·湖北十堰·期末）已知直线与直线，若，则（    ） A． B． C．或 D． 题型四：求直线方程 【例4】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【变式4-1】（2025·高一·陕西渭南·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 【变式4-2】（2025·高二·安徽蚌埠·期末）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 【变式4-3】（2025·高二·湖北武汉·月考）已知，，的平分线所在的直线的方程为． (1)求的中垂线的一般方程； (2)求直线的一般方程． 题型五：直线与坐标轴围成三角形问题 【例5】（2025·高二·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【变式5-1】（2025·高二·江苏南通·月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【变式5-2】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【变式5-3】（2025·高二·黑龙江·期末）已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 题型六：直线过定点问题 【例6】（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【变式6-1】（2025·高二·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【变式6-3】（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型七：距离公式的简单应用 【例7】（2025·高二·上海崇明·期末）曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 【变式7-1】（2025·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【变式7-2】（2025·高二·江苏淮安·月考）已知直线过点，且点到直线的距离相等，写出满足条件的一条直线的方程 . 【变式7-3】（2025·高二·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 题型八：对称问题 【例8】已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【变式8-1】已知直线l：3x－y＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点； (2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程； (3)直线l关于(1,2)的对称直线． 【变式8-2】（2025·高二·河南南阳·月考）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【变式8-3】（2025·高一·四川自贡·月考）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 题型九：两线段和与差的最值问题 【例9】（2025·高二·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【变式9-1】（2025·高二·江苏盐城·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·高二·江苏盐城·月考）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式9-3】（2025·高三·辽宁·月考）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型十：直线方程的综合应用 【例10】（2025·高二·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【变式10-1】（2025·高二·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【变式10-2】（2025·高二·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【变式10-3】（2025·高二·湖南常德·月考）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)若的面积为，求的表达式； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 1．（2025·高二·北京大兴·期中）已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（   ） A．直线过的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为2 D．直线的一个方向向量的坐标是 2．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·高二·北京·月考）已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 5．（2025·高二·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（9-10高一下·广东河源·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A．2 B．6 C．3 D．2 7．（2025·高二·云南昆明·月考）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2025·高二·云南文山·月考）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·全国·期末）已知，，，且四边形是平行四边形，则下列说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．是直线的一个方向向量 C．边的垂直平分线与直线交于点 D．四边形的面积为3 10．（多选题）（2025·高二·山东泰安·期末）下列结论正确的是（   ） A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 11．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是 . 12．（2025·高二·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 13．（2025·高二·陕西西安·月考）（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 14．（2025·高二·陕西渭南·月考）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 15．（2025·高一·福建莆田·月考）已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的一般式方程． 16．（2025·高二·山西晋中·月考）已知菱形的中心为点边所在直线的方程是，对角线所在直线的方程是. (1)求对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程. 17．（2025·高二·山西太原·月考）（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长． 18．（2025·高二·全国·单元测试）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程． (2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直线方程的综合应用问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：倾斜角和斜率 4 知识点二：两条直线的平行与垂直 4 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 4 知识点四：直线的交点 5 知识点五：距离公式与对称 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：倾斜角与斜率 7 题型二：直线与线段的相交问题 8 题型三：两直线平行与垂直问题 10 题型四：求直线方程 12 题型五：直线与坐标轴围成三角形问题 14 题型六：直线过定点问题 16 题型七：距离公式的简单应用 17 题型八：对称问题 19 题型九：两线段和与差的最值问题 21 题型十：直线方程的综合应用 24 05 过关测试 29 知识点一：倾斜角和斜率 （1）直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定． （2）倾斜角α的取值范围：．当直线l与x轴垂直时，． （3）直线的斜率： 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 ①当直线l与x轴平行或重合时，，； ②当直线l与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在． （4）直线的斜率公式： 给定两点，用两点的坐标来表示直线的斜率： 知识点二：两条直线的平行与垂直 （1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果，那么一定有 （2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线 知识点四：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点五：距离公式与对称 1、两点间的距离公式 两点，间的距离公式为． 2、点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 3、两平行线间的距离 直线与直线的距离为． 4、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 5、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 6、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 7、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 8、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 题型一：倾斜角与斜率 【例1】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 【变式1-1】（2025·高二·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 【变式1-2】（2025·高二·新疆喀什·期末）过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高二·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 题型二：直线与线段的相交问题 【例2】（2025·高二·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 【变式2-1】（2025·高二·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 【变式2-2】（2025·高二·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运用两点间的斜率公式，，， 过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示， 直线斜率的取值范围是. 故选：B. 【变式2-3】（2025·高二·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线l经过点，且与线段没有公共点， 所以，或， 即或， 因为，所以， 故直线l的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 题型三：两直线平行与垂直问题 【例3】（2025·高二·天津·期中）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 【变式3-1】（2025·高二·北京昌平·期末）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，， 若，则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式3-2】（2025·高二·广东·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 【变式3-3】（2025·高二·湖北十堰·期末）已知直线与直线，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 题型四：求直线方程 【例4】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【解析】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2） 如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 【变式4-1】（2025·高一·陕西渭南·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 【解析】（1），， 直线AB的方程为， 化简得； （2）直线AB的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 【变式4-2】（2025·高二·安徽蚌埠·期末）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 【解析】（1）中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般方程为. （2）由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即 联立和方程，解得垂足. 【变式4-3】（2025·高二·湖北武汉·月考）已知，，的平分线所在的直线的方程为． (1)求的中垂线的一般方程； (2)求直线的一般方程． 【解析】（1）的中点坐标为， 又，故的中垂线斜率为4， 故的中垂线方程为，即． （2）由对称性可知，关于的对称点在直线上， 故，解得，故， 故直线的方程为，即． 题型五：直线与坐标轴围成三角形问题 【例5】（2025·高二·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【解析】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 【变式5-1】（2025·高二·江苏南通·月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【解析】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 【变式5-2】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）由题意可得. （2）在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 【变式5-3】（2025·高二·黑龙江·期末）已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 【解析】（1）当直线的截距为时，则 当截距不为时，设直线l的方程为， 把点代入可得，解得， 故直线l的方程为或. （2）设直线l的方程为，把点P代入可得， 则，即，当，即，时取“” 故， 所以面积的最小值为. 题型六：直线过定点问题 【例6】（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【解析】直线过定点，直线，即过定点， 又，即直线与直线垂直， 因此，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为5. 故选：C 【变式6-1】（2025·高二·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 【变式6-2】（2025·高二·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【解析】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 【变式6-3】（2025·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 题型七：距离公式的简单应用 【例7】（2025·高二·上海崇明·期末）曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 【答案】 【解析】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 【变式7-1】（2025·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 【变式7-2】（2025·高二·江苏淮安·月考）已知直线过点，且点到直线的距离相等，写出满足条件的一条直线的方程 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】当直线与平行时，因为，可得， 所以直线的方程，即； 当直线过线段的中点时，因为，则的中点为， 可得，所以直线的方程，即， 综上可得，直线的方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式7-3】（2025·高二·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】 【解析】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 题型八：对称问题 【例8】已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【解析】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 【变式8-1】已知直线l：3x－y＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点； (2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程； (3)直线l关于(1,2)的对称直线． 【解析】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)， 因为kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.（1） 又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上， 所以3×＋3＝0. （2） 由（1）（2）得 把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7， 所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)． (2)用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y， 得关于l对称的直线方程为， 化简得7x＋y＋22＝0. (3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)， 所以，x′＝2，，y′＝1，所以M′(2,1)． l关于(1,2)的对称直线平行于l，所以k＝3， 所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)， 即3x－y－5＝0. 【变式8-2】（2025·高二·河南南阳·月考）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【解析】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 【变式8-3】（2025·高一·四川自贡·月考）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【解析】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 题型九：两线段和与差的最值问题 【例9】（2025·高二·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示： 当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 【变式9-1】（2025·高二·江苏盐城·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为． 故选：A. 【变式9-2】（2025·高二·江苏盐城·月考）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 【变式9-3】（2025·高三·辽宁·月考）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 题型十：直线方程的综合应用 【例10】（2025·高二·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【解析】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 【变式10-1】（2025·高二·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【解析】（1） 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点         设，则， 故则， 解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，             综上可得.        法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③     设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 【变式10-2】（2025·高二·广东·期中）已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 【解析】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. （2）（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得，故始终在直线上. （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 【变式10-3】（2025·高二·湖南常德·月考）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)若的面积为，求的表达式； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． 因为，所以． （2）由已知， 可得直线方程为，直线方程为， 联立方程组，解得， 又由，解得， 由两点距离公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且，所以， 可得的最大值为，所以实数的取值范围是． 1．（2025·高二·北京大兴·期中）已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（   ） A．直线过的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为2 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】C 【解析】的斜率为，故B正确； 则直线的一个方向向量的坐标是，故D正确； 因为与关于直线l对称，所以的中点坐标为一定在直线上，故A正确； 因为直线与直线垂直，所以直线斜率为，故C错误. 故选：C. 2．（2025·高二·湖北武汉·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（2025·高二·北京·月考）已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得直线方程为，变形为， 可知直线过定点， 由可知， 当直线上存在点满足时，即直线与线段有交点， 如图所示，， 又因为直线的斜率不为0， 所以直线斜率在， 直线倾斜角的范围为. 故选：D. 4．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 【答案】A 【解析】当或时两直线不平行， 当且时， 因为， 所以， 故选:A． 5．（2025·高二·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，，可得中点的坐标为， 所以的垂直平分线所在直线的斜率， 所以可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得， 即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 6．（9-10高一下·广东河源·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 . 故选：A. 7．（2025·高二·云南昆明·月考）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一： ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时与直线的交点分别为， 所截得的线段中点为，不是点，故不符合题意，舍去； ②当直线的斜率存在时，设直线且， 由可得，， 由可得， 由中点坐标公式可得，解得， 所以直线的方程为，整理得. 方法二： 设直线与直线交于点， 直线与直线交于点. 因为点为的中点，所以，即. 所以，解得. 所以直线的方程为，整理得. 故选：B 8．（多选题）（2025·高二·云南文山·月考）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以， 故距离可能等于. 故选：AB. 9．（多选题）（2025·高二·全国·期末）已知，，，且四边形是平行四边形，则下列说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．是直线的一个方向向量 C．边的垂直平分线与直线交于点 D．四边形的面积为3 【答案】ABC 【解析】对于A，设，在中，，则， 解得，即，直线的方程为，即，A正确； 对于B，直线斜率，则是直线的一个方向向量，B正确； 对于C，BC的中点坐标为，直线斜率， 边BC的垂直平分线方程为，即，由，得点，C正确； 对于D，点到直线的距离，， 因此的面积为，D错误. 故选：ABC 10．（多选题）（2025·高二·山东泰安·期末）下列结论正确的是（   ） A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 【答案】BD 【解析】对于A选项，当时，过、两点的直线方程不能用表示，A错； 对于B选项，设点关于直线的对称点为， 由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上， 所以，，解得， 所以，点关于直线的对称点为，B对； 对于C选项，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得， 此时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 所以，，解得，此时，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，C错； 对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对. 故选：BD. 11．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是 . 【答案】5 【解析】 如图，设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，即， 则直线的方程为，联立解得，即交点为， 此时，的值最小，最小值为. 故答案为：5. 12．（2025·高二·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】 【解析】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即. 故答案为：. 13．（2025·高二·陕西西安·月考）（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 【解析】（1）由题知，，即，解得； （2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在， 于是，由可知， 整理可得，即， 则， 当，即取得等号， 即最小值是. 14．（2025·高二·陕西渭南·月考）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【解析】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以，又， 所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且，又， 所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 15．（2025·高一·福建莆田·月考）已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的一般式方程． 【解析】（1）设，AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为， ∴，解得， ∴． （2）设，则，解得， ∴，则． ∴直线BC的方程为，即为. 16．（2025·高二·山西晋中·月考）已知菱形的中心为点边所在直线的方程是，对角线所在直线的方程是. (1)求对角线所在直线的方程； (2)求边所在直线的方程. 【解析】（1）因为四边形为菱形，则的对角线互相垂直，即， 因为对角线所在直线的方程是，可设， 把代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为. （2）联立方程组，解得，即， 设点的坐标为， 因为，且为的中点，可得且， 解得，即， 再联立方程组，解得，即， 所以边所在的直线方程为，即. 17．（2025·高二·山西太原·月考）（1）已知两直线.求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线的方程为．直线交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长． 【解析】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）由可得，， 令，解得，所以直线过定点． 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 18．（2025·高二·全国·单元测试）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程． (2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 转化为斜截式，其斜率为， 所以直线的斜率为， 又的顶点，所以直线的方程为， 即． （2）若选①：角的平分线所在的直线方程为， 由解得，所以点． 设点 关于的对称点， 则 解得所以点， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由解得所以点． 设点，则的中点在直线上， 所以，即， 所以点在直线上， 因为边上的高所在的直线方程为且边上的高一定过点 所以点在直线上， 由解得即点， 所以， 所以直线的方程为，即． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $