精品解析：江苏省海安市某校2025-2026学年九年级上学期第9月检测数学试卷

九年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知是关于x的二次函数，那么m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 解得：． 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 3. 若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线与x轴的公共点的纵坐标都为0，可判定这两点是抛物线上的一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点为和，即这两个点关于抛物线的对称轴对称 ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 4. 若抛物线经过点，则的值是（ ） A. －7 B. －1 C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的坐标与方程，解题的关键是通过代入点的坐标建立方程，直接化简即可求解．将点代入抛物线方程，解关于和的方程，即可直接求出的值。 【详解】解：将点代入抛物线方程，得：， 化简得：即：， 故选：C． 5. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 6. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时的取值范围即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 由图可知：则不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题． 8. 对于二次函数，下列说法正确的是( ) A. 当，随的增大而减小 B. 当时， 有最大值 C. 图像的顶点 D. 图像与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 9. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义． 根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可． 【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选：C 10. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．设，而，即函数向上平移1个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解． 【详解】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标， 而， 即函数向上平移1个单位得到函数， 则两个函数的图象如图所示， 从图象看，， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线与轴交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标问题，熟练掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．令，求得y的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则, ∴抛物线与轴交点坐标是． 故答案为：． 12. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x轴交点问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意不要漏掉．根据二次函数的定义可知，然后由题意令，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， 令，则， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 13. 已知二次函数的图象的顶点在轴上，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在轴上时，其函数关系式为．根据题意可知，解之即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点在轴上 解得： 故答案为：1． 14. 抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及抛物线的对称性，根据抛物线解析式得到其对称轴，再结合抛物线的对称性，即可得到它与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为， 其对称轴为直线， 它与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为：． 15. 若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握该知识点是解题的关键．首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性，由此即可求解． 【详解】解：，， 开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， ， 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象上有两个点，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，由，，可知分①当时，，此时，计算求解即可；②当时，此时；然后进行作答即可． 【详解】解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵，， ∴①当，即时， 当时，， 解得； ②当时，； 综上所述，的取值范围是， 故答案为：． 17. 已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及涉及对称性．先根据抛物线的对称性得到，则，然后把代入可得到的值． 【详解】解：∵点，是抛物线上不同的两点， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵点，即也在抛物线上， ∴． 故答案为：2025． 18. 已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时， ， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点． （1）当为何值时，随着的增大而增大； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图像与系数的关系、抛物线的顶点坐标及函数的增减性是解题的关键． （1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，据此判断即可； （2）根据抛物线解析式求得点、的坐标，然后得到，最后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大． 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∵该抛物线交轴于点， ∴令时，，即， ∴， ∴． 20. 如图，已知抛物线与轴交于点两点，过点作轴的平行线交抛物线于两点． （1）求的长； （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的特征、二次函数与不等式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据题意可知，对于抛物线，令，并解得的值，即可确定点的坐标，然后计算的长； （2）结合函数图像以及点的坐标，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵轴，且经过点， ∴， 对于抛物线，令， 可得，解得，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，，， ∴结合图像可知，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 21. 在二次函数中． （1）若它的图象过点，求t的值， （2）当时，y的最小值为2，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，二次函数的最值，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． （1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的值即可得． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得； 【小问2详解】 抛物线对称轴为． 解：若，当时，函数值最小， 则， 解得． ， ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，． 22. 某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角（两边足够长）围一个矩形花园，并在上留宽为的门．同学们购买了长的篱笆，设，花园的面积为．完成下列作答． （1）当时，求的值． （2）如图，点处有一棵树与墙的距离是，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1）的值为12或24 （2）花园面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出，根据矩形面积得到，把代入得到，解方程即可； （2）将变形为，利用二次函数求最值． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴． 由题可知，， ∴． ∴． 当时，， 解得，． 答：的值为12或24． 【小问2详解】 解：将变形为． 由函数表达式可知，关于的二次函数图象开口向下，当时，随的增大而减小． ∵， ∴当时最大． 把代入得， 答：花园面积的最大值为． 23. 已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）． （1）求抛物线的解析式； （2）若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象与性质，解不等式组，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键． （1）利用二次函数的顶点式解题即可； （2）先求出其开口方向以及对称轴，从而知道时，其函数值与时相等，从而推出，从而解得答案． 【小问1详解】 解： 不妨设抛物线为：，代入点， 那么有， 解得， ； 【小问2详解】 解： ， 对称轴为，开口向下， 与关于对称， 时，其函数值与时相等， 当，时，均有， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知是关于x的二次函数，那么m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 若抛物线经过点，则的值是（ ） A. －7 B. －1 C. 1 D. 7 5. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 对于二次函数，下列说法正确的是( ) A. 当，随的增大而减小 B. 当时， 有最大值 C. 图像的顶点 D. 图像与x轴有两个交点 9. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 10. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 抛物线与轴交点坐标是_______． 12. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 13. 已知二次函数的图象的顶点在轴上，则的值为______． 14. 抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为_________． 15. 若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为______． 16. 已知二次函数的图象上有两个点，若，则的取值范围是______． 17. 已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为_______． 18. 已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点． （1）当为何值时，随着的增大而增大； （2）求的面积． 20. 如图，已知抛物线与轴交于点两点，过点作轴的平行线交抛物线于两点． （1）求的长； （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 21. 在二次函数中． （1）若它的图象过点，求t的值， （2）当时，y的最小值为2，求t的值． 22. 某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角（两边足够长）围一个矩形花园，并在上留宽为的门．同学们购买了长的篱笆，设，花园的面积为．完成下列作答． （1）当时，求的值． （2）如图，点处有一棵树与墙的距离是，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 23. 已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）． （1）求抛物线的解析式； （2）若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $