精品解析:2025年江苏省海安市某校九年级中考考前热身数学试卷
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内容正文:
2025年考前热身练习
一.选择题(共10小题)
1. 的倒数是( )
A. 2025 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数,理解倒数的概念是解题的关键.倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数,根据倒数的定义回答即可.
【详解】解:∵ 一个数 的倒数为 ,
∴ 的倒数为 = ,
故选 :B
2. 人体中红细胞的直径约为,将数0.0000077用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】解:0.0000077用科学记数法表示为,故C正确.
故选:C.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3. 数轴上表示、两数的点分别在原点左、右两侧,下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点表示数,有理数的加法、乘法和除法,属于基础知识,解题的关键是根据在数轴上的位置确定数的符号.根据点在数轴上的位置判断字母的符号,从而判断各选项.
【详解】解:∵a在原点的左侧,b在原点的右侧,
∴,
∴,,,
两数的绝对值未知,
∴的符号无法确定,
故选:C.
4. 提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”,以下有关交通安全的标识图,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念,正确掌握相关定义是解题关键.根据中心对称图形与轴对称图形的概念,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,进行判断即可.
【详解】A.既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
B.是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
C.不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不符合题意;
D.不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不符合题意;
故选:B.
5. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据根式的性质及同底数幂乘除法法则直接逐个判断即可得到答案;
【详解】解:由题意可得,
,故A不符合题意,
,故B不符合题意,
,故C不符合题意,
,故D不符合题意,
故选D.
【点睛】本题考查根式的性质及同底数幂乘除法法则,解题的关键是熟练掌握,,.
6. 如图所示几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从正面看到的平面图形是主视图,根据主视图的含义可得答案.
【详解】解:如图所示的几何体的主视图如下:
故选:D.
【点睛】此题主要考查了三视图;用到的知识点为:主视图,左视图,俯视图分别是从物体的正面,左面,上面看得到的图形.
7. 已知一组数据,,,,的平均数是2,方差是3,那么另一组数据,,,,的平均数和方差分别是( )
A. 2,3 B. 2,9 C. 4,18 D. 4,27
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差的知识,说明了当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘以一个数(或除以一个数)时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍,据此求解即可.
【详解】解:数据,,,,的平均数是2,方差是3,
数据,,,,的平均数为:,方差为:.
故选:D.
8. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10km,则提前1小时到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是x km/h,根据题意所列方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这辆汽车原计划的速度是x km/h,,则实际速度为km/h,根据题意“提前1小时到达目的地”,列分式方程即可求解.
【详解】解:设这辆汽车原计划的速度是x km/h,则实际速度为km/h,
根据题意所列方程是
故选C
【点睛】本题考查了列分式方程,理解题意列出方程是解题的关键.
9. 如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,自行车右边是它的部分示意图,现测得,,,则点A到的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形,三角形内角和定理,过A作,根据三角形内角和定理得到,结合正弦的定义求解即可得到答案
【详解】解:过A作,
,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
故选:A.
10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点,是函数图象上的两点,过点B作x轴的垂线与射线交于点C.若,则k的值为( )
A. 4 B. 6 C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,解题的关键是根据根据,得,求出.作轴于点,设直线与轴交于点,根据,得,所以,即可得到点点,,代入即可求出答案.
【详解】解:如图,作轴于点,设直线与轴交于点,
点,,,
点,,,
∵轴,轴,
∴,
∴,
∴,
∴,
,
∴点,,
点A,是函数图象上的两点,
∴,
解得,
∴
故选:B.
二.填空题(共8小题)
11. 把多项式分解因式的结果是_______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法或公式法求因式分解,掌握提公因式或公式法分解因式是解题的关键.
【详解】解:
,
故答案为: .
12. 计算:的结果是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方逆用,二次根式的乘法运算以及平方差公式,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.把原式变形为,逆用积的乘方计算即可.
【详解】解:
,
故答案为:.
13. 将半径为的半圆围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆半径是_________.
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式,理解扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键.根据弧长等于圆锥底面圆的周长求解即可.
【详解】解:设圆锥底面圆的半径为R,
则
解得:,
故答案为:4.
14. 在平面直角坐标系中,若点,在反比例函数的图象上,则_____ (填“”“”或“”).
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质,根据反比例函数的图象与性质进行判断即可,熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.
【详解】∵,
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,且在每个象限内随的增大而减小,
又∵点,在反比例函数的图象上,且,
∴,
故答案为:.
15. 如图,与是位似图形,点O为位似中心,若,则与的面积比为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出相似比为,再根据位似图形的性质即可得.
【详解】解:,
,
与是位似图形,
与的相似比为,
,
即与的面积比为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了位似图形,熟练掌握位似图形的性质是解题关键.
16. 如图,菱形的边长为4,,分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于两点,直线交于点,连接,则的长为____________.
【答案】
【解析】
【分析】连接BE,由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质,得BE=AE=, 再得∠EBC=90°,利用勾股定理即可求出CE的长度.
【详解】解:连接BE,如图:
由题意可知,MN垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴,则∠AEB=90°,
在等腰直角三角形ABE中,AB=4,
∴BE=AE=,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD∥BC,
∴∠EBC=∠AEB=90°,
在Rt△BCE中,由勾股定理,则
;
故答案为:.
【点睛】本题考查了菱形的性质,垂直平分线的性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确得到∠EBC=∠AEB=90°.
17. 在平面直角坐标系中,一次函数和,无论x取何值始终有,则m的取值范围是 _________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题,熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键.先将两个一次函数整理成一般式,根据无论取何值都有,得出关于的不等式恒成立的条件,进而求解的取值范围.
【详解】解:,.
,
,
整理得.
因为无论取何值,该不等式始终成立,所以一次项系数,即,
此时不等式变为,
,
,
.
故答案为:.
18. 如图,中,,,,以为直径作圆,圆心为,过圆上一点作直线的垂线,垂足为,则的最大值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形,圆的有关计算,勾股定理和等腰直角三角形的性质,利用特殊角度度角的正切值为切入点,构造出一个特殊的度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段,此时点与点重合,进而求出所需要的最大值,解题的关键熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线.
【详解】如图,作,过点作于点,延长交于点,过点作垂足为点,过点作于点,延长交于点,
当点与点重合,点在点处时,取得最大值,
理由:连接,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴或 (舍去),
∴,
∵,
∴,
在上取不同于点的一点,过点作于点,过点作 所在的直线于点,并延长交于点,
∵,,
∴,
则或,
∵,,
∴,,
∴,,
由图可知:,
∴,
∴当点在点处时,取得最大值,最大值为的长,
∵,
∴取得最大值,
故答案为:.
三.解答题(共8小题)
19. 解方程和不等式组:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组,熟练掌握解题步骤是解此题的关键.
(1)根据解分式方程的步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验即可得出答案;
(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
【小问1详解】
解:整理得:,
去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:,
检验,当时,,
是原分式方程的解;
【小问2详解】
解:,
解不等式①得:,
解不等式②得:,
原不等式组的解集为.
20. 育才中学九年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛,对他们进行了1分钟跳绳训练测试,10次测试的成绩如下(单位:次):
甲:186,184,185,191,190,192,196,196,198,202;
乙:180,183,195,198,202,181,195,196,208,182.
为了比较两人的成绩,制作如下统计分析表:
平均数
中位数
众数
方差
甲
192
191.5
a
32.2
乙
192
b
195
87.2
(1)填空:______,______.
(2)根据以上数据,请至少选择两个统计量作为选拔依据,说明应选拔哪位同学参加比赛.
【答案】(1)196,195
(2)
从平均数和方差来看,甲、乙两名同学成绩的平均数相同,甲的方差小于乙的方差,说明甲同学的成绩比乙的成绩稳定,可选拔甲同学参加比赛(答案不唯一).
【解析】
【分析】本题考查了平均数,中位数,方差的意义.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
(1)根据众数和中位数的定义求解可得;
(2)在平均数相等的前提下可从方差或中位数的角度分析求解可得.
【小问1详解】
解:甲10次测试成绩中,196次出现2次,次数最多,
所以众数,
把乙的成绩重新排列为180,181,182,183,195,195,196,198,202,208,
中位数,
故答案为:196,195;
【小问2详解】
略
21. 如图,点在外部,点在边上,交于点,若,,求证:
(1);
(2).
【答案】(1)
证明:,,,
(2)
证明:
,即
又,
()
.
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的推论、全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
(1)通过角的等量代换,结合三角形内角和定理的推论,推导得出.
(2)先证明角相等,再结合已知边相等,利用全等三角形判定定理证明三角形全等,进而得出.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
22. 某博物馆开设了A,B,C三个安检通道.甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆,
(1)甲从A 通道进入博物馆的概率是 ;
(2)求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率.
【答案】(1)
(2)甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为
【解析】
【分析】本题考查的是利用概率的定义求解概率,列表法或树状图法求解概率,熟练掌握概率的定义,以及列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键.
(1)直接利用概率公式求解可得答案;
(2)先列表得出所有等可能结果,从中找出符合条件的结果数,再利用概率公式计算即可.
【小问1详解】
解:进入博物馆总共有三个通道,即三种可能的结果,并且他们发生的可能性相等,
而甲从A 通道进入博物馆是三种可能结果中的一种结果,其概率为:,
故答案为:;
【小问2详解】
根据题意列表如下:
甲
乙
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
总的情况有9种,其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种,
则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ,
答:甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为.
23. 如图,是的直径,为上一点,为弧的中点,过点作于点,交过点的切线于点,交弦于点,连接.
(1)求证:;
(2)若,,求弧的长.
【答案】(1)
证明:连接
∵ 是的切线
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴ ;
(2)
【解析】
【分析】(1)要证,需通过切线性质、弧中点性质以及直角三角形的角的关系,证明.
(2)要求弧的长,先根据和弧中点性质得出相关弧的度数,再结合圆的半径,利用弧长公式计算.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:连接,
∵ 为弧的中点
∴
∵ ,
∴,
∴
∴
∵ 是的直径,
∴ 的半径,
∴ 所对的圆心角
∴弧的长为
【点睛】本题主要考查了圆的切线性质、等腰三角形性质、弧长公式等知识,熟练掌握圆的相关性质和弧长公式是解题的关键.
24. A,B两地相距,一辆快车和一辆慢车分别从A,B两地同时出发相向而行,相遇后两车继续行驶.快车到达B地后立即按原路原速返回,慢车到达A地后停止.快、慢两车离A地的距离,(单位:)与出发时间x(单位:h)之间的函数关系如图所示.
(1)补全与x之间的函数图象;
(2)若慢车的速度为30.
①点P的坐标为 _______;
②快车到达A地前,两车何时相距30?
(3)若慢车在快车返回A地后的0.5h内到达,则慢车速度v的范围是______________.
【答案】(1)
补全与x之间的函数图象如下:
(2)①;②或或或时,两车相距30
(3)
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用;
(1)快车返回A地时,不全图象即可;
(2)①结合图象可求两车出发后相遇,相遇处距A地,即可求解;②可求,当时,由可求解;当时,由可求解;
(3)结合图象可得(),(),即可求解;
理解、的实际意义是解题的关键.
【小问1详解】
解:快车到达B地后立即按原路原速返回,
∴快车返回A地时,
;
【小问2详解】
解:①快车速度为,
,
∴两车出发后相遇,
相遇处距A地,
∴点P的坐标为;
故答案为:;
②根据题意得,
当时,
,
∵两车相距,
,
解得或;
当时,
,
∵两车相距,
,
解得或;
综上所述,或或或时,两车相距;
【小问3详解】
解:,
,
;
故答案为:.
25. 如图,矩形中,,,,分别为,上两个动点,连接,将矩形沿折叠,点,的对应点分别为,.
(1)如图,当点落在边上时,连接.
①求的值;
②若点为的中点,求的长.
(2)如图,若为的中点,,求的值.
【答案】(1)①;②
(2)
【解析】
【分析】(1)①过点作,交于点,交于点,证明四边形为平行四边形,可得,然后求出,证明∽,利用相似三角形的性质解答即可;
②设,则,利用轴对称的性质求出,再在中利用勾股定理解答即可;
(2)过点作于点,证明四边形为矩形,利用勾股定理求出,可得,再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明即可.
【小问1详解】
解:①过点作,交于点,交于点,如图,
四边形为矩形,
∴,
,
四边形为平行四边形,
,
将矩形沿折叠,点,的对应点分别为,,
垂直平分,
,
.
,
.
,
∽,
,
;
②设,则.
点,关于对称,
垂直平分,
.
点为的中点,
,
,
.
在中,
,
,
解得:.
的长为;
【小问2详解】
过点作于点,如图,
为的中点,
.
,
.
四边形为矩形,
,
,
四边形为矩形,
,,.
.
.
.
,
,
,
,
,
,
.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质,折叠的性质,线段垂直平分线的性质,熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
26. 如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与轴交于、两点(点在点的右边),与轴负半轴交于点,且经过点,连接、,已知.
(1)求与的数量关系;
(2)若抛物线对称轴与线段交于点,抛物线顶点为,连接,若,求的值;
(3)连接,将绕平面内的点逆时针旋转后得到对应的,并且点、刚好落在抛物线上,点落在直线上,求的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)根据题意得到,,根据,得到,将点代入即可得到结论;
(2)根据题意,画出示意图,由(1)知,,得抛物线解析式为:,求出,抛物线对称轴为直线,则,,,,,,由,得到,据此建立关于m的方程求解即可;
(3)根据题意画出图形,设抛物线对称轴交于点Q,交x轴于点P,连接,由(2)知.根据逆时针旋转角为可得轴,轴,设点的横坐标为,则点的横坐标设为,点点的横坐标设为,根据横坐标中点在抛物线的对称轴上求出点的坐标,再证明,求出,由,得到,代入抛物线解析式,建立方程求解即可.
【小问1详解】
解:根据题意得:,,
,
,
将点代入,
则,
,
;
【小问2详解】
解:如图,
由(1)知,,
抛物线解析式为:,
令,
,
,
或,
根据题意得:,
抛物线的对称轴为直线,
,
当时,,
,
,,,,
,
,即,
(负值舍去);
【小问3详解】
解:根据题意画出图形,设抛物线对称轴交于点Q,交x轴于点P,连接,
∵将绕平面内点M逆时针旋转后得到对应的,点落在直线上,
∴轴,轴,
由(2)知.
,
点的纵坐标为,点的纵坐标为,点的纵坐标为,
点与点D重合,
,
点与点关于抛物线对称轴对称,
点在抛物线对称轴上,
点的横坐标为,
设,
,
是等腰直角三角形,
,
,
点是的中点,
,
,
,
,
,
由旋转的性质得到,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
抛物线,
将点代入得:,
,即,
解得:或(舍去),
,
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式,旋转的性质,二次函数的图象与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,对称,三角形全等,三角形相似等知识.熟练掌握数形结合的思想是解题的关键.
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2025年考前热身练习
一.选择题(共10小题)
1. 的倒数是( )
A. 2025 B. C. D.
2. 人体中红细胞的直径约为,将数0.0000077用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 数轴上表示、两数的点分别在原点左、右两侧,下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
4. 提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”,以下有关交通安全的标识图,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图所示几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
7. 已知一组数据,,,,的平均数是2,方差是3,那么另一组数据,,,,的平均数和方差分别是( )
A. 2,3 B. 2,9 C. 4,18 D. 4,27
8. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10km,则提前1小时到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是x km/h,根据题意所列方程是( )
A. B.
C. D.
9. 如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,自行车右边是它的部分示意图,现测得,,,则点A到的距离为( )
A. B. C. D.
10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点,是函数图象上的两点,过点B作x轴的垂线与射线交于点C.若,则k的值为( )
A. 4 B. 6 C. D. 8
二.填空题(共8小题)
11. 把多项式分解因式的结果是_______.
12. 计算:的结果是_________.
13. 将半径为的半圆围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆半径是_________.
14. 在平面直角坐标系中,若点,在反比例函数的图象上,则_____ (填“”“”或“”).
15. 如图,与是位似图形,点O为位似中心,若,则与的面积比为___________.
16. 如图,菱形的边长为4,,分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于两点,直线交于点,连接,则的长为____________.
17. 在平面直角坐标系中,一次函数和,无论x取何值始终有,则m的取值范围是 _________.
18. 如图,中,,,,以为直径作圆,圆心为,过圆上一点作直线的垂线,垂足为,则的最大值是_____.
三.解答题(共8小题)
19. 解方程和不等式组:
(1);
(2).
20. 育才中学九年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛,对他们进行了1分钟跳绳训练测试,10次测试的成绩如下(单位:次):
甲:186,184,185,191,190,192,196,196,198,202;
乙:180,183,195,198,202,181,195,196,208,182.
为了比较两人的成绩,制作如下统计分析表:
平均数
中位数
众数
方差
甲
192
191.5
a
32.2
乙
192
b
195
87.2
(1)填空:______,______.
(2)根据以上数据,请至少选择两个统计量作为选拔依据,说明应选拔哪位同学参加比赛.
21. 如图,点在外部,点在边上,交于点,若,,求证:
(1);
(2).
22. 某博物馆开设了A,B,C三个安检通道.甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆,
(1)甲从A 通道进入博物馆的概率是 ;
(2)求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率.
23. 如图,是的直径,为上一点,为弧的中点,过点作于点,交过点的切线于点,交弦于点,连接.
(1)求证:;
(2)若,,求弧的长.
24. A,B两地相距,一辆快车和一辆慢车分别从A,B两地同时出发相向而行,相遇后两车继续行驶.快车到达B地后立即按原路原速返回,慢车到达A地后停止.快、慢两车离A地的距离,(单位:)与出发时间x(单位:h)之间的函数关系如图所示.
(1)补全与x之间的函数图象;
(2)若慢车的速度为30.
①点P的坐标为 _______;
②快车到达A地前,两车何时相距30?
(3)若慢车在快车返回A地后的0.5h内到达,则慢车速度v的范围是______________.
25. 如图,矩形中,,,,分别为,上两个动点,连接,将矩形沿折叠,点,的对应点分别为,.
(1)如图,当点落在边上时,连接.
①求的值;
②若点为的中点,求的长.
(2)如图,若为的中点,,求的值.
26. 如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与轴交于、两点(点在点的右边),与轴负半轴交于点,且经过点,连接、,已知.
(1)求与的数量关系;
(2)若抛物线对称轴与线段交于点,抛物线顶点为,连接,若,求的值;
(3)连接,将绕平面内的点逆时针旋转后得到对应的,并且点、刚好落在抛物线上,点落在直线上,求的坐标.
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