第22章 二次函数单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版九年级上册数学单元测试卷 第22章 二次函数 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到新抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．y有最小值是3 C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（    ）    A． B． C． D． 6．二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 二、选择题（每小题3分，共18分） 7．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线 ． 8．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 9．如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 10．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为 ． 11．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ． 12．如图，O是坐标原点，点，，，在y轴的正半轴上，点， ，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，都是等边三角形，则线段的长是 ． 三、解答题（共84分） 13．（6分）已知二次函数． (1)化成顶点式； (2)二次函数的值可以取到吗？说明理由； (3)求出抛物线与轴、轴交点坐标． 14．（6分）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 15．（6分）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长 (1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？ (2)如何设计可使养鸡场面积达到最大值并求出最大面积． 16．（6分）如图，以储水池的坝顶平台所在直线为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．水池蓄水部分为抛物线 ，平行于x轴的水面到x轴的距离为2米，储水池最低点处水深为3米．背水坡向上有一条抛物线形坡道． (1)求抛物线L的解析式； (2)现对水池蓄水部分进行修建，将抛物线L调整为虚线部分的抛物线，最低点位置不变，求抛物线上水平宽的最大值． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（8分）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 19．（8分）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 20．（8分）某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． (1)写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ (3)当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 21．（9分）已知直线分别交轴、轴于两点，抛物线经过点，和轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值； (3)如图，经过点的直线交抛物线于点，连接分别交轴于点，求的值． 22．（9分）矩形中，，点M为射线上的动点（M与点C不重合）将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与边交于点E，与边交于点F． (1)如图1，若，求的长； (2)当M在边上时，设，，求y与x之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 23．（12分）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，且过点， (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线的图象． ①设为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，再过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级上册数学单元测试卷 第22章 二次函数 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如的函数（a，b，c是常数，），叫做二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到新抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 利用函数图象平移性质，即左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标），平移不改变的值进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度， 得到的解析式为， 故选：B． 3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．y有最小值是3 C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故B错误； 根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误； ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确； 故选：D ． 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，先估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴，可以估算出左侧交点横坐标． 【详解】解：依题意得二次函数的抛物线开口向下，图象的对称轴为， 而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即 又∵对称轴为， 则抛物线与轴的另一个交点在与之间，即一元二次方程的其中一个解的范围是， 故选：B． 6．二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 二、选择题（每小题3分，共18分） 7．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 8．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值较大． 找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可． 【详解】解：由图象交点可得，当时，， 故答案为：． 10．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据函数解析式可得点的坐标，由二次函数图象的对称性，结合的长度，可得点的横坐标，代入解析式，可得点的纵坐标，从而可得，与相加，即可得杯子的高． 【详解】解：∵， ∴， ∵二次函数的图象关于对称，， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，勾股定理，二次函数的性质，将线段和进行转化是解题的关键；根据抛物线的解析式得出坐标，进而可得是等腰直角三角形，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形，得出的坐标，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵对于抛物线，令， 则，即， 解得或，所以．则， 令，则，所以．则， ∵ ∴是等腰直角三角形， 如图，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位， ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值 ∴ 即的最小值为． 12．如图，O是坐标原点，点，，，在y轴的正半轴上，点， ，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，都是等边三角形，则线段的长是 ． 【答案】2550 【分析】设，，，由等边三角形的性质，结合勾股定理可求，，，由点的坐标得，，，将此代入二次函数解析式求出，，，找出规律，即可求解． 【详解】解：如图，分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， ，，都是等边三角形， ，，， ，， ， 同理可求：，， ，，， 点， ，在函数位于第一象限的图象上， ， 解得：，（舍去）， ， 同理可求： ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，勾股定理应用，等边三角形的性质，能利用二次函数合运用勾股定理应用，等边三角形的性质找出规律是解题的关键． 三、解答题（共84分） 13．（6分）已知二次函数． (1)化成顶点式； (2)二次函数的值可以取到吗？说明理由； (3)求出抛物线与轴、轴交点坐标． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、函数值的取值范围以及抛物线与坐标轴交点坐标的求解，准确计算是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，需要通过配方法，将二次函数一般式化为顶点式； （2）先求出二次函数的最小值，再与比较，即可得解； （3）分别令和，求解方程即可． 【详解】（1） ， 二次函数的顶点式为． （2）不能，理由如下： 由（1）可知，二次函数的顶点式为， 二次项系数为， 抛物线开口向上，函数有最小值， 当时，取最小值为， ， 二次函数的值不可以取到． （3）令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为． 14．（6分）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 15．（6分）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长 (1)若养鸡场面积为，求鸡场长和宽各为多少米？ (2)如何设计可使养鸡场面积达到最大值并求出最大面积． 【答案】(1)鸡场长为12米，宽为10米 (2)设计为垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，养鸡场面积取得最大值，且为 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，根据鸡场的面积列出方程，解之即可； （2）设垂直于墙的边长为，养鸡场面积，根据矩形面积公式建立函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为． 由题意可得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意 ， 此时， 答：鸡场长为12米，宽为10米； （2）解：设垂直于墙的边长为，养鸡场面积为， 由题意得， ∵， ∴当时，养鸡场面积取得最大值，且为， 此时平行于墙的边长（米），符合题意， 答：设计为垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，养鸡场面积取得最大值，且为． 16．（6分）如图，以储水池的坝顶平台所在直线为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．水池蓄水部分为抛物线 ，平行于x轴的水面到x轴的距离为2米，储水池最低点处水深为3米．背水坡向上有一条抛物线形坡道． (1)求抛物线L的解析式； (2)现对水池蓄水部分进行修建，将抛物线L调整为虚线部分的抛物线，最低点位置不变，求抛物线上水平宽的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练求得二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的顶点纵坐标为，可设抛物线的解析式为，把代入即可解答； （2）把代入，求得点的坐标，即可求得点关于直线的对称点为，即可解答． 【详解】（1）解：平行于x轴的水面到x轴的距离为2米，储水池最低点处水深为3米， 抛物线的顶点纵坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入， 可得， 解得（负值舍去）， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ， 点关于直线的对称点为， 抛物线上水平宽的最大值为． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）将，，坐标代入解析式，建立方程组，求解即可； （2）过点P作轴交于点N，设P的横坐标为t，则可表示点P和点N的坐标，表示的面积，利用二次函数的性质求出最值； （3）利用平移先求出，联立可求出点E的坐标，然后分情况讨论，当为边时，当为对角线时两种情况，利用点的平移求解即可． 【详解】（1）解：将，，坐标代入解析式， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，点P作轴交于点N，， 设P的横坐标为t， ∴， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线y的解析式为：， ∴抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线， ∴的对称轴为直线，即点F的横坐标为0， 令， 解得， ∴， 由（2）知点P的坐标为， 当以为平行四边形的一条边时：或． ∴或， 解得：或， ∴点Q的坐标分别为或． 当以为平行四边形的对角线时：， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 18．（8分）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； （3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 19．（8分）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 20．（8分）某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段所示． (1)写出每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (2)如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？ (3)当每件玩具的销售单价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)，自变量的取值范围是 (2)50元或80元 (3)当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据总利润单件利润销售量，即可列出方程，即可求解； （3）设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入，得： 解得 ∴y与x之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：由题意，得： ， 解得， 又∵， ∴如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元． （3）解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，由题意，得： ． ∵， ∴w有最大值． ∵， ∴当时，w取得最大值为6250， ∴当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 21．（9分）已知直线分别交轴、轴于两点，抛物线经过点，和轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值； (3)如图，经过点的直线交抛物线于点，连接分别交轴于点，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求得点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可； （）过点作轴，交于点，设，，然后用含的式子表示的长，接下来，利用配方法求得的最大值，从而可求得， 面积最大值； （）先求得点的坐标，然后设直线的解析式为，的解析式为，接下来求得点和点的横坐标，然后设直线的解析式为，把，代入得，将的解析式为与抛物线解析式联立得到关于的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得，最后由的值可得到的值． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴， 把点的坐标代入，得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设，， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 此时 面积最大，最大值为； （3）解：把代入，得，解得，， ∴， 设直线的解析式为，的解析式为， ∴， 解得：或， ∴， 同理：， 设直线的解析式为，把代入，得 ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴． 22．（9分）矩形中，，点M为射线上的动点（M与点C不重合）将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与边交于点E，与边交于点F． (1)如图1，若，求的长； (2)当M在边上时，设，，求y与x之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2) (3)或2或 【分析】（1）设交于点O，根据“角角边”证明，根据对应边相等得出，进而即可求解； （2）设，则，，根据可得，由勾股定理得，代入求解即可； （3）分三种情况：，，，分别求解即可． 【详解】（1）解：设交于点O， 四边形是矩形，， ∴，， ， ， ∴，， ∴， 又由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：； （3）解：①当时， 过点E作，则， 则， 连接，则， 在中，， 即：， 联立， 解得：， ，不合题意， ； ②当时， 则， 四边形是菱形， ， ∴点M与点D重合， 即：； ③当时， 则， 即：是的角平分线， 又垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 故的长为或2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求函数关系式，解一元二次方程等知识点，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，第三问注意分情况讨论，避免漏解． 23．（12分）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，且过点， (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线的图象． ①设为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，再过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2)① ；②0 【分析】（1）利用抛物线上的点，可求得a的值，即得答案； （2）①根据图象的平移可得方程，利用抛物线性质将球最小转化为只需求最小值即可； ②设，利用设切线方程，和抛物线联立，求得P点坐标，通过设直线的方程，联立抛物线方程推出，分别求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：由抛物线的图象过点， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令， 解得， ∴点A的坐标为． （2）解：由（1）得抛物线， 由题意可得，它经过平移后可得抛物线的解析式为， 即．①根据阅读材料中的结论，，故， ∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为，如图， 设抛物线的焦点为，将延长交直线于点E， 根据阅读材料中的结论，可得， 则， ∴， 要使最小，只需最小即可． 根据两点间线段最短，可得（三点共线时取“=”）， 即最小值为． 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值为． ②设，直线， 得， 即直线， 再与抛物线联立， 得， 由， 得， 故直线， 同理得， 联立， 解得， 得， 再设直线， 联立， 得， 则， 由材料内容可知， ， ∵， 故， ∴． 【点睛】本题考查了新定义——抛物线的焦点和准线．熟练掌握新定义，抛物线性质，是解题的关键．求解的值是本题的难点所在，解答时要根据题意设出切线方程，和抛物线方程联立，表示出点P坐标，从而可以表示；关键在于再设直线，联立推出，得到和相等，即可求解答案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $