第21章一元二次方程单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版九年级上册数学单元测试卷 第21章 一元二次方程 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共27分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 3．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A． B． C． D． 4．如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．设a，b为方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B． C．2023 D． 6．为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 8．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 9．满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 二、选择题（每小题3分，共24分） 10．已知，如果等式成立，那么可取的值有 个． 11．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 12．已知 ，是一元二次方程的两根，则 ． 13．已知方程有实数根，则k的取值范围是 14．如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ． 15．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 16．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 17．已知满足，则的最小值为 ． 三、解答题（共69分） 18．（20分）解方程 (1) (2)（配方法） (3) (4) 19．（8分）已知，是关于x的方程的两个实数根． (1)当关于x的方程的一个根是时，求m的值； (2)当时，求代数式的值． 20．（8分）电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 21．（10分）用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 22．（2+4+4=10分）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 23．（13分）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级上册数学单元测试卷 第21章 一元二次方程 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共27分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意； B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意； 故选：D． 2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 3．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据方程的特点选择合适的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：A、此方程适合用因式分解法求解； B、此方程适合用配方法求解； C、此方程适合用直接开平方法求解； D、此方程适合用因式分解法求解； 故选：B． 4．如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程有实数根，可知： 且， 解得：； 故选D． 5．设a，b为方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B． C．2023 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根的定义得到，再用a表示，得到，所以原式变形为，再根据一元二次方程根与系数的关系得到，利用整体代入法计算，即可求得． 【详解】解∶∵a，b为方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选∶D． 6．为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 7．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 原方程有两个实数根， 故选A． 8．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题关键是一元二次方程的根的判别式并能熟练运用． 先根据一元二次方程有两个相等的实根，计算判别式，求得，代入化简即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 9．满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x的一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：原方程变形为： 将其视为关于x的一元二次方程，判别式为： ， ∵方程有正整数解， 即判别式为非负完全平方数， 即，且y为正整数， 解得y的可能取值为,,,： 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ （舍去）， 即方程组的正整数解为； 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ ， 即方程组的正整数解为 或 ； 综上，共有三组正整数解， 故选：C 二、选择题（每小题3分，共24分） 10．已知，如果等式成立，那么可取的值有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了零指数幂性质，一元一次方程，一元二次方程解法，掌握任何不等于0的0次幂为1，底数为的偶次方为1，底数为1的任何次方为1是解题关键． 根据零指数幂的性质，得出或底数是－1指数是偶数或，解方程求出x，验证底数不为0即可． 【详解】解：∵， 分三种情况讨论： ∴或且指数为偶数或， （1）当时， ∴， 当时， ∴； （2）且指数为偶数时， 解得或， 当时，不符合题意舍去； 当时，， 所以； （3）当时， 因式分解得 解得 所以x可能的值有或0或或2，共4个. 故答案为：4. 11．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 12．已知 ，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，的两根为、，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；首先把代入一元二次方程中得到进行降幂，可以得到，然后运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 13．已知方程有实数根，则k的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．分类讨论当时和时两种情况，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意； 当时，原方程可化为 由题意得：，解得：； 综上所述：， 故答案为：． 14．如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：1． 15．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎”列方程即可得到答案． 【详解】解：依题意，得：， 即． 解得： (不合题意，舍去)． 故答案为：． 16．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或 ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 17．已知满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18．（20分）解方程 (1) (2)（配方法） (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）先移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）利用配方法解一元二次方程即可求解； （3）根据公式法解一元二次方程即可求解； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可求解； 【详解】（1）解： 解得： （2）解： ∴ ∴ ∴， 解得： （3）解： ∵， ∴ 解得：； （4）解： ∴ ∴或 解得： 19．（8分）已知，是关于x的方程的两个实数根． (1)当关于x的方程的一个根是时，求m的值； (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”；（2）利用根与系数的关系，找出与的值． （1）将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值； （2）代入，可找出原方程为，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为； （2）解：当时，原方程为， ，是关于x的方程的两个实数根， ，， 20．（8分）电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1) (2)2500000张 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房第1次累计票房x平均每次累计票房增长的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量总价单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． 21．（10分）用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为30米，宽为25米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽； （2）不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：鸡场的长为30米，宽为25米； （2）解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 22．（2+4+4=10分）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，，过程见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键． （1）依据“友好方程”的定义直接写出； （2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解； （3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； 23．（13分）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 【答案】任务1∶120元；任务2：150元；任务3：见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：根据题意，列出方程，即可求解； 任务3：设所获利润为w元，根据题意列出w关于x的函数关系式，求出当时，根据保证日销售利润不低于3030元，可得到m的取值范围，即可求解． 【详解】解：任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意得：， 解得：， 即每只龙泉青瓷茶杯的进价为120元； 任务2：根据题意得：， 整理得： 解得：， ∵每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售， 所以该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：设所获利润为w元，根据题意得： 当时，， ∵保证日销售利润不低于3030元， ∴， 解得：， ∵且m为整数， ∴m取2， 当时，日捐款总额为元； 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 1 学科网（北京）股份有限公司 $