精品解析：吉林省长春市南湖实验中学2025-2026学年八年级上学期期初数学试卷

2025-2026学年吉林省长春市南湖实验中学八年级（上）期初数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近几年，新能源汽车如雨后春笋，发展迅速．以下几个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明拿一张正方形纸片（如图①），沿虚线向下对折一次得到图②，再沿图②中的虚线向下对折一次得到图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角，将剩下的纸片打开后得到的图形的形状是（ ） A. B. C. D. 5. 同学们探讨利用不同工具作角平分线的方法，小明说：“我用两块完全相同的含角的直角三角板就可以作角平分线，把直角三角板按如图所示的位置放置，两顶点交于点P，由可得射线是的平分线．”其中的理论依据是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. HL 6. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为（ ） A. 40 B. 42 C. 45 D. 48 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边上，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 在方程中，用含的代数式表示，则______． 10. 正九边形一个内角的度数为______． 11. 不等式的最大整数解为______． 12. 已知关于的二元一次方程组和关于的二元一次方程组有相同的解，则的值是______． 13. 将两个大小不同的三角板按如图所示的方式摆放，，，，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积为______． 14. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是______．（填序号） ①；②；③；④ 三、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程： （1） （2） （3） （4） 16. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 17. 如图，点A、F、E、C在同一条直线上，，，．求证：． 18. 如图，是的外角． （1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）； （2）若，求证：． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中向下平移格后的； （2）在图②中，画出图中关于直线对称的； （3）在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 20. 如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连结．设点的运动时间为秒()． （1）当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示) （2）当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，求的值； （3）若点到达点后，立即以原速度的倍返回到点，同时点以原速度继续向终点运动．在点的整个运动过程中，作点关于点的中心对称点，当的面积是面积的倍时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年吉林省长春市南湖实验中学八年级（上）期初数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近几年，新能源汽车如雨后春笋，发展迅速．以下几个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，选项错误，不符合题意； B、如果，则，选项正确，符合题意； C、如果，则，选项错误，不符合题意； D、如果，则，选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，能熟记不等式的性质是解此题的关键． 3. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 4. 如图，小明拿一张正方形纸片（如图①），沿虚线向下对折一次得到图②，再沿图②中的虚线向下对折一次得到图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角，将剩下的纸片打开后得到的图形的形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案． 【详解】如图所示： 故选A. 【点睛】本题考查剪纸问题，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现出来，本题培养了学生的动手能力和空间想象能力. 5. 同学们探讨利用不同工具作角平分线的方法，小明说：“我用两块完全相同的含角的直角三角板就可以作角平分线，把直角三角板按如图所示的位置放置，两顶点交于点P，由可得射线是的平分线．”其中的理论依据是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理HL是解题的关键．通过证明两个直角三角形全等，进而得出角平分线． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． 故选：D． 6. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为（ ） A. 40 B. 42 C. 45 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE=6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵两个三角形大小一样， ∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积， 由平移的性质得，DE=AB，BE=6， ∵AB=10，DH=4， ∴HE=DE-DH=10-4=6， ∴阴影部分的面积=×（6+10）×6=48， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，解题的关键是熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边上，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由旋转可知，，利用三角形内角和可求，从而得解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 在方程中，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程 ，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键．通过移项即可得到用含的代数式表示的形式． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10. 正九边形一个内角的度数为______． 【答案】140° 【解析】 【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解． 【详解】正多边形的每个外角 （为边数）， 所以正九边形的一个外角 正九边形一个内角的度数为 故答案为：140°． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键． 11. 不等式的最大整数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握一元一次不等式的步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，据此求出最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的最大整数解为． 故答案为：． 12. 已知关于的二元一次方程组和关于的二元一次方程组有相同的解，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，首先求得方程组的解是解题的关键．当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入中直接求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 代入中，得， 解得：， 故答案为：． 13. 将两个大小不同的三角板按如图所示的方式摆放，，，，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由，，推导出，，而，即可根据“”证明，得，，则，因为，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ，， 在和中， ， ， 点、、依次在同一条直线上， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是______．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，即可判断①；不一定等于，即可判断②； 由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断③；过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断④； 【详解】解：∵， ， 由对称得， ∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形，， ， ， ∴，结论①正确； 不一定等于，结论②错误； 由对称得， ∵点分别是底边的中点， ∴，结论③正确； 过作， ， ， 根据对称得， ， 同理可证， ∴，结论④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，熟练掌握各自的解题步骤是解题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可求得答案； （2）用加减消元法解二元一次方程即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可； （4）分别解出每个不等式的解集，再去除它们的公共部分． 【小问1详解】 解： ， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； 【小问2详解】 解： ①②得，， 解得， 把代入②得， ， ∴方程组的解集为； 【小问3详解】 解： 去分母得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为，得； 【小问4详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为：． 16. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】（1）书架上有数学书60本，语文书30本． （2）数学书最多还可以摆90本 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． 【小问2详解】 设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 17. 如图，点A、F、E、C在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵点A、F、E、C在同一条直线上，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．先根据点A、F、E、C在同一条直线上，可得出，再由得出，最后可证得和全等，得出结论． 【详解】略 18. 如图，是的外角． （1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）； （2）若，求证：． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）正确地利用尺规作出AE即可； （2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解. 【详解】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求； （2）∵AE∥BC， ∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD， ∵AE是∠CAD的角平分线， ∴∠CAE=∠EAD， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC. 【点睛】本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中向下平移格后的； （2）在图②中，画出图中关于直线对称的； （3）在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 【答案】（1） 解：如图①中，即为所求； （2） 在图②中，即为所求； （3） 在图③中，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，作图-平移变换，解题的关键是学会掌握平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，的对应点的，即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连结．设点的运动时间为秒()． （1）当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示)当点在边上时，线段的长为；(用含的代数式表示) （2）当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，求的值； （3）若点到达点后，立即以原速度的倍返回到点，同时点以原速度继续向终点运动．在点的整个运动过程中，作点关于点的中心对称点，当的面积是面积的倍时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）的值为或 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，轴对称图形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想方法，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用路程，速度，时间的关系式解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点在边上时，，当时，为等腰直角三角形，是轴对称图形，列出关于的方程解答即可；②当点在边上时，，当时，四边形为长方形，是轴对称图形，列出关于的方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当点在边上时，，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可；②当点在边上，且未到达点时，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可；③当点在边上，到达点以原速度的倍返回时，，利用三角形的面积公式列出关于的方程解答即可． 【小问1详解】 解：(1)当点在边上时，， ， ； 当点在边上时，， ． 故答案为：；； 【小问2详解】 ①当点在边上时，， 由题意得： ． 当时，为等腰直角三角形，是轴对称图形， ， ． ②当点在边上时，， 当时，四边形为长方形，是轴对称图形， ， ． 综上，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时，的值为或． 【小问3详解】 当的面积是面积的倍时，的值为或．理由： ①当点在边上时，， 由题意得： 作点关于点的中心对称点，如图， 则， 的面积是面积的倍， ， ， 不合题意，舍去． ②当点在边上，且未到达点时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ， 的面积是面积的倍， ， ． ③当点在边上，到达点以原速度的倍返回时，， 由题意得：， ． 作点关于点的中心对称点，如图， ， ． ． ， ． 综上，当的面积是面积的倍时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $