21.2.1直接开平方法 导学案 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的配方法（1），以“直接开平方法”为核心，从实际问题引入，通过设问引导学生逐步建立从简单到复杂、从具体到抽象的认知路径。教学设计巧妙构建学习支架，由x²＝n的求解自然过渡到(x＋m)²＝n的转化，帮助学生理解降次思想的本质，实现知识迁移与结构化建构。 本资料突出体现数学核心素养的融合应用，注重用数学眼光观察现实世界，如导入环节借助油漆刷面积问题引发方程建模意识，激发探究兴趣。在合作探究中强化数学思维训练，引导学生归纳ax²＋c＝0型方程的解法规律，发展推理能力与运算能力。习题设计层次分明，既有基础巩固又有拓展提升，特别是例题与检测题紧扣概念本质，培养学生严谨逻辑和灵活应用能力，真正实现“做中学”，促进深度学习。

课题 21.1配方法(1) 课时 授课人 素养目标 1.理解一元二次方程降次的转化思想． 2．会利用直接开平方法对形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程进行求解. 3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实． 教学重点 熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程. 教学难点 根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程. 授课类型 新授课 学法 阅读、讨论、练习 教法 小组合作、讲授法、练习法 教学流程 学习过程 导入新课 【课堂引入】 问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样 的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗？ 自主学习 【自主学习】阅读课本2-3页． 【自主探究】 问题1：(1)请你用直接开平方法解下列方程： ①x2＝12；②x2－＝0；③2x2－8＝0；④9x2－5＝3. (2)一元二次方程2x2＋1＝0与1－2x2＝0的解相同吗？为什么？ (3)由(1)(2)，你能总结出ax2＋c＝0型一元二次方程的求解方法吗？ 一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，先将它变形为 的形式，再利用直接开平方法求解，其中，当p＞0时，方程有两个不等的实数根 ；当p＝0时，方程有两个相等的实数根 ；当p＜0时，方程 ． 【合作交流】 (1)类比方程x2＝25的求解方法，你能解方程(x＋3)2＝5吗？方程(x＋1)2＝2呢？试一试． (2)对于(x＋n)2＝p型的方程，你能说说它的基本解法吗？ 师生共同归纳：运用直接开平方法解形如x2＝p或(x＋n)2＝p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”. 合作学习 【例题精讲】 例1　解方程： (1)(x－2)2－13＝108.　　　　　　(2)x2＋10x＋25＝2. 例2　若x＝1是方程x2－a＝0的一个根，则a的值为 ，方程的另一个根为 ． 例3　若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝ ． 巩固训练 【巩固训练】 1.解下列方程 ； ； ； ； 当堂检测 【课堂检测】 1.若方程(m2－1)x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是(C) A．0 B．1 C．±1 D．－1 2．在一元二次方程2x2－5x－1＝0中，二次项系数和常数项分别是(D) A．2，5 B．2，－5 C．2，1 D．2，－1 3．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋5a＋b＝0的解，则10a＋2b＝－2． 4．若9a－3b＋c＝0且a≠0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根是x＝－3． 5．若k是方程3x2－2x－1＝0的一个根，则9k2－6k＋7的值为10． 归纳总结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 学科网（北京）股份有限公司 $