第1期 21.1 一元二次方程-21.2.2 公式法-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第1~6期 发理括 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY) 第1~6期 3)2>0且m≠0，所以m≠3且m≠0，所以m的取值范围是 第1期2版 m≠3且m≠0. 21.1一元二次方程 (2)证明：因为4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m 基础训练1.C;2.A;3.C; -3)=(m-3)2≥0， 4.12;5.(12-x)(8-x)=77;6.x=1. 所以x=-b±B-4ae_3(m-1)±(m-3) 7.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0,整理，得 2a 2m 2x2+(b-4)x+2-b+c=2x2-3x-1=0,所以b-4=-3, 所以x=3m-3+m-3=2m-3=2-3 2m ,x2三 m 2-b+c=-1,解得b=1,c=-2. 3m-3-m+3=1, 4 2m 8.(1)因为 =ad-bc,所以 =2×3 d 3 所以无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. 4×(-1)=10. 第1期3版 (2)因为 =0,所以x(x+2)-m(1-x)= 1-xx+2 题号12345678 0.又因为方程的一个根为2，所以2×(2+2)-m(1-2)=0, 解得m=-8. 二、9.m≥0；10.x2-3x-4=0:11.-2; 21.2.1配方法 12.-3+7 4；13.0:14.6或10或12. 基础训练1.D;2.A;3.B; 4.3;5.x1=32=-2. 三、15.(1)x1=1,x2=-7; 6.(1)x1=-1+2,x2=-1-2; (2x=3，匝=3，而 2 2 (2)x1=2+5,2=2-5; (3)x1=5+5,2=5-5. (3)x1=1+5,2=1-5. 16.(1)根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=(x 出现了错误故填一 +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. (2)正确解答过程如下： 21.2.2公式法 2x2-8x+3=0, 基础训练1.B;2.A;3.D; 系数化为1，得父-4+子0， 4-7.4-7.6,5四 配方，得(x-22=各 6=34D3-厄 4 解得x=4±0 2 23 (2)x1=3+5。 2； 所以名：4D=4,四 2 (3x=3，匝=3，回 17.(1)证明：因为4=[-(k+4)]2-4×1×4k=(k- 2 2 4)2≥0，所以该方程总有两个实数根。 能力提高7.(1)4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m -3)=(m-3)2,因为方程有两个不相等的实数根，所以(m- (2)根据求根公式得x=k+4)±k-④ 2 中考数学人教(GDY) 第1~6期 (k+4)±(k=4),所以1=4，西=k 2 (4)1=5+ 2 2,5=5- 2； 因为该方程有一个根小于1，所以k<1. (5)x1=4,x2=10: 18.(1)将x=1代入原方程得(a-1)-2+a2+1=0, (6)x1=√6+√T,x2=6-T. 整理，得a2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2. 2.(1)k的取值范围为k≤5. 因为a-1≠0，所以a≠1，所以a的值为-2. (2)k1=3-5,k2=3+5 (2)将a=-2代入方程得-32-2x+5=0,即2+子 第2期2版 21.2.3因式分解法 配方，得(x+宁2=台开方，得+号=± 3 基础训练A;2.:3.B;4-分；5-3 所以方程的解为=1，=一号 6.(1)x1=x2=2; (2)x1=3,x2=-1; 19.(1)根据定义，得x2+2x-8=0的“倒序方程”为 -8x2+2x+1=0. (3)=名-分 (2)x2+2x-8=0,移项，得x2+2x=8, 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2,x2=1. 配方，得2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9, (2)设3+2=y,原方程可化为y+2-3=0, y 解得x+1=±3，所以x1=2,x2=-4. 由(1)知，x2+2x-8=0的“倒序方程”为-8x2+2x+1 即y2-3y+2=0,解得y1=1,y2=2. =0. 当y=1时，x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的解； 这里a=-8,b=2,c=1. 当y=2时，3+2=2，解得x=-2,经检验是原方程的解 因为b2-4ac=22-4×(-8)×1=36, 解得=没爵：总兰 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. -16 ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 所以名=分=子 基础训练1.B;2.C;3.10. 4.(1)因为2,3是方程x2+px+q=0的两根， 20.(1)(x+2)(x+6)=5, 所以[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, 所以2+3=-卡=-p,2×3=q, 所以(x+4)2-22=5, 所以p=-5,9=6. 所以(x+4)2=2+5,所以(x+4)2=9. (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ 两边直接开平方得x+4=±3，解得x1=-1,x2=-7, 5n-3=0, 所以a,b,m,n表示的数分别是4,2-1，-7. 所以m≠0，n≠0，m,n可看作方程x2+5x-3=0的两 故填4,2，-1，-7. 根，所以m+n=-5,mn=-3, (2)(x-3)(x+1)=5, 所以m+及= =（m+n)2-2mn n 所以[(x-1)+2][(x-1)-2]=5, m n mn 所以(x-1)2-22=5,所以(x-1)2=22+5=9. 二5》--》。-号即受+只的值为-号 -3 n 两边直接开平方得x-1=±3，解得x1=4,2=-2. 21,3实际问题与一元二次方程（第一课时） 第1期4版 基础训练1.B;2.B；3.12;4.6. 5.(1)由题意可得现在平均每天售卖(24+2x)盆，每盆盈 重点集训营 利为(90-60-x)元，即(30-x)元. 1 1.(1)x1=1,2=3 所以得(24+2x)(30-x)=784,解得x1=2,x2=16. (2)x1=1,西=-2； 3 答：当x为2元或16元时，平均每天的盈利为784元. (3)不能实现，理由如下： (3)无实数解； 由题可得(24+2x)(30-x)=900, 中考数学人教(GDY) 第1~6期 整理得x2-18x+90=0. 所以(2x-1)(2x-3)=0,解得新=方出=子 3 因为4=(-18)2-4×1×90=-36<0， 3 所以原方程无解，所以该销售商的这种想法不能实现 因为药=2=+1， 21.3实际问题与一元二次方程（第二课时） 所以方程4x2-8x+3=0是“连根方程”. 基础训练1.C;2.C;3.4;4.5. (2)因为x2+(2m-3)x-6m=0, 5)号 所以(x-3)(x+2m)=0,解得x1=3,x2=-2m. (2)由题意得BQ=4tcm,AP=2tcm, 因为x2+(2m-3)x-6m=0是“连根方程”， 因为AB=10cm,所以PB=AB-AP=(10-2t)cm. 所以x1=x32+1或1=32-1，即3=-2m+1或3= -2m-1, 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°. 所以m=-1或m=-2. 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PQ=PB+BQ,所以(10 19.(1)2,4 -2t)2+(4t)2=102, (2)①x1=-1,x2=6. 解得t1=0(舍去)，2=2， 所以当t=2时，PQ的长度等于10cm. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,2=5.由三角形的三边 关系可知x=5,所以AB=AC=5.过点A作AD⊥BC于点D, (3)不存在.理由如下： 由题意得7(10-20)·4=28， 则BD=之BC=4,在R△ABD中，AD=√AB-BD=3,所 整理得2-5t+7=0, 以等腰三角形ABC的面积=BC·AD=12 所以4=(-5)2-4×1×7=-3<0， 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E, 所以该方程无解， 所以BE=CQ=tcm,AP=tcm,则PE=(8-2t)cm.在 所以不存在t的值，使得△PBQ的面积等于28cm2. Rt△PQE中，由勾股定理可得(8-2t)2+32=52, 第2期3版 解得t=2或t=6,即P,Q两点从出发开始到2或6秒时， 点P和点Q间的距离是5cm 题号12345678 (2)连接PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时， 答案DA DBDCBA 分三种情况： 二、9.0；10.-5；11.-4或3；12.1；13.9； ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 14.√2. 所以DF=QF 三、15.(1)x1=7,x2=1 因为AP=CQ=tcm,所以DF=AP=tcm,即CD=DF (2)x1=-5,x2=4; +FQ+CQ=3t=8, (3)x1=-4,x2=1. 解得1=号即当P,Q两点从出发开始到号砂时，点P,.0, 16.因为关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1, D组成的三角形是等腰三角形； x2两个实数根， 所以x+x2=6,x1x2=2m-1. 因为1=1，所以1+2=6，所以x2=5, 所以2m-1=1×5=5,解得m=3. Q 17.(1)设该校八年级共有x个班， 1 图1 图2 根据题意，得2x(x-1)=45, ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 解得x1=10,x2=-9(舍去). 因为AP=CQ=tcm,所以QP=QD=CD-CQ=(8- 答：该校八年级共有10个班. 1)cm,DF AP =t cm, (2)设小奉同学所在的班级胜了y场，则负了(9-y)场， 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm. 根据题意，得2y+(9-y)≥14，解得y≥5. 在Rt△PQF中，由勾股定理可得(8-2t)2+32=(8-t)2, 答：小奉同学所在的班级至少要取得5场胜利， 18.(1）因为4x2-8x+3=0, 解得t=16±图=8±团，即当P,0两点从出发开 6 3 3 中考数学人教(GDY) 第1~6期 始到8-37或8+7秒时，点P,0,D组成的三角形是等腰 18.(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 3 3 根据题意，得2(1+x)+2(1+x)x=288, 三角形； 整理，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13(舍去) ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于 A 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑 点F,如图3所示， (2)由题意可知，288×(1+11)=3456（台）. 因为AP=CQ=tcm,所以DP=QD= 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台. CD -CO =(8-t)cm. 四、19.(1)解方程x2=2x得1=0，x2=2. 在Rt△ADP中，由勾股定理可得：+9=B 因为x1≤2，所以P(0,2): 图3 (像-，解得1=亮即当P,0丙点从出发开 (2)设方程x2-(k+1)x+k=0的两根为1和x2(x1≤ x2),则P(x1,x2) 始到瓷秒时，点PQ,D组成的三角形是等腰三角形 因为点P在直线y=-x上， 综上所述，当P.0两点从出发开始到-或弩或名 所以x1+x2=0,即k+1=0,解得k=-1 3 20.(1)△ABC是等腰三角形.理由：因为x=-1是方程的 或8+37秒时，点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形. 根，所以a+c-2b+a-c=0,所以a-b=0,所以a=b, 3 所以△ABC是等腰三角形. 第2期4版 (2)△ABC是直角三角形.理由： 因为方程有两个相等的实数根，所以(2b)2-4(a+c)(a 重点集训营 c)=0,所以42-4a2+4e2=0, 1.A;2.D;3.2;4.19. 所以a2=b2+c2,所以△ABC是直角三角形. 5.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, (3)因为△ABC是等边三角形，所以(a+c)x2+2bx+(a 将点(25,70)，(35,50)代入得 70=25k+b, -c）=0可整理为2a.x2+2ax=0, 50=35k+b, 所以x2+x=0,解得x1=0,x2=-1. 解得-2， 21.(1)设每件商品的售价为x元，则每件的利润为(x- b=120. 40)元，销售量为200-10(x-50)=(700-10x)件， 所以y与x之间的函数关系式为y=-2x+120. 依题意，得(x-40)(700-10x)=2250,整理，得x2-110x (2)由题意得(-2x+120)(x-20)=600, +3025=0,解得x1=x3=55. 整理，得x2-80x+1500=0, 答：每件商品的售价为55元 解得x1=30,x2=50. (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 因为商场规定这种商品每件售价不得高于40元， 2500元.理由如下： 所以x=30, 设每件商品的售价为y元，则每件的利润为(y-40)元，销 所以商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为 售量为200-10(y-50)=(700-10y)件， 30元. 依题意，得(y-40)(700-10y）=2500,整理，得y2-110y 第3期综合评估卷 +3050=0. 因为4=(-110)2-4×1×3050=-100<0，所以方 题号123456789 10 程无实数根， 所以涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 二、11.3；12.0（答案不惟一，k≥0即可）；13.5； 2500元. 14.√34或4；15.4或-2. 五、22(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” 三、16x1=-3,x3=1. (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0,所以x=m或x= 17.因为关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个相 -1.因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 等的实数根， 程”，所以m=-1+1或m=-1-1,所以m=0或-2. 所以△=（-4)2-4a×2=0,解得a=2, (3)由题可得4=b2-4a×1=62-4a≥0，所以解方程 此时x=二，4)去面=1，即1=为=1 得x=二b±公二40因为关于x的方程ar2+b加+1=0(a, 2×2 2a 4 中考数学人教(GDY) 第1~6期 b是常数，a>0)是“差1方程"，所以二b+YF=40 5.m≥3；6.3≤y<11;7.8. 2a 8.(1)b的值为-8. =b--40=1,所以6=d2+4a.因为t=10a-,所 (2)小明的说法正确.理由如下： 2a 由题知二次函数y=-2(x-2a)2+3-a的顶点坐标为 以t=6a-a2=-（a-3)2+9≤9，所以t的最大值为9. (2a,3-a), 23.(1)(4a2-200a+2400). 3 将x=2a代人y=之+3中，得y=3-a,所以顶点坐 (2)由题意得60×40-(4a2-200a+2400)= 8 ×60 ×40,解得a1=5,a2=45(舍去). 标(2a,3-a)在直线)=-子x+3上，所以小明说法正确 答：此时通道的宽为5米. 能力提高9.(1)m=1,C(-1,0) (3)当a=10时，花圃面积为800平方米，所以花圃面积最 (2)在该二次函数的对称轴上，存在点Q,使得以A,C,Q 少为800平方米. 为顶点的三角形是等腰三角形. 根据图象可设y1=mx,3=kx+b,将点(1200,48000)代 由(1)知顶点坐标为C(-1,0),对称轴为直线x=-1, 入y1得1200m=48000,解得m=40,所以y=40x.将点(800， 过点A作AE⊥CD于点E,连接AC,在Rt△ACE中，由勾股 480).120,6200)代人为得s+6:4800,解得 定理，得AC=√AE+CE=25. L1200k+b=62000, ①当AQ=CQ时，设CQ=m,在Rt△AQE中，由勾股定 「k=35, 理，得AE2+EQ2=AQ2,所以22+(4-m)2=m2,解得m= 所以y2=35x+20000.因为花圃面积为4a2- 1L6=20000, 3,所以Q(-1,》: 200a+2400,所以通道面积为2400-(4a2-200a+2400) =-4a2+200a,所以35(4a2-200a+2400)+20000+ ②当AC=AQ时，根据等腰三角形的性质，得CE=QE= 4,所以CQ=2CE=8,所以Q(-1,8); 40(-4a2+200a)=105920,解得a1=2,a2=48(舍去). 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为 ③当CA=CQ=25时，可得Q的坐标为(-1,25)或 105920元， (-1,-25). 第4期2版 综上所述，点Q的坐标为(-1，吾)或(-1,8)或(-1， 25)或(-1，-25). 22.1.1二次函数 基础训练1.A;2.A;3.D;4.0:5.2025; 第4期3版 6.>；7.四. 8.(1)S=2[x2+2x(x+0.5)]=6x2+2x. 题号1 2345678 答案A ADACDBB (2)y=5S=30x2+10x. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 二、9.y=-2x2+3x-1；10.y=-(x-4)2；11.10; 基础训练1.D;2.A;3.A；4.-18<y≤0；5.4； 12.2(答案不惟-)：13.10；14.a>2或0<a<4 6.a>b>d>c;7.3. 三、15.(1)m的值为2或-3. 能力提高8.（1)a=1,B(2,4). (2)当m+2>0,即m>-2时，抛物线有最低点，故当m (2)因为A(-2,4),B(2,4),所以AB=4, =2时，抛物线的解析式为y=4x2+1,此时该抛物线的最低点 因为AB∥x轴，所以Sam=方AB小-41=方× 即顶点坐标为(0,1) 41yp-41=2,解得yp=3或yp=5. 16.(1)因为抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x= -2,所以h=-2 在y=x2中，当y=3时，解得x=±√5， 即抛物线的解析式为y=a(x+2)2。 当y=5时，解得x=±5， 所以点P的坐标为(-5,3)或(5,3)或(-5,5)或 将(1，-3)代人y=a(x+2)2中，解得a=-弓，所以地 (5,5) 物线的解析式为y=-3(x+2)只 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 基础训练1.A;2.B;3.B4.y=(x+1)2-2; (2)由(1)得抛物线解析式为y=- (x+22, 5 中考数学人教(GDY) 第1~6期 因为-弓<0，所以抛物线开口向下， 19.(1)令y=0,则(x+4)2=0,解得1=x2=-4, 所以点A(-4,0) 所以当x>-2时，y随x的增大而减小. 令x=0,则y=(0+4)2=16, 17.(1)把点B(-2,4)代入二次函数y=ax2,得a=1,所 所以点B(0,16). 以二次函数的解析式为y=x2 (2)在对称轴上存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边 将点A(1,m)代入y=x2中，得m=1, 形为平行四边形. 把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y=kx+b,得 因为点P在对称轴上，所以AP=OB=16,①若点P在点 [h +b=1, 解得1， A的上方，易求得点P的坐标为(-4,16)； 1-2k+b=4,1b=2, ②若点P在点A的下方，易求得点P的坐标为(-4， 所以一次函数的解析式y=-x+2. -16). (2)设一次函数与y轴交于点C, 综上所述，当点P的坐标为(-4,16)或(-4，-16)时，以 在y=-x+2中，令x=0,得y=2, P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形. 所以C(0,2), 20.(1)-1. 所以Saw=Sam+5a=7×2x1+7x2×2=3 (2)抛物线y=-7(x-1)2+的顶点A的坐标为(1， 18.(1)由题意可设A(a,2a),则B(-a,2a), 因为点A在抛物线y=2x上， ),由题易求得点D的坐标为（女+1，）将点D的坐标代 所以2a=2a2,解得a=1或a=0(舍去)，所以A(1,2). 人y=-x-+6,得片=宁（宁+1-1P+6解得 1 (2)由(1)易得B(-1,2),D(1,0) 设直线BD的解析式为y=kx+b, k=4或k=0(舍去).故填4. 将B(-1,2),D(1,0)代入，得+6=2 (3)抛物线y=a(x-h)2+k的顶点A的坐标为(h,k),由 k+b=0, 题得点D的坐标为(+h,), 解得=-1， Lb=1, 将点D的坐标代人y=a(x-h)2+,得宁=a(受+h- 所以直线BD的解析式为y=-x+L. h)2+k,解得ah=-2. 联立=x+1 「x= 2 第4期4版 或 ly =2x, 解得-1， y=2 重点集训营 所以点P的坐标为宁，。 题型一：l.A;2.点M;题型二：l.B;2.D. —6素养·拓展 数理招 专题辅导 重点集训营 (5)22-7x+20=0: 公式法解方程 三点要 1.用公式法解方程： ⊙广西曲冰 (1)3x2+1=4x; 一、分清a,b,c的符号 例1解方程：x2+3x-1=0. 解：因为a=1,b=3,c=-1,所以x= (6)x2-26x-5=0. -b±B-4ac=-3±3--3±☒ 2a 2×1 2 解得x,=3+3 2 ,x3=-3-13 2 (2)2x2+x-3=0: 二、将方程化为一般形式 例2解方程：3x(x-1)-2=2x. 解：方程整理为3x2-5x-2=0,所以a= 2.已知关于x的方程x2-2(k-3)x+2 3,6=-5,c=-2,所以x=-b±0-4e。 2a 4k-1=0. (3)5x2-5x+3=0; (1)若这个方程有实数根，求k的取值范 2×3 5看解得=2=-分 5±49-5±7 围； 三、b2-4ac≥0的方程才有实数根 (2)若这个方程有一个根为1，求的值. 例3解方程：2x2+3x+5=0. 解：因为a=2,b=3,c=5,所以b2-4ac =32-4×2×5=-31<0,所以方程没有实数 (4)x2-5x-10=0: 辅助线 周周练 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往 数理报社试题研究中心 是难点，因此本学期我们将开辟一个专门练习 (参考答案见下期) 添加辅助线的学习板块，希望同学们好好练习. 题型空间 1.如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD= 6,点E为边BC上的动点，连接AE,过点E作EF 巧用根的定义求值 ⊥AE,且EF=AE,连接CF,则线段CF长度的 最小值为 3■ ⊙湖北杨家豪 若ax名+bxo+c=0,则xo是一元二次方程 解：根据题意，得x+1=2025,解得x= ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根；反之，若xn是2024.故填2024. 一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的一个 例4关于x的一元二次方程ax2-x- 图2 根，则可得aG+bx0+c=0.这就是一元二次方1168=0满足a+b=1168,则方程必有一根为 程根的定义，利用一元二次方程根的定义解题 2.如图2，正方形ABCD的边长为22，点E 是AB边上的一个动点，点F是CD边上的一个 是中考的常见考点 解：当x=-1时，a+b-1168=0,则a+ 例题呈现 b=1168,所以若a+b=1168,则此方程必有 动点，且AE=CF,过点B作BG⊥EF于点G,连 一根为-1.故填-1. 接AG,则AG长的最小值为 例1已知x=2是一元二次方程x2-a= 0的一个根，则a的值为 变式训练 相 解：依题意，得22-a=0,即4-a=0,解 1.若关于x的一元二次方程(a-3)x2-x+ 到普慧1‘兰关三：，三群部‘阳‘HW 得a=4.故填4. a2-9=0的一个根是x=0,则a的值为 瓣买‘H学中阴a0谊‘a0TV0百‘0学丹 例2已知m是一元二次方程x2-x+3= 影Q8道‘Qa学中阴OV音O学‘OV 0的一个根，则2022-m2+m的值为 2.关于x的一元二次方程2+ax+b=0, 解：把x=m代人方程x2-x+3=0得m若1-a+6=0,则方程必有一根为 诳□本适‘0学学卒阴Ha与O 1‘Opa0‘HV瓣买【些群】1-乙 m+3=0,所以m2-m=-3, 3.若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+ 所以2022-m2+m=2022-(m2-m)=6x-1=0的-个根，则2024-2a+2b的值为 /售具HD州HyTH0振‘g实丁Hy新 安4学R采9=☑V=O8‘b=8V= 2022-(-3)=2022+3=2025.故填2025. 例3若关于x的一元二次方程ax2+bx+ 4.若关于x的一元二次方程a(x-m)2+n aO▣969#甲‘b=8V=ya9 2三0(a≠0)有一根为x=2025,则-元二次=0(a≠0)的两根分别为-3,1，则方程a(x- 三希专Hy‘Y4刻暴‘。=Oy17 方程a(x+1)2+6(x+1)+2=0必有一根为m-2)°+n=0的两根分别为 到‘Y学一值干OA母‘L☒‘48=La 1-b忆0乙E1-=x乙g-I若号 影到‘L学一谊可Va尹【些群】砂1 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 教理橘 2025年7月3日·星期四 初中数学 报纸发行质量反馈电话， 期总第1145期 人教 0351-5271248 中考(GDY 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-157 中考数学人教(GDY) 门向导 配方法是解一元 上学期编辑计划 二次方程的基本方 第1期 法，也是解决代数中 二次方程：21.2. 认识一元二次方程 配方法：21.2.2公式法 有关二次式最值问题 第2期 O江西王欣蕊 的常用方法之一.配 21.2.3因式分解法；*21.2.4 元二次方程的概念是学习一元二次方程 定要先化为一般形式后再确定.如：方程2x 配方法 一元二次方程的根与系数 方是通过“加上”并 的关系；21.3实际问题与 的前提和基础，同学们在学习时，容易产生一些 =3x+2先化为一般形式为2x2-3x-2=0,那么 且“减去”相同的项， 元二次方程 模糊认识，今剖析如下，供同学们参考。 它的二次项为2x2,一次项为-3x,常数项为-2. 第3期 把代数式中的某些项 山 章整章复习 一、基本概念 2.对于形式不完全的（即缺一次项或常数 配成完全平方式，达 第4期 元二次方程是只含有一个未知数，并且 22.1.1二次函数：22.12 项)一元二次方程的各项及其系数需正确叙述： 到巧解的目的.下面 乔梦 微课 次函数y=ar的图象和性 未知数的最高次数是2的整式方程.这个概念告当缺一次项时，如：方程3x?-12=0,要指出其 就让我们走进一元 质：22.13二次函数=(xh)2+ 诉我们： 次项时，可以说一次项为0x或无一次项，但不 k的象知件用 次方程的解法， 一起 第5期 1.一个方程是不是一元二次方程，不能光 能说一次项为0；当缺常数项时，如：3x2+2x= 来体会配方法的无限 22.1.4二次函数y=ar2+bx+ 的图象和性质：22.2二次函 看其表面形式，要根据整理以后的结果来定，但0，可以说常数项为0，也可以说无常数项， 魅力吧！ 故与 元二次方程：22.3实 需要注意的是：对方程的整理变形一般只限于 三、一元二次方程的根 一、配方法的基本思路 际问题与二次函数 去括号、移项、合并同类项”这样的恒等变形 第6期 1.一元二次方程不存在只有一根的情况，如： 用配方法解一元二次方程的基本思路是将 二十二章整章复习 如：方程1 =x+1去分母后进行整理可化为x2方程(x-1)2=0的根不能写为x=1,而应写为x, 方程转化为(x+m)2=n的形式，然后利用开平 第7期 23.1图形的旋转：23.2.1中 =名，=1，即写成两个相等的实数根的形式 方达到降次的目的.当n≥0时，根据平方根的 心对称；23.2.2中心对称图 +x-1=0,但不能说原方程是一元二次方程. 2.一元二次方程若无实数根时，要正确叙 意义可求出它的根为x=-m±√n 形 2.一元二次方程中的“一元”指的是一个未 第8期 23.2.2关于原点对称的中 知数，“二次”指的是该未知数的最高次数是2，述，如：方程+3=-2，说它无解或无根均不 二、配方法的步骤 =7和方程x-x2=1均不是严谨，而应说“无实数解或无实数根” 如果方程的二次项系数是1，且一次项系数 点的坐标：23.3课题学习 如：方程xy+y 第二十三章整章复习 是2的整数倍，比如x2-4x+1=0,那么一般可 第9期 元二次方程这里还要强调二次项系数一定 3.在解方程时，要防止丢根的情况.在解 按以下步骤解方程： 24.1圆的有关性质 不能为零 元二次方程时，若在方程两边同时除以一个含 第10期 未知数的代数式就可能丢根如：解方程x2=, (1)移项：使方程的左边为含有未知数的 二、相关概念 24.2点和圆、直线和圆的位 时，若等号两边同时除以x,则得x=1,但这样 项（即二次项与一次项），右边为不含未知数的 置关系 元二次方程的相关概念主要是指一元二 第11期 项（即常数项），得x2-4x=-1; 24.3正多边形和圆；24.4弧 次方程的各项及其系数，我们必须全面认识它. 做就造成了丢根，即方程x2=x的根应是1三 (2)配方：在方程的两边都加上一次项系 长和扇形面积 1.在指明一元二次方程各项及其系数时 1,x,=0,要防止丢掉x=0这个根 第12期 一半的平方，把方程左边写成完全平方的形 第二十四章整章复习 第13期 重点精讲 式即4+(~-1+((x 25.1随机事件与概率：25.2月 列举法求概率 应用根的判别式三注意 2)2 =3; 第14期 (3)开方：根据平方根的意义，直接开平方 25.3用频率估计概率；第 十五章整章复习 ○广东张少明 得到两个一元一次方程，从而达到“降次”的目 第15期 、注意应用的前提条件是a≠0 B.有两个相等的实数根 的，由此可得x-2=5或x-2=-√5； 九年级上册复习 第16期 例1若关于x的一元二次方程(k-1)x C.无实数根 (4)求解：解两个一元一次方程，得x1=2 26.1反比例函数 (2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根，则 D.无法确定 第17期 +5,x2=2-5. 26.2实际问题与反比例函 k的取值范围是 ( 解：由题意得x*(k-5)=x2-x(k-5) 温馨提示：(1)如果方程的二次项系数不 数：第二十六章整章复习 第18期 A.k>- B.k>- 27.1图形的相似；27.2.1相 且k≠1 2k+5,整理，得x2-x(k-5)-2k-5=0, 是1，要先利用等式的基本性质将其化为1； 所以4=[-(k-5)]2-4×(-2k-5) （2)若一个方程完成配方后，方程右边的常 似三角形的判定(1) C.k<- D.k≥- k2-2k+45=(k-1)2+44>0,所以有两个不 数项是负数，这说明原方程在实数范围内无解 第19期 8 27.2.1相以三角形的判定 相等的实数根.故选A 三、配方法的应用 (2):27.2.2相似三角形的 解：因为关于x的 一元二次方程(k-1)x2- 性质；27.2.3相似三角形应 (2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根， 三、注意“方程有实数根”的情况 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还 用举例 例3已知关于x的方程ax2+2x-1 能巧解数学中的很多问题，下面我们就一起欣 第20期 所以△=[-(2k+1)]2-4(k-1)·k= 赏如何巧用“配方法”解题吧！ 27.3位似：第二十七章整章 有实数根，则a的取值范围是 复习 例用配方法证明：无论x取何值，代数式 第21期 8+1>0,解得k>-8 A.a>-1 B.a≥-1 2x2+8x-9的值总小于0. 28.1锐角三角函数 又因为k-1≠0，所以k的取值范围是k C.a>-1且a≠0D.a≥-1且a≠0 第22期 分析：利用配方法把-2x2+8x-9转化成 28.2解直角三角形及其应 解：当a=0时，2x-1=0是一元一次方 > -2(x-2)2-1,再证明-2(x-2)2-1≤-1 用：第二十八章整章复习 8且k≠1.故选B 第23期 程，解得x=2,符合题意： <0即可. 29.1投影：29.2三视图：第 二、注意先把方程化为一般形式 证明：-2x2+8x-9=-2(x2-4x)-9 十九章整章复习 例2对于实数a,b定义运算“*”为a*l 当a≠0时，ax2+2x-1=0是一元二次方 第24期 -2(x2-4x+4)-9+8=-2(x-2)2-1 L年级下册复习 =a2-ab,例如3*1=32-3×1=6，则关于程，因为方程有实数根，所以4=22-4a 因为(x-2)2≥0， x的方程x*(k-5)=2k+5的根的情况，下列(-1)≥0，解得a≥-1，符合题意 所以-2(x-2)2≤0， 说法正确的是 综上所述，当a≥-1时，关于x的方程 ax 所以-2(x-2)2-1≤-1<0， A.有两个不相等的实数根 42x-1=0有实数根.故选B, 所以代数式-2x2+8x-9的值总小于0， 2 素养专练 数理极 21.2.1配方法 21.2.2公式法 跟踪训练 屋础训练 屋础训练 21.1一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程x2-8x+10= 1.用公式法解方程x2-3x+1=0时，计算62 垦础训练 0,下列变形正确的是 4ac的值为 () A.(x-8)2=54 B.(x-8)2=6 A.-5B.5 C.-10D.10 1.一元二次方程5x2-3x+2=0的一次项系 C.(x-4)2=-6 D.(x-4)2=6 2.关于x的一元二次方程x2-5x+2=0根 数是 () 2.若m的值使得x2-4x+m=(x-2)2+1 的情况是 () A.5 B.5x2 C.-3 D.3x2 成立，则m的值为 () A.有两个不相等的实数根 2.下列方程中是一元二次方程的是() A.5 B.-5C.3 D.-3 B.有两个相等的实数根 A.x2-1=0 B.y2+x=1 3.已知方程x2-6x+n=0可以配方成(x- C.没有实数根 C.2x+1=0 D.x+1=1 m)2=7,则(m-n)1的值为 () D.只有一个实数根 A.0 B.1 C.-1 D.2000 3.若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0 3.把方程(x+5)(x-√5)=2(x+5)2化为 4.将一个关于x的一元二次方程配方为(x+ 有实数根，则m的取值范围是 () 般形式后是 () m)2=p,若2±万是该方程的两个根，则p的值是 A.m≤-1 B.m≥-1 A.x2-3=0 B.-x2-20x+53=0 C.m≤1且m≠0D.m≥-1且m≠0 C.x2+20x+53=0D.x2+20x+47=0 5.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a 4.关于x的一元二次方程3x2-7x+m=0根 4.若x=a是方程2x2-x-6=0的一个解， ≠0)时，只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根 的判别式的值是6，则此方程的解为 则代数式4a2-2a的值为 是x=-1.他核对时发现所抄c的值比原方程的c 5.若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0 5.如图，在块长12m, 值小1，则原方程的根为 有两个不相等的实数根，则点P(m+5,-m-6) 宽8m的矩形空地上修建 6.解方程： 在第象限 同样宽的两条道路，剩余 (1)4(x+1)2-8=0: 6.解方程： 部分栽种花草，且栽种花 (1)2x2+3x-1=0; 草的面积为77m2.设道路 的宽为xm,根据题意，可列方程为」 6.已知关于x的方程x2+bx+a=0中满足 a+b=-1,则方程必有一根为 7.关于x的一元二次方程2(x-1)2+b(x- 1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,试 (2)-2x 求b,c的值. (2)子=2x-1: (3)(x+1)(x-3)=1. (3)x(x-4)=2-7x. 8.定义新运算：对于任意实数a,b,c,d有 b =ad-bc,其中等式右边是常用的乘法 e d 能刀提高 和减法运算。如：1 4 3 7.阅读材料：我们可以用配方法求一个二次 能刀提高 =4×2-3×1=5. 2 三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2-2a 7.已知关于x的一元二次方程mx2-3(m (1)求24 的值 +5的最小值.方法如下： 1)x+2m-3=0. -13 因为a2-2a+5=a2-2a+1+4=(a-1)2 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的 (2)已知关于x的方程 m +4,由(a-1)2≥0，得(a-1)2+4≥4，所以代 取值范围； =0 1-xx+2 数式a2-2a+5的最小值是4. (2)求证：无论m为何值(m≠0)，方程总有 的一个根为2，求m的值 请仿照上述方法，求代数式x2+10x+7的最 个固定的根， 小值 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)】 数理极 素养·测评 5 18.(10分)已知关于x的一元二次方程(4- 同 达 1)x2-2x+a2+1=0. 步 检测题（一 (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在(1)的条件下，用配方法解该方程 【检测范围：21.1-21.2.2】 （(满分：120分) 13.已知下面三个关于x的一元二次方程ax +bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx+ax+b=0 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 题号12 3 4 56 7 8 14.若等腰△ABC的三边长都是方程x2-6x+ 答案 8=0的根，则△ABC的周长是 1.一元二次方程x2-2x+1=0的一次项系数 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 和常数项分别是 15.(12分)解方程： A.-2和1 B.2和-1 (1)x2+6x=7 19.(10分)我们把关于x的一元二次方程ax2 C.-2x和-1 D.-2x和1 +bx+c=0与cx2+bx+a=0(ac≠0)称为 2.关于x的一元二次方程x2+bx-10=0的 对“倒序方程”.例如方程x2-x-2=0的“倒序方 -个根为2，则b的值为 程”是-2x2-x+1=0. A.3 B.2 C.-3D.8 (1)写出一元二次方程x2+2x-8=0的“倒 3.一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况是 (2)+-号=0： 序方程”； (2)请用适当的方法解一元二次方程x2+2x A.无实数根 -8=0和它的“倒序方程”. B.有两个相等实数根 C.有两个不相等实数根 D.无法判断 4.若方程2x2+8x-32=0能配方成2(x+q)2 (3)x2-25x+2=0. =40的形式，则点(2,9)所在的象限是 ( A.第三象限 B.第四象限 C.第二象限 D.第一象限 5.某公司去年的产值为200万元，现计划扩大 生产，使今明两年的产值都比前一年增长一个相 20.(12分)某同学在解一元二次方程时，发现 同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达 16.(10分)小明在学习一元二次方程解法时，有这样一种解法： 到了1400万元，设这个百分数为x,则可列方程为解方程的过程如下： 例：解方程：x(x+4)=6. ( 解方程：2x2-8x+3=0 ：原方程可变形为[(x+2)-2][(x+2)+ A.200(1+x)2=1400 B.200+200(1+x)+200(1+x)2=1400 解：-2x+2=0,…第一步2=6 3 以(x+2)2-22=6,所以(x+2)2=6+22, C.200(1+2x)=1400 x2-2x=- 2,… 第二步所以(x+2)2=10. D.200(1+x)3=1400 直接开平方并整理，得x1=-2+√0，x2= 6.已知三角形的三条边为a,b,c,且满足a2- -2x+1=-7, 第三步 -2-/10 10a+b2-16b+89=0,则这个三角形的最大边c 我们称该同学的这种解法为“平均数法”. 的取值范围是 ) (x-1)2=-2<0.…第四步 (1)下面是该同学用“平均数法”解方程(x+ A.c>8 B.5<c<8 所以原方程没有实数根。 2)(x+6)=5时写的解题过程： C.8<c<13 D.5<c<13 根据小明的解题过程，解答下列问题： 解：原方程可变形为[(x+a)-b][(x+a)+ 7.对于任意实数a,b,c,规定【a,b】⑧c=ac (1)上述过程中，从第 步开始出现了 b]=5, b,例如，【2,3】⑧1=2×1-3=-1，若关于x的错误； 所以(x+a)2-=5,所以(x+a)2=5+b2. 方程【x,x+1】⑧mx=0有两个不相等的实数根，(2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程 则m的取值范围为 直接开平方并整理，得x1=m,x2=n ）的方法) 上述过程中a,b,m,n表示的数分别是 Am<日 1 B.m>-4 (2)请用“平均数法”解方程：(x-3)(x+1) C.m>-子且m≠0Dm<子且m≠0 =5. 8.若关于x的方程a2+bx+c=0的解是x =3,x2=-5,则关于y的方程a(y-1)2+b(y- 1)+c=0的解是 A.y1=3,2=-5B.y1=-3,y2=5 17.(10分)已知关于x的一元二次方程x2- C.y1=-3,y2=-5D.y1=4,y2=-4 :(k+4)x+4k=0. 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (1)求证：该方程总有两个实数根： 9.已知关于x的一元二次方程(x+1)2=m有 (2)若该方程有一个根小于1，求k的取值范 解，则m的取值范围是 围 10.关于x的一元二次方程(x+2)(x-2) 3x=0的一般形式是 11.若关于x的方程(m-2)x2-2+2x-3=0 是一元二次方程，则m= 12.方程x2-3x-2=0的最小一根的倒数是 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)