第14章全等三角形单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第14章 全等三角形 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列说法错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形叫全等形 B．面积相等的两个图形是全等形 C．全等形是形状、大小相同的图形 D．平移、旋转前后的图形是全等形 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形的定义，正确利用全等图形的性质与定义分析是解题关键． 根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形，判断即可． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形是全等形，正确，不合题意； B、面积相等的两个图形不一定是全等形，故此选项错误，符合题意； C、全等形是形状、大小相同的图形，正确，不合题意； D、平移、旋转前后的图形是全等形，正确，不合题意； 故选：B． 2．如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据两个三角形全等即可得出的对边为，进而可得出，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴对边为， ∴， 故选：． 3．如图，为测量荷花池两岸相对的两点之间的距离，小颖在荷花池外取一点，连结并延长至点，使，连结并延长至点，使，小颖通过测量得到的长度为，由此她得到荷花池的宽度为，她得到这一结论的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据已知条件证明，即可判断． 【详解】在和中， ∴ ∴ 故选：B． 4．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．过作于，证，得到，，；而点是的中点，得到，则可证得，得到，，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过作于，如图， ，平分， ，， 在和中， ， ， ，，； 而点是的中点， ，所以③错误，不符合题意； ， ，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意； 故选：A． 5．如图，在中，，，于点，且，连接．用含的式子表示的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 过D作交延长线于E，证明，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，过D作交延长线于E， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B．，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C．，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D．，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意， 故选：C． 7．的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【详解】解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选：D． 8．如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作于点G，可证明，得，，而，所以，再证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：作于点G，则， ∵， ，，， ∴， 四边形是梯形， ， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，连接，作于点，于点，先证明，根据条件算出的面积，再求出与的比值即可解决问题． 【详解】设与相交于点，连接，作于点，于点，如图所示：       ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即和重叠部分的面积为， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系． 10．如图，在中，、分别是、的角平分线，且、交于点，于点，下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质找边之间的关系．过点作，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可知、、，根据三角形内角和定理可知，根据三角形外角的性质可知，根据直角三角形的性质可知，从而可知成立；由可知，根据三角形的面积公式可知成立；由可知，根据全等三角形的性质可证，同理可证：，，所以可知的周长为，从而可知成立；由可知，故错误． 【详解】解：如下图所示，过点作，， 平分， ，， 平分，， ，， 在和中，， ， ，， 在中，， ， 是的外角， ， 又， ， ， ， 故正确； 由可知， ， 故正确； 由可知， ， 同理可证：，， ，，， ， ， ， 故正确； 由可知，， ， 故错误； 综上所述，正确的结论有． 故选：A． 二、选择题（每小题3分，共18分） 11．如图，为上一点，点分别在两侧．，，若，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据线段的和差关系整理得，根据平行线的性质得，进而证出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、三角形面积公式是解题的关键．过点D作交延长线于点M，证明（），则，所以，即可求． 【详解】解：过点D作交延长线于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为3． 13．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 14．中，边上的中线，则a的取值范围是 【答案】 【分析】此题主要考查三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到，使，连接，证明，得到，利用三角形三边关系得到，代入求解即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∵是中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围是， 故答案为：． 15．如图，在中，点为边的中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、平行线的性质．本题可先证明三角形全等，得出线段关系，再通过中点与三角形面积公式求解． 【详解】解：点为边的中点，， ，，， ， ， ，； 点为边的中点， ， 的高为2， ， 的面积为6． 16．如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据条件无法证明③④． 【详解】解：①∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，A，C，D三点共线，和落在的同侧，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行得到，证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段的和差关系即可得证． 【详解】（1）证明： ． 在和中， ． （2）证明：， ， ． 18．（8分）如图，是的高，E为上一点，交于点F，且，． (1)判断与的关系并证明； (2)连接，求的大小． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，得，，即可作答； （2）如图所示，连接，过点D作交于点M，过点D作于点N，由得到，证明出是的平分线，进而求解即可． 【详解】（1）解：，，证明如下： ∵为的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点D作交于点M，过点D作于点N， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的平分线， ∴． 19．（10分）（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【详解】（1）证明：直线直线m， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：成立．证明如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． 20．（10分）如图，在中，于点D． (1)尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中 ∵且 ① ， 在中 ∵ ， ， ， ② ， 又∵平分 ∴ ∵ ③ ， ∴ ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查尺规作图，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。 （1）以点为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于两点，，以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）先由三角形的内角和定理可求得，，进而得到，再由角平分线定理可得，最后根据， 即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：在中， ∵且， ， 在中， ∵， ， ， ， ， 又∵平分， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：，，，． 21．（10分）如图，已知在中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，某一时刻能够使与全等？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为时，某一时刻能够使与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）经过1秒后，，由已知可得，，即据可证得． （2）可设点Q的运动速度为,经过与全等，则可知,据（1）同理可得当或时两三角形全等，求x的解即可． 【详解】（1）解：．理由： ，点D为的中点， ． 经过后，． 在和中， ． （2）设点Q的运动速度为， 经过，与全等， 则． ，根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况： ①当且时， 与全等，即且， 解得． ， 舍去此情况； ②当且时， 与全等，即且， 解得， 故若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为时，某一时刻能够使与全等． 22．（13分）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 23．（13分）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)选择条件②，见解析 (2)①②④ (3)或 【分析】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）选择条件②，利用证明即可； （2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可； （3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：过点作的对称点， 则：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴，， ∴；故④正确； 无法得到，故③错误； 综上：正确的是①②④； （3）作于点，于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当分别与重合时，满足， 则：， 当与不重合时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第14章 全等三角形 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列说法错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形叫全等形 B．面积相等的两个图形是全等形 C．全等形是形状、大小相同的图形 D．平移、旋转前后的图形是全等形 2．如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，为测量荷花池两岸相对的两点之间的距离，小颖在荷花池外取一点，连结并延长至点，使，连结并延长至点，使，小颖通过测量得到的长度为，由此她得到荷花池的宽度为，她得到这一结论的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 5．如图，在中，，，于点，且，连接．用含的式子表示的面积为（   ） A． B． C． D． 6．根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 7．的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 8．如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 9．如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 10．如图，在中，、分别是、的角平分线，且、交于点，于点，下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 二、选择题（每小题3分，共18分） 11．如图，为上一点，点分别在两侧．，，若，，则的度数为 ． 12．如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 13．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 14．中，边上的中线，则a的取值范围是 15．如图，在中，点为边的中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为 ． 16．如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，A，C，D三点共线，和落在的同侧，，． 求证： (1)； (2)． 18．（8分）如图，是的高，E为上一点，交于点F，且，． (1)判断与的关系并证明； (2)连接，求的大小． 19．（10分）（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 20．（10分）如图，在中，于点D． (1)尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中 ∵且 ① ， 在中 ∵ ， ， ， ② ， 又∵平分 ∴ ∵ ③ ， ∴ ④ ． 21．（10分）如图，已知在中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，某一时刻能够使与全等？ 22．（13分）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 23．（13分）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $