精品解析：重庆市西南大学附中2020—2021学年下学期开学考试八年级数学试题

重庆市北碚区西南大学附中2020－2021学年八年级（下）入学数学试卷 一、选择题 1. 函数自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. ，， C D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一边对应相等的两个等腰三角形全等 B. 有两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 C. 三角形三条边上的高的交点到三个顶点的距离相等 D. 三角形三个内角的角平分线交点到三边的距离相等 7. 估计的值应在（ ）． A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 8. 一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣x（k，b为常数，且kb≠0），它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架书中记载了一道有趣的数学问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问：金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（ ） A B. C. D. 11. 若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，点P是的中点，的延长线于点E，连接，过点A作交于点F，连接；下列结论：①②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ①③⑤ 二、填空题 13. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是_________． 14. 若函数是一次函数，则____________． 15. 若的整数部分是，小数部分是，则代数式__________． 16. 将函数的图象向左平移3个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为______． 17. 2020年新年，武汉爆发的新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，一方有难，八方支援，各地纷纷驰援武汉．某地组织的蔬菜驰援车队从甲地出发匀行驶前往武汉，一段时间后，在甲地的驰援领导小组发现车队漏带有机蔬菜检测证书，于是驰援领导小组立即派一辆轿车匀速前去追赶车队，轿车追上车队后以原速原路返回甲地．车队拿到检测证书后以原速度的倍快速赶往武汉，并在从甲地出发后15小时到达武汉（车队被轿车追上交流时间忽略不计）轿车与车队之间相距的路程（米）与车队从甲地出发到武汉的行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，则轿车返回到甲地时，车队距离武汉的路程为______千米． 18. 为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有克核桃仁，克巴旦木仁，克黑加仑；乙种每袋装有克核桃仁，克巴旦木仁，克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价元，甲每袋坚果的售价为元，利润率为，乙种坚果每袋利润率为．若公司销售这种混合装的坚果总利润率为，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数量之比是______． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 小张根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究过程，请你补充完整： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 －1 0 k 2 … （1）表中的______； （2）在图中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质______； （3）已知直线与函数的图象相交，则当时，的取值范围是______； 22. 如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若于点E，，，求点E到的距离． 23. 某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包进价多元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，种书包每个售价是元，种书包每个售价是元．请解答下列问题： （1），两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包至少购进个，购进，两种书包的总费用不超过元，若全部售完，则该商场如何进货才能获得最大利润？写出方案并求出最大利润． 24. 如图，在中，，点为边上两点，且． （1）若且，求线段长度； （2）若于点于点，且，求证：． 25. 若一个四位自然数满足个位与百位相同，十位与千位相同，我们称这个数为“双子数”．将“双子数”m百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数m'，记为“双子数”m的“双数”．例如，，则． （1）计算的“双数”______． （2）若“双子数”m的“双数”的是一个完全平方数，求的值； （3）已知两个“双子数”p、q，其中（其中，，，且a、b、c、d都为整数），若p的“双数”能被整除，且p、q的“双数”满足，求的值． 26. 如图，一次函数分别与轴、轴交于点和点，一次函数与轴交于点，且它们的图象交于点， （1）求这两个一次函数的函数解析式； （2）在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值； （3）在（2）的条件下，以为一腰作等腰，直接写出所有符合的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市北碚区西南大学附中2020－2021学年八年级（下）入学数学试卷 一、选择题 1. 函数自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式定义以及分母不能为是解题的关键．根据分母不能为以及二次根式定义，然后进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意可知：，即 ，即 综上所述，函数自变量的取值范围是且 故选：C 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义． 利用轴对称图形的定义，即在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图形是轴对称图形，符合题意； C. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：A.，故A错误； B.无法合并，故B错误； C.，故C错误； D.． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数得到不等式组，解之即可得到答案． 【详解】点在第四象限， ， 解得． 故选：A． 【点睛】此题考查直角坐标系各象限内点坐标的特点及解不等式组，正确掌握象限内点的坐标特点是解题的关键． 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意； ∵， ∴为直角三角形，故C符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故D符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一边对应相等的两个等腰三角形全等 B. 有两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 C. 三角形三条边上的高的交点到三个顶点的距离相等 D. 三角形三个内角的角平分线交点到三边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定、三角形的高和角平分线的性质判断即可． 【详解】解：A、一边对应相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题； B、有两边及第三边上的高对应相等的三角形不一定全等，原命题是假命题； C、三角形三条边上的高的交点到三个顶点的距离不相等，原命题是假命题； D、三角形三个内角的角平分线交点到三边的距离相等，是真命题； 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、三角形的高和角平分线的性质等知识，难度不大． 7. 估计的值应在（ ）． A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用二次根式乘法运算法则计算得到结果，再估算即可． 【详解】， 又，所以， 即的值应在2到3之间． 故选：B． 8. 一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣x（k，b为常数，且kb≠0），它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx﹣b图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断y＝x的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＞0，＜0；正比例函数y＝x的图象可知＞0，故此选项错误； B、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，b＜0，＜0；正比例函数y＝x的图象可知＞0，故此选项错误； C、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，b＜0，＜0；正比例函数y＝x的图象可知＜0，故此选项正确； D、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＜0，＞0；正比例函数y＝x的图象可知＜0，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架书中记载了一道有趣的数学问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问：金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据黄金9枚和白银11枚重量相同可得，根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两可得，据此可得方程组． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确找出题中的等量关系，属于基础题型． 10. 如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可． 【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF， 在△BAF和△EAF中， ∴△BAF≌△EAF(SAS) ∴BF=EF ∴AF⊥BE 又∵AF＝4，AB＝5， ∴ 在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h， ∴ 即 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 在Rt△BDF中，，， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11. 若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式方程，找出能使分式方程的解为正整数的的值，注意分式方程无解的情况；解一元一次不等式组，找出不等式组有且仅有个整数解时的取值范围，综合起来找出符合所有条件的整数后即可得解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项和合并同类项，得， 当时，分式方程无解， 当时， 系数化为，得， ∵，， ∴或， 即， 关于的分式方程的解为正整数， 或或； ， 由得， ， 由得， 要使关于的不等式组有且仅有个整数解， 即范围内有个整数解， ， ， 综上，满足条件的所有整数为，，和为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数，解题关键是熟练掌握分式方程及不等式组 的解法． 12. 如图，在正方形中，点P是的中点，的延长线于点E，连接，过点A作交于点F，连接；下列结论：①②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ①③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由同角或等角的余角相等证明，，从而得证，故①正确；于是是等腰直角三角形，过点A作于M，则，求证，得，得②正确；求证，证得，，故④正确；在中，，可推证，于是③错误；由，可得，于是，故⑤错误． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴， ∵在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， 过点A作于M，则， ∵点P是中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，；故④正确； 在中，， ∵， ∴， ∴不是等边三角形，故③错误； ∵， 又∵， ∴. ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，运用全等三角形工具求证线段或角相等是解题的关键． 二、填空题 13. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若函数是一次函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】一般地，形如的函数，叫做一次函数. 详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征: ，自变量的次数为1；常数项可以为任意实数. 15. 若的整数部分是，小数部分是，则代数式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键． 先估算出的范围，然后求得、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：． 16. 将函数的图象向左平移3个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查函数的平移、一次函数与坐标轴的交点及三角形面积公式问题，掌握平移的规律及面积公式是解题的关键． 根据平移可得解析式为，再求出直线与坐标轴的交点坐标，计算面积即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移3个单位长度， 平移后的解析式为：， 所以该直线与坐标轴的交点坐标分别为，， 则构成的封闭图形的面积． 故答案为：1． 17. 2020年新年，武汉爆发的新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，一方有难，八方支援，各地纷纷驰援武汉．某地组织的蔬菜驰援车队从甲地出发匀行驶前往武汉，一段时间后，在甲地的驰援领导小组发现车队漏带有机蔬菜检测证书，于是驰援领导小组立即派一辆轿车匀速前去追赶车队，轿车追上车队后以原速原路返回甲地．车队拿到检测证书后以原速度的倍快速赶往武汉，并在从甲地出发后15小时到达武汉（车队被轿车追上交流时间忽略不计）轿车与车队之间相距的路程（米）与车队从甲地出发到武汉的行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，则轿车返回到甲地时，车队距离武汉的路程为______千米． 【答案】400 【解析】 【分析】观察图象可知，第6小时时轿车与车队的距离为0，即轿车追上了车队，此后匀速增大至第10小时，距离为680千米，第10小时以后图象出现转折，即轿车已经返回甲地，因此车队第 10小时时距离甲地680千米，由此解答即可． 【详解】解：观察图象可知，第6小时时轿车与车队的距离为0，即轿车追上了车队，此后匀速增大至第10小时，距离为680千米，第10小时以后图象出现转折，即轿车已经返回甲地，因此车队第10小时时距离甲地680千米． 设车队原来速度为每小时x千米，根据题意得： 6x+(10-6)=680 解得：x=60 =80 观察图象可知，轿车回到甲地时间为第10小时，此后车队有经过（15-10）个小时到达武汉，所以轿车回到甲地时，车队距离武汉的路程为80=400千米． 故答案为：400． 【点睛】本题考查了利用一次函数图形解决实际问题，解题的关键是第6小时时轿车与车队的距离为0，即轿车追上了车队，此后匀速增大至第10小时，距离为680千米，第10小时以后图象出现转折，即轿车已经返回甲地，因此车队第10小时时距离甲地680千米． 18. 为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有克核桃仁，克巴旦木仁，克黑加仑；乙种每袋装有克核桃仁，克巴旦木仁，克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价元，甲每袋坚果的售价为元，利润率为，乙种坚果每袋利润率为．若公司销售这种混合装的坚果总利润率为，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数量之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的应用，解题关键是利用利润、成本价与利润率之间的关系列出方程，理解题意得出等量关系． 根据题意，先求出克巴旦木和克黑加仑的成本之和，然后求出乙种坚果的成本及售价，再设甲种坚果袋，乙种坚果袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种坚果数量之比． 【详解】解：设克巴旦木成本价元，和克黑加仑成本价元， 根据题意得， ， 甲种坚果的成本价（元）， 乙种坚果的成本价（元）， 乙种坚果的售价为（元）， 设甲种坚果有袋，乙种坚果有袋， 则， 解得， 即该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数量之比是． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，0指数幂，负指数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则及相关知识． （1）根据0指数幂，负指数幂，绝对值直接求解即可得到答案； （2）先根据根式乘除法则直接求解，再合并同类二次根式即可得到答案． 【小问1详解】 原式＝； 【小问2详解】 原式 ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握解方程的方式是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【小问1详解】 方程两边都乘以得： ， 解得x＝， 检验：当x＝时，， ∴x＝是原方程的根； 【小问2详解】 原方程变形为， 方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． 21. 小张根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究过程，请你补充完整： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 －1 0 k 2 … （1）表中的______； （2）在图中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质______； （3）已知直线与函数的图象相交，则当时，的取值范围是______； 【答案】（1） （2）见解析，函数的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查函数图象与性质，熟练掌握描点法作函数图象，数形结合是解决问题的关键． （1）把代入，得，即可得到答案； （2）利用描点法画出函数图象，由图象即可得到答案； （3）在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，由图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：该函数的图象如图所示： 由图象可知，函数的最小值为， 故答案为：函数的最小值为； 【小问3详解】 解：在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 22. 如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若于点E，，，求点E到的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识． （1）根据证明三角形全等即可； （2）过点E作于H，利用全等三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于H， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 即点E到的距离为． 23. 某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价多元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，种书包每个售价是元，种书包每个售价是元．请解答下列问题： （1），两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包至少购进个，购进，两种书包的总费用不超过元，若全部售完，则该商场如何进货才能获得最大利润？写出方案并求出最大利润． 【答案】（1）每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元． （2）购进个种书包，个种书包，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的分式方程、不等式组及一次函数． （1）设每个种书包的进价为元，则每个种书包的进价为元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）设购进种书包个，则购进种书包个，根据题意列出一元一次不等式组后求解，找出合适的值，设该商场销售，两种书包获利元，列出关于的函数关系式后，结合一次函数的性质，即可求出何时取得最大利润． 【小问1详解】 解：设每个种书包的进价为元，则每个种书包的进价为元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元． 【小问2详解】 解：设购进种书包个，则购进种书包个， 依题意得， 解得， 又为整数， 可以为，，， 设该商场销售，两种书包获利元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值为． 答：购进个种书包，个种书包，最大利润为元． 24. 如图，在中，，点为边上两点，且． （1）若且，求线段的长度； （2）若于点于点，且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由两个三角形全等的判定得到，进而确定，在和中，由勾股定理求出相关线段长度，数形结合代入即可得到答案； （2）在上取一点，使，连接，如图所示，先由两个三角形全等的判定得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 解得， ∴， ， ， ； 小问2详解】 证明：在上取一点，使，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ，即． 【点睛】本题考查几何综合，涉及垂直定义、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、邻补角定义、互余定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 25. 若一个四位自然数满足个位与百位相同，十位与千位相同，我们称这个数为“双子数”．将“双子数”m的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数m'，记为“双子数”m的“双数”．例如，，则． （1）计算的“双数”______． （2）若“双子数”m的“双数”的是一个完全平方数，求的值； （3）已知两个“双子数”p、q，其中（其中，，，且a、b、c、d都为整数），若p的“双数”能被整除，且p、q的“双数”满足，求的值． 【答案】（1） （2）值为4或或 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及新定义，理解题中新定义的运算方法及实数的运算是解题的关键， （1）根据“双数”的定义计算即可得到答案； （2）设“双子数”m的个位数字和十位数字分别为x，y，根据“双数”的定义得到，再由是一个完全平方数计算即可得到答案； （3）由“双子数”p， ，可得，再由“双数”能被整除，由计算过程可得，，从而得到“双子数”p为，即；再由“双子数”，得到，由于，得到，分类讨论可得“双子数”q为或，从而得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知，的“双数”为： ． 【小问2详解】 解：设“双子数”m的个位数字和十位数字分别为x，y，， 则数字m为， ∴“双子数”为， ∴， ∵，， ∴， ∵是一个完全平方数， ∴一个完全平方数， ∴或或， ∴或或； 【小问3详解】 解：∵“双子数”p， ， ∴， ∵“双数”能被整除， ∴是的倍数， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴“双子数”p为，， ∵“双子数”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，c、d都为整数， ∴c为奇数，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， ∴“双子数”q为或， ∴或， 故的值为或． 26. 如图，一次函数分别与轴、轴交于点和点，一次函数与轴交于点，且它们的图象交于点， （1）求这两个一次函数的函数解析式； （2）在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值； （3）在（2）的条件下，以为一腰作等腰，直接写出所有符合的点的坐标． 【答案】（1）和 （2） （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把点分别代入和中，求出即可得到答案； （2）由直线与坐标轴的交点求法，得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，由，代值解方程即可得到答案； （3）由等腰直角三角形性质，分和，由三角形全等的判定与性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点分别代入和中， 解得， ∴一次函数解析式为和； 【小问2详解】 解：当时，代入，解得， ∴点的坐标为， 当时，代入和中， 解得和， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， 即， ∴， 则， 或， 解得或， ， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由（2）得， 当时，过作，垂足为，如图所示： ， ， ， ， ∵等腰以为腰， ， 在和中， ， ， ， ∴点坐标为或； 当时，过作，垂足为，如图所示： 同理可得点坐标为或； 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、一次函数图象与性质、绝对值方程、等腰直角三角形性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $