精品解析：黑龙江省大庆第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（五四学制）

2025-2026学年黑龙江省大庆一中九年级（上）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 5. 根据函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 8. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 9. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 10. 如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 若，则_______． 12. 反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 13. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 14. 某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，则袋中红色球是______个． 15. 如图是某物体的三视图，则此物体的体积为_____（结果保留π）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆BC两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为______． 17. 已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作正方形，则点的坐标为________． 19. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是_____．（填序号） 20. 如图四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，求的最小值______． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 23. 某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动．学校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史．为了解该校九年级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查（每名学生仅选择一类书），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题： （1）参与调查的学生共有______人，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是______； （3）若九年级学生共有1200人，请估计九年级选择科技书的学生人数； （4）已知选择B类的学生中恰好有2名女生、4名男生，现从中抽取2名学生参加学校科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的概率． 24. 如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． 25. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 26. 直线y＝x+b与双曲线y＝交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B． （1）直接写出b＝　 　，m＝　 　； （2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为　 　； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 某数学小组用三角形纸片对折叠进行了探究．如图，在三角形纸中，，，，是的中线，P是上的动点不与点B，C重合，将沿折叠，点B落在点E处，交线段于点 【初步感知】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）在折叠过程中，试探究是否能成为直角三角形．若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在折叠过程中，当的边恰好过的中点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年黑龙江省大庆一中九年级（上）开学数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； A．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； B．，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； C．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠性质．根据矩形的性质，可得，从而得到，再由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故选：B 3. 若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由参数值，判断函数图象所在的象限：时，图象在第一，三象限；时，图象在第二，四象限，判断求解． 【详解】解：∵， ∴在第二，四象限，在第一，三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查正比例函数，反比例函数的图象，掌握函数图象的特征是解题的关键． 4. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 【答案】D 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 5. 根据函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例的函数得出图像即可． 【详解】解：当时，即， 得； 由的图像知，当时，的取值范围是或． 故选D． 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况， ∴可配成紫色的概率是： 故选D． 7. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 8. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 9. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形CEMF是矩形， ∴， ∵点P是EF的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12. 反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 13. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于_____________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和及一元一次方程的应用，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，则袋中红色球是______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，正确理解频数与频率的关系是解题的关键根据“频数总数频率”计算即可． 【详解】解：∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在， ∴袋中红色球是个， 故答案为：． 15. 如图是某物体的三视图，则此物体的体积为_____（结果保留π）． 【答案】π 【解析】 【分析】由已知中的三视图，可以判断出该物体是由下部分为底面直径为10、高10的圆柱，上部分是底面直径为10，高为5的圆锥组成的，代入圆柱、圆锥的体积公式，即可得到答案． 【详解】解：由三视图知，该物体是由下部分为底面直径为10、高10的圆柱，上部分是底面直径为10，高为5的圆锥组成的． ∴体积＝V圆柱+V圆锥＝． 故答案为：π． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，圆柱和圆锥的体积，其中根据三视图准确分析出几何体的形状及底面半径、高等关键数据是解答本题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆BC两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解是解决此类问题的基本方法．利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：如图，设交x轴于点D，交x轴于点E，作轴于点N，交于点M， 木杆两端的坐标分别为，， ∴，， ∽， ， ∵， ∴，， 即， 解得：， 木杆BC在x轴上的投影长为． 故答案为： 17. 已知菱形边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程的两根，则这个一元二次方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，设出对角线长，利用菱形面积公式和勾股定理得到关于对角线长的两个等式，再结合根与系数的关系确定一元二次方程． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，． ∵菱形面积等于对角线乘积的一半，且面积为 ∴，即 又∵菱形对角线互相垂直平分，边长为，根据勾股定理，，化简得 由完全平方公式，把，代入，可得， ∴（因为对角线长为正，舍去负根） ∵，是一元二次方程的两根，根据韦达定理，两根之和，两根之积 ∴，即； ∴这个一元二次方程为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、完全平方公式以及根与系数的关系，熟练掌握菱形性质和根与系数的关系是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作正方形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 过点作轴于点，证出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，则，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 19. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】通过设点坐标，利用反比例函数性质、相似三角形判定与性质，结合矩形判定及性质，分别对各结论进行推导验证。先根据反比例函数的几何意义判断四边形；再通过相似三角形得出线段比例关系和角的关系，判断；接着确定直线解析式，联立方程求出点坐标，结合矩形性质判断；最后利用相似三角形和线段关系验证 。 【详解】解：点，点在反比例函数的图象上， ， ；故③正确； 如图，过点作于，延长交轴于， ∵ ， ， ， ， 同理可证：， ， 又， ，，故④错误， ，故①正确； 设点坐标为（因为在上），直线的解析式为（）， 把代入，可得，即， ∴直线解析式为． 联立， ∴，即， ∵在第一象限， ∴，，即． 在上（轴，横坐标为，所以横坐标为）， 把代入，得， ∴． 由，设直线解析式为，把代入得，即， ∴直线解析式为． 是与的交点，联立， ∴，即， ∵在第一象限， ∴，则，即． ∴轴， ∵轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴，故②正确， 设点，则点，点， ，， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质、矩形的判定及性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握利用参数表示线段长，结合反比例函数与相似三角形知识推导结论是解题的关键。 20. 如图四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，求的最小值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，延长至，使，并过作直线于，连接，可证，可得，，进而可证，得到，即得到，利用线段垂直平分线的性质得，即可得，可知当在线段上时，取最小值，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长至，使，并过作直线于，连接， ，， ∵四边形和四边形是矩形， ，，， ∴， ∵， ， ， ， 即， ， ∴，， ，， 即， 又， ， ， ， ， ， 为垂直平分线． ∴， ∴， 当在线段上时，取最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）移项，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． （2）利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 或， ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ， ， 22. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 【小问1详解】 解：由题意得：且 解得：且 【小问2详解】 解：由题意得： ∵， ∴， 解得：（舍） 经检验，是原方程的解 ∴ 23. 某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动．学校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史．为了解该校九年级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查（每名学生仅选择一类书），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题： （1）参与调查的学生共有______人，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是______； （3）若九年级学生共有1200人，请估计九年级选择科技书的学生人数； （4）已知选择B类的学生中恰好有2名女生、4名男生，现从中抽取2名学生参加学校科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）60，补全条形统计图如图； （2） （3）120人 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C的人数，再补全统计图即可； （2）用360度乘以D的人数占比即可得到答案； （3）用1200乘以样本中B的人数占比即可得到答案； （4）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到所选取的两名学生恰好是一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴参与调查的学生共有60人， ∴C：数理的人数为：人， 【小问2详解】 解， ∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计九年级选择科技书的人数为120人； 【小问4详解】 解：列表如下： 男1 男2 男3 男4 女1 女2 男1 男2男1 男3男1 男4男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 男3男2 男4男2 女1男2 女2男2 男3 男1男3 男2男3 男4男3 女1男3 女2男3 男4 男1男4 男2男4 男3男4 女1男4 女2男4 女1 男1女1 男2女1 男3女1 男4女1 女2女1 女2 男1女2 男2女2 男3女2 男4女2 女1女2 由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种． ∴P（一男一女）． 24. 如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 26. 直线y＝x+b与双曲线y＝交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B． （1）直接写出b＝　 　，m＝　 　； （2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为　 　； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-4，5；（2） x＜﹣1或0＜x＜5；（3）存在，D的坐标是（6，0）或（20，0）． 【解析】 【分析】（1）把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值； （2）根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值； （3）求得△OAB的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得． 【详解】解：（1）把A（﹣1，﹣5）代入y＝x+b得：﹣5＝﹣1+b，解得：b＝﹣4． 把A（﹣1，﹣5）代入y＝，得：m＝（﹣1）（﹣5）＝5． 故答案是：﹣4，5； （2）解集为：x＜﹣1或0＜x＜5， 故答案是：x＜﹣1或0＜x＜5； （3）OA＝＝， 在y＝x﹣4中，令x＝0，解得y＝﹣4，则B的坐标是（0，﹣4）． 令y＝0，解得：x＝4，则C的坐标是（4，0）． 故OB＝4，AB＝＝，BC＝4，OC＝4． ∴OB＝OC，即△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BCE＝135°． 过A作AF⊥y轴于点F．则△ABF是等腰直角△，∠ABF＝45°，∠ABO＝135°． 1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似； 2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD＝x﹣4， ∠ABO＝∠BCD＝135°， 当△AOB∽△DBC时，＝，即＝， 解得：x＝6， 则D的坐标是（6，0）； 当△AOB∽△BDC时，，即＝， 解得：x＝20， 则D的坐标是（20，0）． 则D的坐标是（6，0）或（20，0）． 【点睛】本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到∠ABO＝∠BCD＝135°是解本题的关键． 27. 某数学小组用三角形纸片对折叠进行了探究．如图，在三角形纸中，，，，是的中线，P是上的动点不与点B，C重合，将沿折叠，点B落在点E处，交线段于点 【初步感知】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）在折叠过程中，试探究是否能成为直角三角形．若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在折叠过程中，当的边恰好过的中点时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：，，， ， 是的中线， ， 由折叠的性质得：， ， ∽， ， ； （2）能成为直角三角形，的长为或 （3）当的边恰好过的中点时，的长为3或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理得到设，则，则，，，，利用勾股定理求得x值，则结论可求；②当时，过点D作于点H，利用三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当边经过的中点G时，连接，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可得出结论；②当边经过的中点G时，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：能成为直角三角形．的长为或理由： ①当时，如图， 由题意得：，， 由（1）得：，， 在中，， 设，则， ， ，，， ， ， 或不合题意，舍去， ； ②当时，过点D作于点H，如图， 由题意得：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ∴， 为的中点， ∴， 为的中位线， ，， ， 综上，能成为直角三角形．PC的长为或 （3）解：当的边恰好过的中点时，的长为3或理由： ①当边经过的中点G时，连接，如图， 为的中点，D为的中点， 为中位线， ∴，，， ， 由题意得：， ， ， ； ②当边经过的中点G时，如图， 为的中点，D为的中点， 为中位线， ∴， ， 由题意得：，， ， ， ， 综上，当的边恰好过的中点时，的长为3或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，折叠的性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $