精品解析：江苏省南京市科利华中学2025～2026学年九年级上学期期初数学作业单

2025~2026学年九年级第一学期数学学科作业单 （时间115分钟，满分120分） 一、选择题（共6小题，共12分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　） A. 当AC＝BD时，它是正方形 B. 当AC⊥BD时，它是矩形 C. 当∠ABC＝90°时，它是菱形 D. 当AB＝BC时，它是菱形 4. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 5. 如图，在中，，点分别是上的点，，，点分别是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（ ）． A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 二、填空题（共10小题，共20分） 7. 若分式的值为0，则x的值是______． 8. 如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a=_____ 9. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 11. 两年前某型号汽车的生产成本是14万元/辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为12万元/辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为，则可列方程为______． 12. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则________． 13. 反比例函数y＝的图象经过点P(a、b)，其中a、b是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两根，那么点P的坐标是________． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，满足，那么的值为______． 15. 若，是方程的两根，则的值为______． 16. 如图，在矩形A中，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为________． 三、解答题（共11题，共88分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 已知，如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求的值； （3）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 21. 如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 22. 直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件． （1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件； （2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ 23. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为______； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作轴，与反比例函数的图象交于点Q，当的面积为6时，求点Q的坐标． 25. 用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在中，，在上确定一个点E，使得． （2）如图，已知，在平面内确定一个点E，使得． 26. 已知m、n、p分别是的三边长，且． （1）求证：关于x的一元二次方程必有实数根； （2）若是一元二次方程的一个根，且的周长为．求的面积． 27. 如图，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针方向旋转． （1）如图，将矩形的顶点旋转至边上，求的长； （2）如图，继续旋转矩形，使点落在的延长线上．求证：、、在同一条直线上； （3）在（）的条件下，如图，连接交于点，延长交的延长线于点，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年九年级第一学期数学学科作业单 （时间115分钟，满分120分） 一、选择题（共6小题，共12分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】解：A、a=0时，是一元一次方程，故A错误； B、是分式方程，故B错误； C、是二元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：整理得：， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　） A. 当AC＝BD时，它是正方形 B. 当AC⊥BD时，它是矩形 C. 当∠ABC＝90°时，它是菱形 D. 当AB＝BC时，它是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC=BD时，它是矩形，故选项A不符合题意； 当AC⊥BD时，它是菱形，故选项B不符合题意； 当∠ABC=90°时，它是矩形，故选项C不符合题意； 当AB=BC时，它是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法． 4. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 5. 如图，在中，，点分别是上的点，，，点分别是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形中位线的性质，勾股定理，由已知可得，进而由三角形中位线的性质可得，，，再利用勾股定理解答即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， 同理可得，，， ∴， 即， ∴， 故选：． 6. 已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（ ）． A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，若是方程的根，则是解题的关键． 设方程的两根分别为，根据根与系数的关系可得，由题得分别是方程的两根，再利用根与系数的关系得，结合前面的关系即可求解． 【详解】设方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， 又关于的方程的两根分别是方程两根的相反数， 所以方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， ， 解得， ． 故选：A． 二、填空题（共10小题，共20分） 7. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 8. 如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a=_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义可得到3a﹣8＝7，然后解方程即． 【详解】解：∵， 而最简二次根式与可以合并成一个二次根式，即它们是同类二次根式， ∴3a﹣8＝7， ∴a＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了同类二次根式：若把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式． 9. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 11. 两年前某型号汽车的生产成本是14万元/辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为12万元/辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均下降率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为： 12. 如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、等边对等角、旋转的性质，由三角形外角的定义及性质可得，由旋转的性质可得：，，最后由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 反比例函数y＝的图象经过点P(a、b)，其中a、b是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两根，那么点P的坐标是________． 【答案】（-2，-2）． 【解析】 【分析】先根据点P（a，b）是反比例函数y=的图象上的点，把点P的坐标代入解析式，得到关于a、b、k的等式ab=k；又因为a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根，得到a+b=-k，ab=4，根据以上关系式求出a、b的值即可． 【详解】把点P（a，b）代入y=得，ab=k， 因为a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根，根据根与系数的关系得：a+b=-k，ab=4， 于是有： ， 解得， ∴点P的坐标是（-2，-2）． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，满足，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算等，由一元二次方程根与系数的关系可得，，利用完全平方公式把转化为，再代入可得关于的一元二次方程，解方程求出的值，最后根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得或， ∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 15. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∵是方程的根， ∴将代入得，即， 再将其代入到中得 ， 将，代入得 ， 故答案为：12． 16. 如图，在矩形A中，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共11题，共88分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算、分式的混合运算、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉去分母解分式方程，配方法、因式分解及公式法解一元二次方程． （1）方程两边同乘以，转化为整式方程，求解并检验即可； （2）采用配方法解一元二次方程； （3）利用因式分解法解一元二次方程的解法； （4）通过变形，再因式分解求解即可． 【小问1详解】 解： 两边同乘以， 得到， 化简得， 解得, 检验：当时，, 故方程的解为． 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开平方得， 解得． 【小问3详解】 解：， 因式分解得， 则或， 解得． 【小问4详解】 解：， 变形得， 因式分解得， 则或， 解得． 19. 已知，如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，，，进而得到，，再证明得到，即得到，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求的值； （3）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是方程的根， ， ， 解得． 【小问3详解】 ， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 21. 如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 【答案】（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【解析】 【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽； （2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为720cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm． 故答案为40-2x， 24-2x； （2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720， 解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）． 答：x的值为2． 故答案为（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件． （1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件； （2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）40 （2）54元 【解析】 【分析】本题考查的是列式计算，一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）由原销售量20件加上增加的销售量即可得到答案； （2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，由销售量乘以每件的利润，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件小商品的售价为50元时，日销售量为（件）； 【小问2详解】 解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元， 日销售量为：（件）， 依题意得：， 解得：， ， 又∵商家想尽快销售完该款商品， ∴ ， 答：每件售价应定为54元． 23. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 【答案】（1）0和1 （2） 不存在“优值”． 理由如下： 假设存在优值为，则有， 整理得：， 则， ∵无论取何值时，， ∴方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）利用新定义的规定，通过计算判定即可得出结论； （2）假定存在“优值”，得到一元二次方程，利用根的判别式解答即可得出结论； （3）设“优值”为，则有，利用一元二次方程飞解法求得“优值”，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 ∵当时，代数式的值为0， 当时，代数式的值为1， ∴和1都是的“优值”． 故答案为：0和1； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设“优值”为，则有， 整理得：， ∵两个“x优值”差为5， 或 或 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为______； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作轴，与反比例函数的图象交于点Q，当的面积为6时，求点Q的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式和反比例函数解析式，利用交点求不等式取值范围，反比例函数图象和性质及几何结合问题． （1）把代入中得：，即，再将代入中得：，将，代入中即可求得一次函数解析式； （2）将反比例函数和一次函数联立求出交点坐标再结合图象即可得到本题答案； （3）设点，则点，则表示出的面积，继而得到本题答案 【小问1详解】 ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴把代入中得：，即， ∴反比例函数解析式为：， 再将代入中得：， ∴， 即： 将，代入中得：， 解得：， 所以一次函数解析式为：； 【小问2详解】 由（1）得：和， ， 解得：或， 根据图像可知： 在交点的右侧符合，即， 在交点和轴之间符合，即， 综上所述：不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 设点，则点， 则的面积为： ， 解得：或或， 再把上述的的值分别代入，算出的值分别是 即点的坐标为：． 25. 用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在中，，在上确定一个点E，使得． （2）如图，已知，在平面内确定一个点E，使得． 【答案】（1） 如图，点 E即为所求； （2） 如图，点E即为所求的点． 【解析】 【分析】此题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角性质，熟记线段垂直平分线的性质及等边对等角的性质是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，得到，根据等边对等角及三角形的外角性质即可得到． （2）图1：延长，截取，即可满足条件；图2：延长，截取，即可满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 已知m、n、p分别是的三边长，且． （1）求证：关于x的一元二次方程必有实数根； （2）若是一元二次方程的一个根，且的周长为．求的面积． 【答案】（1） 证明：是直角三角形， ， ， ， ， 关于x的一元二次方程必有实数根； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，一元二次方程的根的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，再代入根的判别式计算，证明即可； （2）把代入方程得到，再结合已知求得，从而，再结合，即可求得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程，得， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， 解得， 的面积为． 27. 如图，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针方向旋转． （1）如图，将矩形的顶点旋转至边上，求的长； （2）如图，继续旋转矩形，使点落在的延长线上．求证：、、在同一条直线上； （3）在（）的条件下，如图，连接交于点，延长交的延长线于点，则的长为______． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 根据题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴在同一条直线上； （3） 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求得的长度，即可求解； （）连接，证明四边形是平行四边形，进而即可解答； （）利用平行四边形的性质得到，，再通过勾股定理列方程解得的长，进而即可求解； 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，矩形和矩形重合， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由()知，四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵在同一条直线上， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $