第1章 勾股定理 问题解决策略 反思（课件PPT）-【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

该初中数学单元复习课件聚焦勾股定理应用中的最短路径问题，按圆柱、棱柱、台阶面、平面等情境分类，通过“方法探究-应用-练习”模块梳理知识，以立体图形展开为平面图形为核心方法，构建从理论到实践的知识网络。 其亮点在于注重培养数学眼光中的空间观念与几何直观，如将直四棱柱侧面展开求绕两周彩条长度，通过展开图转化立体问题为平面问题。设计分层练习，从基础选择到综合解答题，如圆柱形玻璃杯内外壁蜂蜜问题，提升推理能力与模型意识，帮助学生巩固转化思想，助力教师精准开展针对性复习。

数 学 2026北师 1 第一章 勾股定理 问题解决策略:反思 2 图1 如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 。在圆柱下底面的点 处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面与点相对的点 处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最 短路程是多少？ 3 【方法探究】 图2 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形 展开成平面图形，再确定， 两点的位置，依据“两点 之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题。如 图2，在圆柱的侧面展开图中，点， 对应的位置如图 所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______ 。 15 4 【方法应用】 图3 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ， 高为，在其侧面从点开始，绕侧面两周装饰彩条至点 停止，求彩条的最短长度。 5 解：将直四棱柱沿展开，取的中点，取的中点 ，连接 ，,如解图1所示，则 为所求的最短彩条长， 。 图1 由题意，得。所以 。 所以。同理， 。 所以。所以彩条的最短长度是 。 6 图4 （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为 ，高为，杯底厚 。在玻璃杯外壁距杯口的点 处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的 内壁底部 处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬 行的最短路程。（玻璃杯的壁厚忽略不计） 7 图2 解：圆柱形玻璃杯的侧面展开图（不含杯底厚）如解 图2所示。 标记点，，作点关于的对称点，连接 交于点，连接，则 。所以蚂蚁爬行 的最短路径长为 。由题 意，易得， ， ， 。 在 中，由勾股定理，得 。 所以 。 所以蚂蚁爬行的最短路程为 。 8 一、圆柱中的最短路径问题 1.如图，圆柱的底面周长为，圆柱的高为 。一只蚂蚁如果 沿着圆柱的表面从下底面 点爬到与之相对的上底面 点，那么它爬行 的最短路程为( ) D A. B. C. D. 9 2.如图，透明的圆柱体形容器（容器厚度忽略不计）的高为， 底面周长为 ，在容器内壁离容器底部的点 处有一饭粒， 此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点 处，则蚂蚁 吃到饭粒需爬行的最短路径是( ) A A. B. C. D. 10 3.如图，圆柱的高为4米，底面圆的周长为3米，将一条彩带从 下底面点开始，绕圆柱1圈后正好到达顶端 处，则彩带最短 需要___米。 5 4.生活情境 如图分别是某滑雪场 型场地的实景图和示意图，该场地可 以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的 半径为，其边缘，点在上， 。 一 名滑雪爱好者从点滑到点，他滑行的最短路线长为____ 。 20 12 5.如图，已知线段 是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为 10，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点， 嵌有一 圈长度最短的金属丝。 （1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____。 C 13 （2）求该金属丝的长度。 解：由（1）选项C中的图,可知这圈金属丝的长度为 。 因为圆柱底面的周长为10，所以。又因为圆柱的高 ，由 勾股定理，得所以该金属丝的长度为26。 14 二、棱柱中的最短路径问题 第6题图 6.如图，一个棱长为3的正方体，把它分成 个小正方 体，小正方体的棱长都是1。一只蚂蚁如果沿着正方体的表面 从点爬到点 ，那么它爬行的最短路程为( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 第7题图 7.如图，在一个长、宽 的长方形纸片上， 放置一根形状为直三棱柱的木块，木块的侧棱平行 且大于纸片的宽，它的底面是边长为 的等边 13 三角形，一只蚂蚁从点爬到点的最短路程是____ 。 15 8.早上，蚂蚁丁丁早早起床锻炼身体，如图，它想从长、宽、高分别为4， 2，1的实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，求 它爬行的最短路线长。 16 解：它爬行的路线可以分三种情况进行讨论： ①展开长方体的前面和右面，如解图1所示。 。 ②展开长方体的前面和上面，如解图2所示。 。 ③展开长方体的左面和上面，如解图3所示。 。 因为 ，所以它爬行的最短路线长为5。 17 三、台阶面的最短路径问题 9.如图，在高为3米、斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度 至少需要( ) D A.4米 B.5米 C.6米 D.7米 18 10.如图所示是一个三级台阶，每一级的长、宽和高分别是 ， ，，和是这个台阶两个相对的端点。若一只壁虎从 点 出发沿着台阶表面爬到 点。 19 （1）画出从点到 点的台阶表面展开图。 解：如解图1所示。 图1 20 （2）求壁虎爬行的最短路线的长。 21 图2 解：连接 ,如解图2所示。 在中， ， 。 由勾股定理，得 ， 所以 。 所以壁虎爬行的最短路线的长为 。 22 四、平面中的最短路径问题 11.如图，，两个小镇在河流 同侧，到河岸的距离 分别为，，且 ，现 在要在河岸上修建一个自来水公司，分别向， 两镇供 水。铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸选择自 来水公司的位置 ，使铺设水管的总费用最低，并求出最 低总费用。 23 解：作点关于的对称点，连接交于点 ， 如解图所示，则点 即为自来水公司的位置。 过点作，交的延长线于点 ， 如解图所示，则 为直角三角形。 在中， ， ， 由勾股定理，得,即 。 所以 。 因为 （万元），所以铺设水管的最低总费用为150万元。 24 $