第13章 三角形 单元测试卷2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第13章 三角形 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（    ） A．2，3，4 B．5，6，12 C．1，5，9 D．2，5，7 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可逐项判断． 【详解】解：A：∵， ∴可以构成三角形； B：∵， ∴不能构成三角形； C：∵， ∴不能构成三角形； D：∵， ∴不能构成三角形． 故选：A． 2．下列图形具有稳定性的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：选项中只有选项A是三角形，根据三角形具有稳定性可得，具有稳定性的是 故选：A． 3．在中，若，则这个三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．由，可得出，结合，可求出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：， ， 又， 即， ， 是直角三角形． 故选：A ． 4．如图，在中，点在上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握外角的定义与性质是解题的关键． 根据题意，根据三角形外角的性质可知，进而即可求出的度数． 【详解】，， ，， ， ， 故选：C． 5．如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断： ①线段是的角平分线； ②与的面积相等： ③线段是的边上的高； ④线段是的边上的中线． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积和三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的定义，三角形面积公式，是解题关键． ①根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断②等底同高的两个三角形的面积相等③根据高线的定义进行判断④根据中线定义进行判断． 【详解】①∵， ∴平分． ∴是的角平分线， 故①正确； ②∵G为中点， ∴， ∴与的面积相等． 故②正确； ③∵， ∴， ∴线段是的边上的高． 故③正确； ④连接， ∵G为中点， ∴， ∴线段是的边上的中线， 故④不正确； ∴正确的个数为3． 故选：B． 6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的认识，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由平行线的性质可得的度数，从而可得，根据三角形外角的性质，计算即可． 【详解】解：根据三角板各角的度数可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 8．若a，b，c能构成三角形的三条边长，则称为“三角形数组”．已知是“三角形数组”，其中a，b均是大于1的整数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是根据三角形三边关系得出不等式，进而分析得出a、b的关系． 先根据判断出与的大小，再依据三角形三边关系列出不等式，推导出，结合、是大于的整数，得出，从而求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 根据三角形三边关系得： ①， ②， 由①得，， 由②得，， 所以， 又因为a，b均是大于1的整数， 所以， 即． 故选：B． 9．已知，不等边三角形的两条高分别为4和12，若第三高也是整数，那么，它的长度最大可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大， 根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【详解】解：∵不等边三角形的两条高的长度分别为4和12， 故根据面积相等可设不等边三角形的两边长为，x； ∵， ∴面积， 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：第三边长度， ∵要求高的最大长度， ∴当第三边最短时，在第三边上的高就越长， 第三边的长高，高，高， ∴高， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故选：B． 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 二、选择题（每小题3分，共15分） 11．在中，、、的度数之比为，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和是180°求出角的度数是解决此题的关键． 先根据三个内角的度数比为，结合三角形内角和定理求出三角形度数即可． 【详解】因为中，、、的度数之比为，三角形内角和为， 所以， 故答案为：． 12．已知的三边长分别为3，4，x，则x的值可以是 ．（只需写出一个满足条件的x即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，4，x， ， 即． 故答案为：5(答案不唯一) 13．如图，在中，的平分线，相交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线求出相关角的度数，再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和求出的度数． 先根据角平分线的定义，由和∠的度数求出和的度数；再依据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），可知等于与的和，进而求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴； ∵平分， ∴； ∵是的外角， ∴； 故答案为：． 14．如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接．的平分线交于点，连接，过点作交于点，作交于点，平分交于点，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形内角和定理，设，则，先求得，即可得到平行于，进而得出，即可得到，再依据内角和即可得到的度数． 【详解】解：设，则 平行于平分 平行于 即 中， 故答案为： 15．如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论： ①；②；③； ④．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角度的证明，角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法． 根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义证明结论②，证明，再结合①的结论可得结论③，证明，再由，可以证明结论④． 【详解】解：如图，设交于点， ①， ， ， ， ，①正确； ②平分， ，， ， ， ，②正确； ③，， ， ， ， ， ， 由①得：， ，③正确； ④，， ， ，， ， ，④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（共75分） 16．（6分）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；4 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，三角形的面积，三角形的高，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）取格点M，N，使点M，N为边的三等分点，即可解答； （2）在线段的延长线上取格点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求． 根据题意得：， ∴． 17．（6分）如图，点C在点B的北偏西方向上，点C在点A的北偏西方向上，点B在点A的北偏东方向上． (1)求的大小； (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理求角是解题的关键． （1）根据方向角的概念可得，即可得解； （2）根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 根据题意，得，， ， ． （2）解：， ， ， ． 18．（6分）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的外角，三角形的高，角平分线，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，证明，求出，即可解答； （2）由平分，得到，可得到，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ， ， 是的高线， ∴， ， ； （2）平分，， ， ∵ 19．（8分）如图，在中，的角平分线交于点H，与的外角平分线相交于点D，连接并延长交直线于E，点F、G分别是射线、上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，邻补角，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件和平角，得到，从而得出，即可证明平行； （2）由题意可得，由（1）可知，，进而得到，再结合角平分线的定义，得到，，再利用邻补角和三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分, ， ，， ， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， 平分， ， ， ． 20．（8分）已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】本题考查的是三角形中线的性质及直角三角形性质， （1）先求出三角形面积，再根据三角形中线性质求出结论； （2）借助三角形面积求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，，， ， ∵点E是的中点， ∴的面积； （2）解：在直角三角形中，于D， ， ∴， ∴ 21．（8分）已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 22．（10分）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 23．（11分）某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，；在图②中， ，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边放在的斜边上（即点D、E在上），并将沿方向移动．在移动过程中（移动开始时点D与点A重合），在沿方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答． (1)能否将移动至某位置，使F、C的连线与平行？如果能，求出的度数； (2)在移动的过程中，与的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)为定值， 【分析】此题主要考查了三角形的外角以及平行线的判定和三角形内角和定理等知识，熟练利用相关定理是解题的关键． （1）要使，则需，进而得出的度数； （2）利用外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：能使， 当时，， 在中， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：与度数之和为定值． 理由：在中， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即与度数之和为定值． 24．（12分）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：平分，平分， ，， ； （3）解：是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级上册数学单元测试卷 第13章 三角形 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，以下每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（    ） A．2，3，4 B．5，6，12 C．1，5，9 D．2，5，7 2．下列图形具有稳定性的是（      ） A． B． C． D． 3．在中，若，则这个三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．如图，在中，点在上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断： ①线段是的角平分线； ②与的面积相等： ③线段是的边上的高； ④线段是的边上的中线． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．若a，b，c能构成三角形的三条边长，则称为“三角形数组”．已知是“三角形数组”，其中a，b均是大于1的整数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知，不等边三角形的两条高分别为4和12，若第三高也是整数，那么，它的长度最大可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、选择题（每小题3分，共15分） 11．在中，、、的度数之比为，则 °． 12．已知的三边长分别为3，4，x，则x的值可以是 ．（只需写出一个满足条件的x即可） 13．如图，在中，的平分线，相交于点，则的度数为 ． 14．如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接．的平分线交于点，连接，过点作交于点，作交于点，平分交于点，若，，则的度数是 ． 15．如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论： ①；②；③； ④．其中正确的是 ． 三、解答题（共75分） 16．（6分）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 17．（6分）如图，点C在点B的北偏西方向上，点C在点A的北偏西方向上，点B在点A的北偏东方向上． (1)求的大小； (2)求的大小． 18．（6分）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 19．（8分）如图，在中，的角平分线交于点H，与的外角平分线相交于点D，连接并延长交直线于E，点F、G分别是射线、上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（8分）已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 21．（8分）已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 22．（10分）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 23．（11分）某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，；在图②中， ，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边放在的斜边上（即点D、E在上），并将沿方向移动．在移动过程中（移动开始时点D与点A重合），在沿方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答． (1)能否将移动至某位置，使F、C的连线与平行？如果能，求出的度数； (2)在移动的过程中，与的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由． 24．（12分）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $