湖北省黄石市2026届高三上学期9月起点考试数学试题

黄石市2026届高三9月起点考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交」 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.设全集U={0,1,2},A={0,1},B={1,2},则C(A∩B)= A.{0,2} B.{1,2} C.{1} D.{0,1} 2.已知a=(1,x),b=(2,-1),且a·b=1,则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.若复数z满足i·z=1-i,则|z= A.1 B.√2 C.5 D.2 4.根据分类变量x与y的观测数据，计算得到X≈0.837，依据小概率值x=0.1(xo1=2.706) 的独立性检验，则 A.变量x与y不独立 B.变量x与y独立 C.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 5.将函数y=ta2x的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则 m的最小值为 A适 B.g c D. 高三数学试卷第1页（共4页） 6已知a<-1,当xe[0,-a-1]时，)=+as的最小值是，则a= B.-√2 3 A.-2 C.- 7.抛物线y2=2px(>0)与直线x+2y-5=0交于A,B两点，0为坐标原点，且满足 0A⊥0B,则p= A分 B.1 4 D 8.已知a,b为正实数，且a≤b+1,若ab+b2+1≥m(a+b)恒成立，则m的最大值为 2-1 B.②+1 C.2-1 2w2-1 A. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=ac,则下列说法正确的是 A.Bc(0,] B.当B最大时，sinC-sinB=sinBcosA成立 c若6=2a,则c> D.若C=牙，则4= 2 10.正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,E是棱AB上的动点（含端点），则 A.A,E+EC的最小值为2√6 B.若E是棱AB的中点，则点A,到平面EB,D的距离为2,6 3 C.记四棱锥A,-ABCD外接球的球心为O,则直线OE与平面ABCD所成角的正切值的 取位用为号，山 D.若M,N分别是棱BC,CC,的中点，则N2在Ni上的投影向量的模长为定值 (e*,x≤0 11.已知函数f(x)= ,方程ff(x)》=m有三个不同的实根x1,2,x3,则 (Inx+1,x>0 A.方程f(x)=m有两个不同的实根 B.m∈[1，e] C.m-1是方程f(f(x))=m的一个根 D.x1+x2+x3<e+ e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.等差数列{an}的公差为2，记前n项的和为Sn,若S11=11,则a1= l3.平面直角坐标系中，直线y=a与y轴，曲线y=2lnx的交点分别为A,B,若曲线y=2nx 在B点处的切线交y轴于C点，则IACl=一 4已知双曲线C1(>0,b>0)的左石焦点分别为P1,2直线y=x-√a+与0 的右支交于A,B两点，P,Q分别为△AFF2,△BF,F2的内心，若1PQ1=√2a,则C的离 心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，在直三棱柱ABC-4B,C中，4M,=AB=方4C=2,ABL8C (1)求证：AB1⊥平面A1BC; (2)求平面A,BC与平面A,ACC,的夹角的余弦值. 16.(15分) 如图，正方形ABCD的边长为a1,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正 方形EFGH,其边长记为a2;然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形 IJKL,其边长记为a2;依此方法一直继续下去，则记第n(n∈N*)个正方形的边长为a.·已 D 知a1= 2,=-logzaz. (1)求an,bn; (2)记第n个正方形区域未被第n+1个正方形区域覆盖的 d 2 面积为s,求使得s+s2++≥ 成立的n的最小值 高三数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 已知函数f(x)=1-cosx x2 (1)判断函数f(x)的单调性； （2)若g国)=-h(os)+牙，证明：g()>e, (3)证明：含cos元>n-3(n≥2，neN): 2 18.（17分) 已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，x(2≤x≤8)个白乒乓球 (1)现甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球， 甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回，且 甲乙摸球相互独立.已知乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率为4： (i)求x的值； ()记专表示游戏结束时甲摸球的次数，求专的分布列和期望 (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄 乒乓球相邻，记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为，若p>分，求：的最小值 19.(17分) 为坐标原点，椭圆工yQ>的右焦点为P,过F的直线L交灯 两点，P是T上一动点，且△0PP的面积最大值为分 (1)求椭圆T的标准方程； (2)若C是T上的另一点，满足四边形OACB为平行四边形. (i)求平行四边形OACB的面积； (i)设C关于O的对称点为D,求证：A,B,C,D四点共圆. 高三数学试卷第4页（共4页） 2026届高三“起点”考试 数学参考答案 (2025.09) ◆选择题： 题号 2 9 10 11 答案 A C B D D AD BCD ACD 填空题： 12.-9 1B.24多 1.解析：A∩B={,U={0,1,2},Cu（A∩B)={0,2}. 2.解析：已知a=(1,x)b=(2,-1),且ab=1,则x=1. 3.解析：因为iz=1-i,所以l=1-i,故z=V2. 4.解析：x2≈0.837<x1=2.706,变量x与y相互独立. 5.解析：函数y=tan2x的图象平移后得到y=tan(2x+2m),其图象关于点(0,0)对称， 那么2.0+2m=宁r(kcZ)..m=普xk∈Z),所以m的最小值为子 2 6解折：a<-l.0≤≤-a+,f=r+ax=g+受-写的银小值是-子则： 4 若-a+0-分即-2ca<-l,-a-0=0+- -4a+1=-1 若a+02-号即a5-2,八=-号-a=1,不合题意合表放a=-月 4 7.解析：将直线x=-2y+5代入抛物线方程，得到y2+4py-10p=0, 设A(-2y+5,),B(-2y2+5,y2),因为OA⊥OB,所以 0A.0B=(-2y+5)(-2y2+5)+yy2=5yy2-10(y+2)+25=0, 即-50p+40p+25=0,p= 2 第1页共10页 8.解析：ab+b2+12m(a+b)台b(a+b)+1≥m(a+b)台m≤b+ atb' 盟意可知m的绿大值=6+。十人’又a≤6+1，所以 1 2b+ 之2-251.当且仅当6=5-1取 a+b 12 V222 2 2 等号. 9.解析：cosB=a2+c-b=a+Cac之C=7,B∈0，，A正确。 2ac 2ac 3,sinC-sinB=0,sin≠0，显然不成立，B错误. 当B= 若c=2a,则b=V2a,cosC=2+b2-c2-a2 V2、1 2ab22a242c<2n ->一 .C错误. 3 若c=受则2=+6=+ac,(+g=1g-5-1血A,mA=5-l.D sinC 2 正确。 图1 图2 图3 10.解析：如图2，A,E+EC≥AC=V42+22=25,A错误. 2×-×2× 如图3，V4-EB,D=Vn-4B,d= 3VD-AEB= 2 226 1 ，B正确. ×2W3xV2 3 2 四棱锥A一ABCD外接球的球心O即为该正方体的外接球球心，直线OE与面ABCD所成 角的正切值的取值范围为 之，]，c正确。 记向量NE与NM的夹角为O,NE在NM上的投影向量的模长 WE·NMNE.NM I NE COsNE 以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴， NENMINMI 第2页共10页 AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则Ex,0,0)N2,2,1),M(2,1,0), NE=(x-2,-2,-1),NM=(0,-1,-1), NE.NM 3V2 为定值，D正确. INMI 2 11.解析 因为f(x)在(-o,0]上单调递增，0<f(x)≤1：在(0，+o)上单调递增，f(x)∈R.结 合图象，方程f(f(x)=m有三个不同的实数解台方程f(x)=m有两个不同的实数解，A 正确。 设a,b是方程f(x)=m的两个不同实数解，且a≤0<b,那么e°=m∈(0,1]， a=lnm∈(-o,0];lnb+l=m,b=em-e(三，l],B错误. 令f)=a或f()=b,此时ff(x)=m.若fx)=a台lnx+1=a台x=e-= e 若f6)=b,lnx+1=b台x=e1=e 或者e=b台x=lnb=m-1,故m-1是方程 e f(f(x)》=m的一个解，C正确. m ecm- e=m-l,则+为+5="+ +m-1,记 8(m）=”+e +m-1,在(0,1]上单调递增，故g(m)≤g(I)=e+1<e+e,D正确. e 12.解析 S=1la+a=1la,=1l4,=l4,=4+5d=l,4=-9. 2 13.解析 A,B的坐标分别为(0，a),(e2,a),曲线y=2Inx在B点处的切线方程为 y-a=2x-e,从而C点的坐标为(0，a-2),14C1=2. a e2 14.解析 如图，△AFF内切圆与各边的切点为H,IJ, IAF-AF =(AH+HFD-(AI+IF=HFI-IFFJ-JF =2a 第3页共10页 设J(m,0),则m=a,即P点的横坐标为a.同理可得Q点的横坐标为a.P2的直线方程 为xQ.直线AB的倾斜角为T, 4 因为LPFE=π-F 30,L05,=28-81 π3ππ π-牙)=3r,PJH JF tan8, IQHE,tang,所以 8 sin sin3 sin （-)=（D-)一=（8。+8)D-2)=(4E+4)(o-)=(,u+u)川Hōdl 8 8 π 8 cos sin g cos π π π cos coS。 8 8 8 P2V5a,即V2a=2V2(e-a),得2c=3a,e=c-3 ◆解答题： 15.解析 (1)证明：在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以 AA⊥BC.… …2分 又AB⊥BC,AA∩AB=A,所以BC⊥平面AA,B,B,AB,C平面AABB,所以 BC⊥AB1… …4分 又AA=AB,所以四边形AAB,B为正方形，从而AB⊥AB. …5分 因为AB∩BC=B,所以AB⊥平面ABC.· …6分 (2)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，BB,所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2V3,0,0),A(0,2,2),B,(0,0,2),从而 AB=(0,-2,2),AA=(0,0,2),AC=(2V3,-2,0). …8分 设平面A,ACC的法向量为n=(x,y,z),则 7·AA=0∫2z=0 不妨取7=(1，V5,0)……10分 7·AC=0 12W3x-2y=0 由(1)可知，平面ABC的法向量为AB,设平面ABC与平面AACC的夹角为0， 则cos0= |7:ABL_2W36 …13分 |n|AB|2×2W24 第4页共10页 法二：过B1作A,C的垂线，垂足为E,连接AE, 平面ABC⊥平面AACC B,E⊥AC,·B,E⊥平面ACCA 由(1)知，AB,⊥平面ABC,.∠AB,E的余弦值即为所求 在△AB,E中，AB,P=AB+|BBP=8.AE=AE+A4=5 |5B1=48XCA=5设平面ABC与平面4ACC,的夹角为8，日=∠AB,E则 4C cos0=BE13 v6 AB2√54 (其他方法酌情给分) 16.解析(1)由题意， 受2+2}= …2分 ……4分 a=(白)”，b,=-log2a7=n.neN …6分 2)由题遮，=-=， …8分 ++=-+--=-=( ……9分 …10分 则f(n)为单调递减函数， 12分 且/例=4 <0 …13分 >0… f(4=32 …14分 又neN',.n≥5 .n的最小值是5.… …15分 第5页共10页 17.解析：(1)∫'(x)=sinx-xf"(x)=cosx-1≤0.…2分 了倒在（吾引上单调莲减所以0》了）了O=0:(子小 f'(x)>0. …3分 故)在(-三0单调递增，在(0，受 单调递减…4分 (2)据(1)可知，f(x)≤f(0)=0恒成立.… ……5分 g（()=1+si加x=l+tan, …6分 cosx “8在（受一日到》上单调速减、在（引 上单调递增： …8分 g28}2n2,∴8(n2>0, 则g(x)>f(x)成立… ……10分 法二：要证g(x)>f(x),即证g(x)-f(x)>0 ◆m网=h-1m-11, 当x>1时m'(x)<0,函数m(x)在x∈1，+o)上单调递减， 当x<1时，m'(x)>0,函数m(x)在x∈(0,1)上单调递增， m()=0.m(x)≤0，即lnx-x≤1. h(x)=g(x)-f(x)=x-In(cosx)+cosx +2x-1+ 4 即A()=+x+eosx-h(cosx)+平1， 4 2,根据lnx-x≤1，.cosx-ln(cosx)≥l, 2 国>+子>0，g刻>f)度立 (3)据(1)可知，f)=1-cosx-号≤0分cosr之1- …11分 2 2 令x=2,则cos2≥1-2 ……12分 n 第6页共10页