重难点01：不等式恒成立和有解问题（培优固本提能讲义）-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式恒成立与有解问题，整合一元二次、函数、基本不等式等核心考点，按概念本质、方法策略、题型应用的逻辑层次搭建知识网络，通过知识梳理、方法指导、真题精析、分层练习环节，帮助学生系统突破难点。 讲义创新运用参数分离、切线放缩、同构等解题技巧，如总结指数对数切线放缩模型培养数学思维，设置实测A组基础强化、B组综合拔尖分层练习，助力学生提升逻辑推理与模型构建能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

重难点01：不等式恒成立和有解问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 8 题型一、一元二次不等式恒成立与有解问题 9 题型二、函数不等式的恒成立与有解问题 11 题型三、基本不等式中的恒成立与有解问题 16 题型四、含单变量函数的不等式问题 18 题型五、含双变量函数的不等式问题 21 题型六、切线放缩解决不等式问题 24 题型七、函数同构解决不等式问题 27 题型精析・方法突破提能力 31 实测A组 重难知识强化 31 实测B组 综合拓展拔尖 34 知识网络・核心根基深扎牢 基础前提 在解决问题前，必须明确 “恒成立”“有解（存在性）” 的定义，避免因概念混淆导致方法错用。设函数的定义域为，参数为，核心差异如下： 问题类型 符号表述（示例） 本质转化（核心） 通俗理解 恒成立 恒成立 存在性有解 存在性有解 1. 参数与主元型（一参一主元：为主元，为参数） 已知主元范围，求参数范围 问题类型 转化核心 数学语言表达 主元最小值 主元最大值 主元最大值 主元最小值 已知参数范围，求主元范围（主参互换） 设为主元，为参数），以一次型为例： 问题类型 转化规则 数学语言表达 端点值均 端点值均 至少一个端点值 至少一个端点值 2. 定义域内双变量型（两主元：，无参数，不等式为 双任意型(取“=”类似） 不等式形式 转化逻辑 数学语言表达 左最小值右最大值 左最大值右最小值 双存在型(取“=”类似） 不等式形式 转化逻辑 数学语言表达 左最大值右最小值 左最小值右最大值 任意 - 存在型(取“=”类似） 不等式形式 转化逻辑 数学语言表达 左最小值右最小值 左最大值右最大值 一、参数分离法——优先选择的“通法” 1. 直接分离型 类型 1：参数系数恒正（可直接分离，不等号方向不变） 若不等式可整理为 ，且对任意 （与 无关的正系数），则分离得： 对应问题与结论： 1. 恒成立问题： 对恒成立为 上的最大值，需存在）。 2. 有解问题： 上有解 为 上的最小值，需存在）。 类型 2：参数系数恒负（分离后，不等号方向反转） 若不等式可整理为，且对任意 ，无关的负系数），则分离得： 对应问题与结论： 1. 恒成立问题：恒成立。 2. 有解问题：上有解。 2. 分类分离型 类型 3：参数系数符号不定（需分类讨论分离） 若参数系数与自变量 相关（即 的符号随 变化），则需按 、) 分类讨论，再分别分离参数（或直接判断该类情况是否成立）。 示例框架： 对不等式 ： 1. 当 时，分离得 ； 2. 当 时，不等式化为 ，需判断此式在对应 取值范围内是否恒成立有解； 3. 当 时，分离得 。 最后取各分类结果的交集（恒成立）或并集（有解）。 3. 换元辅助分离型 类型 4：分式复合结构（分子分母含同构式） 不等式含形如 的分式，其中 为同次多项式或同结构复合函数（如 ，，直接分离参数易出现高次项或交叉项。 换元策略 设 或 （根据同构特征选取），转化为关于 的一次或二次结构。 示例框架： 设不等式 对 恒成立，求的取值范围。 · 换元：令 （因分母恒正，且分子可表示为 ，又不便，改为分子凑分母：，进一步令 ，则 ，仍复杂； · 优化换元：令 ，或直接对分式变形：，再设 ，则 ，代入得 ，结构简化。 类型 5：指数 - 对数复合结构（含 混合） 不等式同时含 及参数，如 或 ，参数与指数、对数项交叉关联。 换元策略 利用 “指数与对数的互逆性” 换元，常见 （转化为幂函数）、（转化为指数函数）或 （）（利用同构性）。 示例框架： 设不等式 对 恒成立，求 的取值范围。 · 换元：令 时，，则 ，原不等式转化为 ，即 ，因，单独验证 时不等式成立），结构从 “指数 - 对数混合” 简化为 “幂 - 对数分式”。 类型 6：根式 - 多项式复合结构（含根号下变量） 不等式含 与多项式的组合（如 或 ，根号导致直接分离参数时出现无理式。 换元策略 令 ，将无理式转化为有理多项式（平方去根号，需注意定义域等价性）。 示例框架： 设不等式 对 有解，求 的取值范围。 · 换元：当 时，不等式成立，对 ，令 ，因 ，则 ，代入不等式得 ； · 进一步：由 ，得 ，故 ，转化为关于 的函数，结构简化为有理分式。 二、构造函数法——参数无法分离或分离后复杂时使用 1. 直接构造 类型 7：单一函数型构造（直接构造） 不等式可直接整理为 “”（或 “”）的形式，无需分离参数，直接构造函数即可。 1. 恒成立问题： 对任意恒成立 转化为：构造，则。 （逻辑：函数最小值非负，则所有函数值均非负） 1.有解问题（存在性问题）： 存在成立 转化为：构造。 （逻辑：函数最大值非负，则存在至少一个点满足不等式） 2. 含参数的函数构造（分离参数与不分离参数） 当不等式含参数时，需根据参数是否易分离，选择 “分离参数构造” 或 “含参直接构造”。 类型 8：分离参数型构造 不等式可整理为 “” 或 “” 的形式（参数与变量完全分离，无交叉项）。 问题类型 分离形式 构造目标与结论 恒成立： 直接分离 构造 恒成立： 直接分离 直接分离 直接分离 特殊情形：含绝对值 / 分式的分离 若分离后出现符号确定），可直接构造；若符号不确定，需分区间讨论后再分离构造。 类型 9：含参直接构造（参数不可分离或分离后复杂） 参数与变量无法完全分离（如含等交叉项），或分离后函数求导复杂（含多次求导、超越项）。 1. 恒成立问题：对任意恒成立 构造含参函数为常数），求，再解不等式（此时不等式仅含参数。 2.有解问题：存在，使得成立 构造含参函数上的最大值。 类型 10：双变量型构造（含两个独立变量） 不等式含两个独立变量（如 “对任意，存在，使得”）。 1. 分别构造单变量函数：构造（定义域； 2. 转化为最值关系： 1. 恒成立 + 存在性：的最小值不小于的最小值）； 1. 任意 + 任意：的最小值不小于的最大值）； 1. 存在 + 存在：的最大值不小于的最大值）。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、一元二次不等式恒成立与有解问题 【恒成立问题】 1. 在上恒成立 对于一元二次不等式上恒成立，需满足；若上恒成立，则。 方法技巧：利用二次函数的图象与性质，通过判别式和二次项系数的符号来判断。 2. 在区间上恒成立 可将其转化为函数在区间上的最值问题。若上恒成立，则；若在上恒成立，则类似）。 方法技巧：结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，确定函数在区间上的单调性，进而求出最值。也可使用分离参数法，将参数与变量分离，转化为求函数的最值。 【有解问题】 1. 在R上有解 对于一元二次不等式上有解，需满足时，二次函数图象开口向上，必然有解；这里主要针对，判断是否存在实数解的情况，核心还是。 方法技巧：利用判别式判断方程是否有实根，从而确定不等式是否有解。 2. 在区间上有解 转化为函数上的最值问题，若上有解，则；若上有解，则。 方法技巧：同样结合二次函数的单调性求最值，或分离参数后求函数的值域，判断参数的取值范围。 1.（2024・山东烟台一模）若关于的一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（） 2.（2023・江苏苏州二模）已知一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（） 3.（2024・湖北襄阳月考）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 4.（2023・浙江宁波一模）关于的一元二次不等式在上有解，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 5.（2024・四川绵阳二模）一元二次不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 6.（2023・广东深圳月考）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 7.（2024・河南洛阳一模）关于的一元二次不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8.（2023・湖南株洲二模）不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 9.（2023・福建厦门一模）关于的一元二次不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 题型二、函数不等式的恒成立与有解问题 类型 1：一次函数与二次函数不等式（方法如题型一） 最基础的载体，常结合一元二次方程根的分布、二次函数最值求解。 1.一次函数：如在区间 上恒成立有解。 2.二次函数：如在 上、指定区间上恒成立有解。 类型 2：幂函数与分式函数不等式 含 为常数）或分式结构，需注意定义域和单调性。 1.幂函数：如 上恒成立。 2.分式函数：如上有解。 【解决方法】分离参数、分离常数法，转化为最值问题。 类型 3：指数、对数函数不等式 高频考点，需结合指数对数函数的单调性、值域，及导数分析。 1.指数型：如 恒成立。 2.对数型：如上有解。 3.混合型：如恒成立（指数 + 对数，需用导数求最值）。 【解决方法】分离参数法，转化为最值问题；复杂函数考虑同构，构造函数法（分参困难）方法如下： 1. 构造函数：。 2. 求导分析：计算的单调区间和极值点。 3. 求最值：结合定义域求的最值（需注意端点、极值点的函数值）。 4. 列不等式：根据 “恒成立有解” 的要求，让最值满足对应条件 类型 4：三角函数不等式 1.一次型换元（形如） 先通过辅助角公式化简：（为辅助角），得，再转化为的恒成立有解问题。 2.二次型换元（形如(或由诱导公式化简再换元） 令，转化为（或），结合二次函数在上的最值求解。 3.利用三角函数的有界性直接分析 当不等式可整理为（或时，直接结合列不等式。 4.结合单调性与区间最值分析 当三角函数在给定区间上单调时，直接通过区间端点的函数值构建不等式；若不单调，则先求三角函数在上的最值，再转化为参数不等式。 类型 5：抽象函数不等式 无具体解析式，需结合函数单调性、奇偶性等性质转化。 如上的增函数，且恒成立（若奇函数，可转化为，再用单调性去。 【典例探究】 【例题 1】指数（型）函数不等式恒成立问题 若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 解析： 1. 化简不等式：利用指数函数单调性（单调递增），将不等式转化为整式不等式：，即。 2. 分离参数：当，可变形为。 3. 求函数最值：令，由基本不等式知（当且仅当时取等号），故。 4. 确定参数范围：恒成立需，即。 答案： 【例题 2】对数（型）函数不等式有解问题 存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。 解析： 1. 化简不等式：利用对数函数单调性单调递减），结合定义域要求：。 2. 聚焦核心不等式：“存在”，变形为。 3. 分类讨论分离参数： 当，得，令； 当； 当，令，求。 4. 求函数最值：，则，结合对勾函数性质： 当； 当。 5. 确定参数范围：综合得取并集），即。 答案： 【例题 3】指数与对数函数综合不等式问题 已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解析： 1. 转化不等式：。 2. 分析定义域与单调性： 定义域要求：； 构造函数恒成立，求。 3. 求导分析单调性：，当时，： 若，单调递增，； 若单调递增，存在，此时，但，得，不满足条件。 4. 综合得范围：。 答案： 【典型例题4】三角函数不等式 （2024・湖北襄阳二模）已知函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 解析 第一步：三角恒等变换与换元转化 1. 化简函数：利用二倍角公式，将函数改写为含的表达式：。 2. 换元转化：令，结合的范围，得（因正弦函数在）。 函数转化为二次函数：，其中二次项系数开口向下。 第二步：分析二次函数在区间上的最值 因开口向下，其在区间上的最小值必在区间端点处取得（二次函数在闭区间上的最值要么在顶点，要么在端点；此处顶点横坐标为，需对比顶点与端点值）。 1. 计算顶点值：。 2. 计算端点值： 当； 当。 3. 确定最小值：对比，显然。 第三步：结合恒成立条件求参数范围 “对任意恒成立” 等价于 “对任意，恒成立”，即 由第二步结论，。 1.（2024・河北石家庄一模）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.（2023・浙江温州二模）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（2023・全国甲卷改编）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.（2023・江苏南京三模）对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5.（2023・湖南长沙一模）已知函数是奇函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6.（2024・新高考 Ⅰ 卷模拟压轴题改编）已知函数，若对任意，不等式恒成立，且存在，使得成立，求实数的取值范围。 题型三、基本不等式中的恒成立与有解问题 【恒成立问题】 若不等式恒成立，则；若恒成立，则，其中可通过基本不等式（如等）求出最值。 方法技巧：利用基本不等式求出函数的最值，再根据恒成立的条件确定参数的范围。 【有解问题】 若不等式有解，则；若有解，则。 方法技巧：先通过基本不等式求的最值，再依据有解的条件确定参数范围。 【典例探究】 【典型例题 1】单变量基本不等式恒成立问题 已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。 解析： 1. 转化核心不等式：分离常数项得，恒成立需。 2. 用基本不等式求最值：由均值不等式（当且仅当时取等号），故。 3. 确定参数范围：，其最大值为，因此。 答案：[-4,+) 【典型例题 2】双变量基本不等式有解问题 已知正实数满足，若存在使得不等式成立，求正实数的取值范围。 解析： 1. “1 的代换” 构造可积式：结合条件，对变形：。 2. 用基本不等式求最小值：由均值不等式（当且仅当即时取等号），故。 3. 结合有解条件列不等式：存在性等价于，即。 令，不等式化为，解得，故。 答案：] 1.（2024・山东潍坊一模）已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.（2023・江苏苏州二模）已知正实数满足，若存在使得不等式成立，则正实数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.（2024・湖北武汉月考）已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.（改编题）已知，且，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 答案： 题型四、含单变量函数的不等式问题 【恒成立问题】 问题特征：对任意为定义域），均有（或）成立，求参数的取值范围。 核心逻辑：转化为函数在区间上的最值满足不等式。 核心方法：分离参数、分类讨论。 【有解问题（能成立）】 问题特征：存在成立，求参数的取值范围。 核心逻辑：转化为函数上的最值满足不等式（与恒成立问题相反）。 核心方法：分离参数、分类讨论。 【典例探究】 【典型例题 1】恒成立问题：已知对任意恒成立，求的取值范围。 解析： 1. 定义域； 2. 求导：。 因 ，导数符号由决定； 3. 分类讨论： 当时：，，故单调递增。但，且递增，恒成立。 当时：单调递增，且，，故存在唯一，使，即。此时： 当时，单调递减； 当时，单调递增。 故，代入，得：。 令，即。 设，且。 又，故。 综上：。 【典型例题 2】存在性问题：已知存在，使得成立，求的取值范围。 解析： 分离参数：，不等号方向不变）； 设（存在性问题需； 求导：； 当单调递减； 故； 因此，。 1.已知对任意恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2.若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.已知对任意恒成立，则实数的取值范围是______。 5.若存在，使得成立，则实数的取值范围是______。 6.已知函数，其中。 （1）当的单调区间； （2）若对任意的取值范围。 7.设函数。 （1）讨论的单调性； （2）若存在的取值范围。 题型五、含双变量函数的不等式问题 【对称型双变量恒成立（变量地位均等）】 问题特征：不等式含（定义域相同），且变量地位对称（如），常需构造 “对称函数” 转化。 【主从型双变量恒成立（变量地位不等）】 问题特征：存在 “主变量” 和 “从变量”（如 “对任意，存在，使得，需按 “先定主变量求最值，再对从变量分析” 的顺序求解。 【比值/差值型双变量有解（含变量比/差）】 问题特征：不等式含或，通过换元将双变量化为单变量（）或），再分析含参单变量问题。 【含参双变量最值型恒成立】 问题特征：不等式含”（对任意恒成立），需转化为 “”（其他情况类似）。 【典例探究】 【典型例题 1（最值型）】已知函数，对任意，存在，使得恒成立，则实数的取值范围是______。 解析： 1. 确定主从变量关系： 题意等价于 “ 在上的最小值在 上的最小值”。 2. 分情况讨论 ，临界值时。 当递增，，需，矛盾； 当递减，递增： 若，最小值 最小值，需 ，验证时成立； 若最小值 最小值，需 ，当时等号成立，时左边小于右边； 当递减，最小值最小值，需，但此时，不满足。 3. 综上：。 【典型例题 2（比值换元型）】已知函数。 （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，且，证明：。 解析（1）略 （2）证明 因为，所以，移项可得。 由，根据合比性质可。 令，那么。 构造函数，对求导： 先求，则。 令求导得，所以上单调递增。 则，所以上单调递增。 因为单调递增，所以。 由，所以。 根据均值不等式（当且仅当时取等号），因为，所以，则。 又因为，所以，则。 1.已知函数，若，则的最小值为 A. B. C. D. 2.已知函数，若，且，则的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数。 (1) 若，求实数的取值范围； (2) 若，求的最大值。 4.已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：。 5.已知函数，若，且，求证：。 题型六、切线放缩解决不等式问题 解决指数、对数、幂函数不等式时，以下4组切线放缩模型最常用（大题需要证明）： 【指数放缩】（形如)， 在） 在） 在时取等号） 【对数放缩】（形如） 在 在 【幂函数与混合放缩】 由、 由即（当且仅当时取等号） 【三角函数放缩】 ；； 【典例探究】 【典型例题 1】已知，则的最小值为______，若不等式恒成立，则实数的最大值为______。 解析 1. 求最小值：构造函数，求导得。 当，函数单调递增；当。 故。 2. 求的最大值：由切线放缩结论，（当且仅当时取等号），此式为处的切线方程。 若恒成立，则切线斜率的最大值（当时会在切线上方，不等式不成立）。 答案 【典型例题 2】设若恒成立，则实数的最大值为______。 解析 由累加得，对比不等式，可知的最大值为。 答案 【典型例题 3】已知，其中为自然对数的底数。 (1) 若恒成立，求实数的取值范围； (2) 若在 (1) 的条件下，当取最大值时，求证：。 解析：(1)略； (2)证明：由题意可知，。 要证。 先证明：（切线放缩）。 令。 当上单调递减，所以。只需要证明。 令，则，，令。 又上单调递增，则在上，，在。 所以，单调递减，在上单调递增，所以，所以上单调递增，所以。 故。 1.函数的最小值为______。 2.函数的最小值为______。 3.函数的最大值为______。 4.（2023・广州模拟）已知函数。 (1) 证明：； (2) 已知，证明:。 5.（2017 新课标 3 卷）已知函数。 (1) 若的值； (2) 设为整数，且对于任意正整数，求的最小值。 题型七、函数同构解决不等式问题 【核心原理】 函数同构是指将不等式或方程两边变形为 “相同函数作用于不同表达式” 的形式，即转化为（的结构，再利用函数的单调性、奇偶性等性质，将抽象不等式转化为具体的代数不等式（如），进而求解参数范围或变量解集。 其本质是 **“结构统一”**—— 通过凑项、换元等手段，剥离不等式中的变量与参数，让两边呈现 “函数外壳相同，内层表达式不同” 的形态，核心依赖于对常见函数模型的敏感度。 【常见同构模型与构造技巧】 模型 1： 同构（核心模型） 常见变形： ； 。 技巧：当不等式含时，优先凑出或结构。 模型 2： 同构（分式型） 常见变形： ，则，可结合递减、递增的性质。 模型 3：同构（指数型推广） 如（令。 这段内容主要讲解了指对同构的变形方法，分为直接变形和先凑再变形两类：【常见同构模型与构造技巧】 · ； · ； · ； · ； · ； 类型 1：直接变形 1. 积型：对于不等式，有三种变形同构方式： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 取对数：变形为，构造函数 ，且说明取对数是较快捷的方式，同构出的函数单调性易判断。 2. 商型：以不等式为例： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 取对数：变形为，构造函数 。 3. 和差型：以不等式为例： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 类型 2：凑变形 若式子无法直接变形同构，需凑常数、参数或变量（如两边同乘、同加等）后再用上述方式变形，常见例子： 1. ，变形为（积型）。 2. ，通过一系列变形（如两边同乘等），最终转化为可同构的形式：（和差型）。 3. （积型）。 4. （和差型）。 5. （积型）。 【典例探究】 【典型例题 1】恒成立问题 对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 解析： 1. 观察结构：含，符合的同构特征； 2. 构造同构式： 不等式变形为， 左边：， 右边：（凑结构，令）， 若，右边为，而（由，当取等），恰好成立； 但用同构更简便：注意到，令，则，故， 因此原不等式（当且仅当有解时取等）。 答案： 【典型例题 2】有解问题（指数 - 对数同构） 存在，使得不等式成立，求正实数的取值范围。 解析： 1. 观察结构：含，需将指数与对数项凑成同构； 2. 构造同构式： 不等式变形为，两边乘得， 左边：右边：（需，符合条件）， 构造函数（单调递增），则不等式转化为； 更优同构：令，则，不等式变为， 但更经典的是凑型：由两边取指数得， 而原不等式中，若令（单调递增，因）， 注意到，此处更简单： 由，两边乘得， 实际更直接：令（单调递增，），则， 构造，单调递增），故， 存在，令。 答案： 1.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2.已知不等式恒成立，则实数的最大值为______。 3.已知是自然对数的底数，若成立，则实数的最小值是______。 4.函数。若对任意，都有，则实数的取值范围为______。 题型精析・方法突破提能力 实测A组 重难知识强化 解决不等式问题 1. 若关于的一元二次不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为______。 2. 关于的一元二次不等式在内有解，求实数的取值范围为______。 3. 设函数， （1）解关于； （2）若对任意的的取值范围． 4. （2022 江苏南通模拟）已知函数，若的取值范围。 5. 已知函数，使得不等式成立，求实数的取值范围。 6. （2020 广东广州模拟题）已知函数，若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 7. 已知，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 已知正数，若不等式恒成立，则实数的最大值是____。 9. 对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______。 10. （2023 湖北武汉模拟题）已知函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围。 11. （2022 四川成都模拟题）已知函数，若对任意，都有成立，求实数的取值范围。 12. 已知函数，证明：对任意恒成立，并据此证明：当。 13. （2022 年 河北石家庄模拟题）已知函数 （1）求曲线处的切线方程； （2）证明：对任意，并利用此结论证明：对任意恒成立。 14. （2021 年 河南洛阳模拟题）已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）证明：对任意，且。 15. 。 （1）讨论单调区间； （2）当。 16. 已知函数，其中，若恒成立，则实数的大小关系是______。 17. 已知函数其。求证：。 18. 已知函数，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 实测B组 综合拓展拔尖 解决不等式问题 1. 设一元二次不等式，若存在使得该不等式成立，求实数的取值范围。 2. 已知关于。 (1) 求上述不等式的解； (2) 是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数？若存在，求出使得该集合中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由。 3. （2023 北京海淀模拟改编题）已知函数。 (1) 若关于，求实数的值； (2) 若关于的取值范围； (3) 若关于个整数，求实数的取值范围。 4. 已知函数，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。 5. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 6. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 7. 若两个正实数满足，且不等式恒成立，则的最大值为______。 8. 若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是______。 9. （2023 新高考 Ⅰ 卷改编题）已知函数，，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围。 10. 已知函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围。 11. （2021 江苏南京高三调研）已知函数，若存在，使得，且对任意，，求实数的取值范围。 12. （2023 新高考 Ⅱ 卷改编题）已知函数 （1）当的最小值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围。 13. 已知函数 （1） 讨论的单调性； （2）证明：当时，对任意，。 14. （2021 江苏苏州模拟题）已知函数 （1） 求最小值； （2）证明：对任意，且。 15. 已知函数，证明：当时，。 16. 已知函数。当时，证明：。 17. 已知函数。 （1）讨论函数的单调性； （2）当恒成立； （3）求证：。 18. 已知函数是自然对数的底数。 （1）求函调区间； （2）若最大值； （3）若。 1 学科网（北京）股份有限公司 $