专题02 二次函数8考点（期中真题汇编，新疆专用）九年级数学上学期人教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数 ☆8大高频考点概览 考点01二次函数的定义 考点02二次函数的平移 考点03二次函数的图像与性质 考点04二次函数图像与系数关系 考点05二次函数与方程、不等式 考点06二次函数范围内最值 考点07二次函数应用题 考点08二次函数几何综合 目目 考点01 二次函数的定义 1.(24-25九上新疆直辖县级行政单位师2期中)若关于x的函数y=2xm-+x-3是二次函数，则m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(24-25九上新疆阿克苏拜城县.期中)关于x的函数y=a2+4a+5x2+3ax+1,甲说：“此函数不一定是二次函数.” 乙说：“此函数一定是二次函数.”谁的说法正确？为什么？ 目目 考点02 二次函数的平移 1.(24-25九上新疆和田墨玉县期中)把抛物线y=-x2向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，得到的抛物线 是( ) A.y=-(x-1)2-1 B.y=-(x+12-1 C.y=(x+1)2-1 D.y=(x-12-1 2.(24-25九上·新疆昌吉回族期中)在平面直角坐标系中，将二次函数y=-2x2+1的图象向右平移2个单位，所得图 象的表达式为() A.y=-2x2-2 B.y=-2x2+3 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.y=-2(x-2)2+1 D.y=-2(x+2)2+1 3.(24-25九上·新疆哈密第八中学.期中)将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得到的抛物线的顶点坐标是一· 4.(24-25九上·新疆哈密第四中学期中)将抛物线y=-(x-1)2+4先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛 物线的解析式为（) A.y=-(x+1)2+1 B.y=-(x+3)+1 C.y=-(x-3+1 D.y=-(x+1)2+7 5.(24-25九上·新疆期中)将抛物线y=x2+1向左平移3个单位长度得到抛物线（) A.y=(x+3)+1B.y=(x-32+1C.y=x2+4 D.y=x2-2 6.(24-25九上新疆阿克苏拜城县期中)将抛物线y=-x-1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 3 得到的新抛物线为() A.y3 e.3 C. 0.=-1 7.(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团期中)若将抛物线y=-x2+1先向右平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为 8.(24-25九上新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学期中)将抛物线y=-2x2先向左平移5个单位，再向下平移3个单 位，得到的抛物线的函数表达式为() A.y=-2(x-32+5 B.y=2(x+5)2-3 C.y=-2(x+5)2-3 D.y=-2(x-5)+3 9.(24-25九上新疆哈密第五中学期中)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长 度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为() A.y=(x-22-1 B.y=(x-22+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 10.(24-25九上·新疆喀什巴楚县期中)将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到 的函数图象的解析式为( ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.y=5(x+2)2+3 B.y=5(x-2)2+3 C.y=5(x+2)2-3 D.y=5(x-2)2-3 目目 考点03 二次函数的图像与性质 1.(24-25九上新疆昌吉回族期中)二次函数y=2(x+1)2-3的顶点坐标是 2.(24-25九上·新疆昌吉回族期中)已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则抛物线与×轴的另一个交点坐 标为 3 3.(24-25九上新疆昌吉回族期中)抛物线y=x2+2x的对称轴是（) A.直线r=1B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2 4.(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述 中，错误的是() A,对称轴是直线x=1 B.当x<0时，函数y随x增大而增大 C.图象的顶点坐标是（1,4) D.图象与x轴的另一个交点是(4,0) 2425九上·新强昌吉回族期中关于三次函数yx+2-3的图象与性质，下列结论正确的是( A.函数图象的顶点坐标为(2，-3) B.当x<-2时，y随x的增大而增大 C.二次函数的图象与x轴有两个交点 D。二次函数的图象可由y=号经过平移得到 6.(24-25九上新疆和田墨玉县期中)己知二次函数y=a(x-1)2+k(a>0)的图象上有三点A(2,,),B(3,y2), 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C(-4,y3),则，2，的大小关系为 7.(24-25九上新疆哈密第八中学期中)已知-1，y),（-2,y2),（-4,y3)是抛物线y=-x2-4x+n上的点，则() A.y,<y2<y3B.3<y2<y C.y2>y>y; D.y2>3>y 8.(24-25九上·新疆哈密第四中学期中)已知二次函数y=2(x-3)2-2,下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐 标为(3，-2)；③其图象与y轴的交点坐标为(0，-2)；④当≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.(24-25九上新疆哈密第四中学·期中)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表： … -1 0 2 … -6 0 4 6 6 则它的开口方向」 对称轴为」 10.(24-25九上·新疆哈密第四中学期中)点A(一2，y1)、B(3,y2)是二次函数y=x2一2x+m的图象上两点，则y 与2的大小关系为2（填“>”、“<”、“”") 11.(24-25九上新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学期中)设A(-5,y),B(1,y,),C(2,y)是抛物线y=-(x+1)2+3 上的三点，则片，⅓，⅓的大小关系为() A.y2>为>yB.y>3>y2 C.y3>y2>yi D.y2>y>y3 12.(24-25九上新疆期中)己知A-1,y),B(2,y,),C(4,y是二次函数y=ax2-2ax+1(a<0)的图像上的三个点，则 y,2,y3的大小关系为（) A.乃<y2<y3 B.y2<八<为 C.<y3<y2 D.y3<片<y2 13.(24-25九上，新疆阿克苏库车实验中学教育集团期中)下列关于抛物线y=(x+1)2+2的说法，正确的是() A.开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.当x=-1时，y有最小值2 D.当x>-1时，y随×的增大而减小 14.(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)对于抛物线y=-2(x-1)+3,下列判断正确的是（) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的顶点坐标是-1,3) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.对称轴为直线x=1 D.当x=3时，y>0 15.(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学期中)已知二次函数y=x2-mx+3,当x≤3时，y随x的增大而 减小，则m的取值范围是 目目 考点04 二次函数图像与系数关系 1.(24-25九上新疆和田墨玉县期中)抛物线y=ax2+bx+ca≠0)如图所示，则点P(ac,b所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.（(24-25九上·新疆哈密第八中学.期中)在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图像可能是 3.(22-23九上·安徽合肥庐江县)函数y=ax2+1和y=a+a(a为常数，且a0),在同一平面直角坐标系中的大致图象 可能是() 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上安徽六安金安区六安皋城中学月考)在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m 为常数，且m≠0)的图象可能是() 。 5.（(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：① abc>0;②4a-2b+c>0;③3a+c>0;④b2-4ac<0;⑤am2+bm>a+b(m为任意实数)；⑥若(-5，y), (-2,),(3,)是抛物线上三点，则y>2>y;⑦关于x的一元二次方程ax2+bx+c-k2=0(a≠0)有两个不相等 的实数根；其中正确的结论的个数是( ) X= A.6 B.5 C.4 D.3 6.（(24-25九上·新疆哈密第四中学期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，有下列6个结论： y个x=1 -0 ①abc<0;②9a+3b+=0;③b2<4ac;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1；⑥若方程ar2+bx+c=-1有两 个根，则这两个根的和为2.其中正确的结论有() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(24-25九上新疆期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,则以下五个结论①abc>0,② 2a+b=0,③b2>4ac,④4a+2b+c>0,⑤3a+c<0中，正确的有() x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x=1，与x轴的其中 一个交点在(2,0)与(3,0)之间，以下结论：①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm≥a+b(m为 实数)：⑤3b-2c<0,其中正确结论的个数有() y x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.(24-25九上新疆阿克苏库车实验中学教育集团期中)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：① ac<0;②3a+c=0;③4ac-b2<0;④当x>-1时，y随x的增大而减小，其中正确的是() A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③ 10.(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列 结论：①abc>0;②2a+b=0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0.其中正确结论的序号是 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 -2410 x=1 目目 考点05 二次函数与方程、不等式 1.(24-25九上新疆和田墨玉县.期中)抛物线y=x2-2x-3与x轴的两个交点分别为() A.(3,0)和(-1,0)B.(-3,0)和(1,0) C.(2,0)和(-4,0) D.(4,0)和(-2,0) 2.(24-25九上新疆昌吉回族期中函数y=x2-2x-3与y轴的交点坐标是一 3.(24-25九上·新疆昌吉回族期中)下表是二次函数y=ax2-bx自变量x取不同值时对应的函数值，根据表格中的数 据可知，关于x的一元二次方程ax2-bx-2=0的根是_ -2 0 2 3 y=ax2-bx … 6 0 02 6 4.(24-25九上·新疆昌吉回族期中)我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5 4 3 3 5-4-3-2-1912345x -2 3 -4 -5 (1)请在给定的坐标系中画出二次函数y=x2+2x-3的图象. (2)观察图象，当x<-3时，y的范围是 当y<0时x的范围是」 -4 -3 -2 -1 0 2 -3 0 5 5.(24-25九上·新疆喀什)将二次函数y=-x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图 所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为() A.21或-3B.13或- c. 4或-3 2 D.13或-3 4 4 4 6.(24-25九上·新疆期中)若函数y=x2+2+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是一 7.(24-25九上·新疆期中)抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是_： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 VA -1/ 1 8.(24-25九上新疆阿克苏拜城县，期中)若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点Am,n),B(m-6,n), 则n的值为() A.-3 B.9 C.3 D.6 9.(24-25九上新疆阿克苏拜城县期中)如图，已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M(-2,3). (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； (2)当0≤y<3时，求x的取值范围. 10.(24-25九上新疆阿克苏库车实验中学教育集团期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+6与y轴交于 点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=3r于B,C两点，则BC的长为一 11.(24-25九上新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学.期中)如图，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A, B两点，且点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，则当x2+x<b时，自变量x的取值范围是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 专题02 二次函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数的定义 考点02 二次函数的平移 考点03 二次函数的图像与性质 考点04 二次函数图像与系数关系 考点05 二次函数与方程、不等式 考点06 二次函数范围内最值 考点07 二次函数应用题 考点08 二次函数几何综合 ( 地 城 考点01 二次函数的定义 ) 1．(24-25九上·新疆直辖县级行政单位师2·期中)若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：3． 2．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． ( 地 城 考点0 2 二次函数的平移 ) 1．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)把抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左加右减，利用这个规律即可得到所求抛物线的解析式． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，得到的抛物线是， 故选：A． 2．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为， 故选：C． 3．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 4．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位， ∴， ∵抛物线向下平移3个单位， ∴， 故选：A． 5．(24-25九上·新疆·期中)将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线是， 故选：A． 6．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线为，即， 故选：A． 7．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)若将抛物线y=-x2+1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则所得抛物线的函数解析式为 【答案】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】∵抛物线y＝−x2＋1向右平移1个单位长度， ∴平移后解析式为：y＝−（x−1）2＋1， ∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝−（x−1）2＋3． 故答案为y＝−（x−1）2＋3. 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 8．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 9．(24-25九上·新疆哈密第五中学·期中)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 10．(24-25九上·新疆喀什巴楚县·期中)将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（　　） A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3 C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3 【答案】D 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2， 由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的平移变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． ( 地 城 考点0 3 二次函数的图像与性质 ) 1．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)，其顶点坐标为(h，k). 【详解】解：由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式. 2．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 . 【答案】(-1,0) 【分析】抛物线与x轴的另一个交点的横坐标=对称轴-（3-1）=-1，纵坐标为0． 【详解】解：易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1-（3-1）=-1，纵坐标为0．∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）． 【点睛】抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴． 3．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．将解析式化为顶点式即可得解． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴是是直线， 故选：B． 4．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大 C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0） 【答案】D 【分析】利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可. 【详解】由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确； 当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确； 图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确； 图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误. 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键. 5．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)关于二次函数的图象与性质，下列结论正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的图象与轴有两个交点 D．二次函数的图象可由经过平移得到 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行分析解答即可． 【详解】解：由可知， 二次函数顶点坐标为，故A选项错误； ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故B选项错误； ∵二次函数开口向上，且顶点坐标为位于轴下方， ∴二次函数的图象与轴有两个交点，故C选项正确； ∵二次函数的，与二次函数开口方向相反， ∴二次函数的图象不是由经过平移得到的，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为直线，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越近，函数值越小， ，，， 点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴2个单位长度，点距离对称轴5个单位长度， ， 故答案为：． 7．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据抛物线解析式得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的点，且， ∴， 故选：C． 8．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解∶∵a=2＞0， ∴函数的开口向上，故①正确； 根据题意得∶顶点坐标为（3，-2），故②正确； ∵y=2（x﹣3）2﹣2=2x2-12x+18-2=2x2-12x+16， ∴图象与y轴的交点坐标为（0，16），故③不正确； 当x≤3时，y随x的增大而减小，故④正确． 故选C． 9．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 则它的开口方向 ，对称轴为 ． 【答案】 向下 直线/直线 【分析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴；然后根据抛物线左右两边函数的增减性判断出抛物线的开口方向． 【详解】解：由抛物线过(2,6)、(3,6)两点知： 抛物线的对称轴为x=2.5； 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故抛物线的开口方向向下． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，求出对称轴是解题关键． 10．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)点A（—2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x+m的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2（ 填“＞”、“＜”、“=”）． 【答案】> 【分析】把A、B两点的坐标代入解析式可求得y1与y2的值，可比较其大． 【详解】∵点A（-2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x+m的图象上两点， ∴y1=（-2）2+4+m=8+m，y2=32-2×3+m=3+m， ∵8+m＞3+m， ∴y1＞y2， 故答案为＞． 【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 11．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，，，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 12．(24-25九上·新疆·期中)已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，得出函数有最大值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答． 【详解】解∶二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3， ． 故选∶D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及对称轴的求法，函数的增减性，掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)下列关于抛物线y=(x+1) 2+2的说法,正确的是(   ) A．开口向下 B．对称轴是直线x=1 C．当x=-1时,y有最小值2 D．当x>-1时,y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵y=（x＋1）2＋2， ∴该函数开口向上，顶点坐标为（−1，2），故选项A错误，C正确； 当x＞−1时，y随x的增大而增大，故选项D错误， 对称轴是直线x＝−1，故选项B错误， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，时，函数开口向下． 根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意； 当时，，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 15．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，再结合已知进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， 解得，， 故答案为：． ( 地 城 考点0 4 二次函数图像与系数关系 ) 1．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)抛物线如图所示，则点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键，根据二次函数的图象判断、、的符号，再判断点所在的象限． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴ ∴点在第二象限． 故选：． 2．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确；   D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 3．(22-23九上·安徽合肥庐江县·)函数y=ax2+1和y=ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的顶点坐标为，判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断，从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为， 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax＋a过一，三，四象限， 故D符合题意，C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 4．(24-25九上·安徽六安金安区六安皋城中学·月考)在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 5．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥若，，是抛物线上三点，则；⑦关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（          ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图形的性质，会求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解本题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况推理，抛物线的性质进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则， ，故①正确，符合题意； ②当，，则，故②正确，符合题意； ③当，，则， ， ，故③错误，不符合题意； ④根据图象得抛物线与x轴有两个交点，则，故④错误，不符合题意； ⑤抛物线的对称轴为，则时，有最小值为， ，即，故⑤错误，不符合题意； ⑥抛物线的对称轴为，且开口向上， 抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，反之则越小， ，，是抛物线上三点， 且，即， ，故⑥正确，符合题意； ⑦，，且， 将看作一条平行于x轴的平行线，且位于x轴上方（包括与x轴重合）， 抛物线的图象与这条直线始终有两个交点，且位于x轴上方（包括与x轴上）， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑦正确，符合题意；； 综上所述，共有①②⑥⑦符合题意，共3个， 故选：C． 6．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与轴的交点可确定、的符号，根据对称轴为可得出的符号，即可判断①；根据二次函数图像的对称性得出图像与轴的另一个交点在和之间，可得时，即可判断②；根据图像与轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③；根据对称轴得出，结合时，即可判断④；根据当时，函数有最大值，最大值为，得到，即可判断⑤；由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，即可判断⑥；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线轴的一个交点在和之间， ∴图像与轴的另一个交点在和之间， ∴时，即，故②错误， ∵图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③错误， 由图像可知：时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴， ∴，故⑤正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴对称的两个根的和为2， ∴若方程有两个根，则这两个根的和为2，故⑥正确， 综上所述：正确的结论有①④⑤⑥，共个， 故选：D． 7．(24-25九上·新疆·期中)如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可． 【详解】解：如图： 图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故①错； ， ，故②对； 图象与轴两个交点， △，即，故③对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤对；共四个对， 故选：D． 8．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的其中一个交点在与之间，以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤，其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的图象与系数的关系，结合数形结合思想进行判断．由抛物线开口向上判断a的符号；由抛物线与y轴的交点判断c的符号；由抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点情况，判断b的符号；分别观察， ，时的函数值对所得结论进行判断即可． 【详解】解：对称轴为，与轴的其中一个交点在与之间， 与轴的另一个交点在与之间， 由图示得：，，， ， ，，故①②正确； 当时，，故③错误； 当时，有最小值， ， ，故④正确的； 当时，， ， ，故⑤正确； 故选：D． 9．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，可判定①；然后根据对称轴、抛物线与x轴的交点可判定②和③；根据抛物线的增减性进行可判定④． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，且与y轴的负半轴有交点， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线对称轴， ∴， ∵抛物线过， ∴，即，故②正确； 由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，则，即，即③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，即④错误． 故选：D． 10．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等．根据二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为，得到，即即可判断①②；当时，即可判断③；根据当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确； ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ∵当时，，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． ( 地 城 考点0 5 二次函数与方程、不等式 ) 1．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 2．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)函数与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，解题关键是熟记二次函数的性质令即可求出与轴的交点坐标 【详解】解：当时， 故函数与轴的交点坐标是 故答案为： 3．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)下表是二次函数自变量x取不同值时对应的函数值，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程的根是 ． x … 0 1 2 3 … … 6 0 0 2 6 … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数图象 的对称轴为，由此即可求解． 【详解】解：当时，；当时，； ∴二次函数图象的对称轴为， ∵当时，， ∴当时，； ∴的解为， 故答案为：． 4．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 【答案】(1)见解析； (2)， 【分析】本题考查了画二次函数图象，抛物线与轴的交点问题； （1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，； 当时，． 列表如下： 5 0 0 5 描点连线，如图所示； （2）解：根据函数图象可得：当时，y的范围是，当时x的范围是， 故答案为：，． 5．(24-25九上·新疆喀什·)将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解． 【详解】解：由知，当时，即 解得： 作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有： 平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点 当的函数图像由的图像关于x轴对称得到 当时对应的解析式为 即，整理得： 综上所述或 故答案是：A． 【点睛】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件． 6．(24-25九上·新疆·期中)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 【答案】0或1/1或0 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 7．(24-25九上·新疆·期中)抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ； 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 8．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（    ） A． B．9 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数经过点，得出对称轴是直线，再结合抛物线与x轴只有一个交点得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，代入点的坐标计算即可得解． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴对称轴是直线， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，即， 故选：B． 9．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)x的取值范围为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与轴、轴的交点，结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得：， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， 令，则，即抛物线与轴的交点坐标为， ∴由图象可得：当时，x的取值范围为或． 10．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键； 先由轴上点的横坐标为求出点坐标为，再将代入，求出的值，得出、两点的坐标，进而求出的长度． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， 点坐标为． 当时，， 解得． 点坐标为，点坐标为． ． 故答案为： 11．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象和性质；根据二次函数与一次函数在A、B处的函数值相等，得出，求出，然后把代入，可得出，然后根据乘法法则得出或，最后解不等式组即可． 【详解】解：把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，； 把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，； ∴，解得 把代入，得， 由函数图象知：抛物线开口向上， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得， 故选：A． 12．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，关键是数形结合思想的应用． 由二次函数的图象直接得出结论． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在x轴的上方，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 13．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与不等式． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答． 【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与x轴的另一交点坐标为， ∵由图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 故选：C ( 地 城 考点0 6 二次函数范围内最值 ) 1．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可． 【详解】解：根据二次函数解析式 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是 故答案为：． 2．(24-25九上·新疆哈密第五中学·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ） A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 【答案】B 【分析】观察图象逐一分析即可． 【详解】由二次函数的图象可知， ∵-5≤x≤0， ∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6； 当x=-5时函数值最小，y最小=-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 3．(24-25九上·新疆·期中)如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 4．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (3)根据图象，直接写出： ①当函数值为正数时，自变量x的取值范围； ②当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)对称轴为，顶点坐标为 (2)图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为． (3)①；②． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先将二次函数解析式化成顶点式，然后确定出顶点坐标即可； （2）分别令、求解即可确定其与两坐标轴的交点坐标； （3）①确定函数图象在x轴上方部分所对应的自变量x的取值范围即可；②根据函数图象确定y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的对称轴为：直线，顶点坐标为． （2）解：令可得：，即函数图象与y轴的交点坐标为； 令可得：，解得：或3，即函数图象与x轴的交点坐标为． （3）解：①∵函数图象与x轴的交点坐标为， ∴根据函数图象可得：函数值为正数时，自变量x的取值范围为； ②如图：可知：当时，有最大值：； 当时，有最小值：； ∴当时，函数值y的取值范围为． ( 地 城 考点0 7 二次函数应用题 ) 1．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，当销售单价为 元时，能获得最大利润． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴当销售单价为元时，能获得最大利润． 故答案为：． 2．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)40元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据“利润=销售单价减去成本价后再乘以销售量”即可得； （2）根据二次函数的值为200即可求得，并舍去不合题意的解. 【详解】（1）解：， 与之间的函数解析式（）； （2）解：当时，， 解得，， ， ∴不符合题意，舍去， 即该地摊销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 3．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)某茶叶公司经销一种茶叶，每千克成本为元，市场调查发现在一段时间内，销量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具有关系为：，物价部门规定每千克的利润不得超过元．设这种茶叶在这段时间内的销售利润（元），解答下列问题： 求与的关系式； 当取何值时，的值最大？并求出最大值； 当销售利润的值最大时，销售额也是最大吗？判断并说明理由． 【答案】(1) y；;(2) 当时，的值最大，;(3) 当销售利润的值最大时，销售额不是最大,理由详见解析. 【分析】（1）根据销售利润=每天的销售量×（销售单价﹣成本价），即可列出函数关系式； （2）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值； （3）设这段时间内的销售额为S元，于是得到S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），由S=﹣x2+240x，当x=120时，销售额S最大，于是得到当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【详解】（1）由题意得y=（x﹣80）W=（x﹣80）（﹣x+240）， 即y=﹣x2+320x﹣19200；（80≤x≤140）， （2）y=﹣x2+320x﹣19200=﹣（x﹣160）2+6400，抛物线的对称轴是x=160，而80≤x≤140， ∴当x=140时，y的值最大，y最大=6000． （3）当销售利润y的值最大时，销售额不是最大．理由如下： 设这段时间内的销售额为S元，则S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），即S=﹣x2+240x，当，x=120时，销售额S最大，所以当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值． 4．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)18米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 5．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 6．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 7．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x（元） 10 15 23 28 日销售量y（千克） 200 150 70 m 日销售利润w（元） 400 1050 1050 400 （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：产品的成本单价是　 　元，当销售单价x＝　 　元时，日销售利润w最大，最大值是　 　元； （3）某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由 【答案】（1）y＝﹣10x+300（8≤x≤30）；（2）8，19，1210；（3）不能销售完这批苹果，见解析. 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值； （3）求出在（2）中情况下，即x＝19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 将（10，200）、（15，150）代入，得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）； （2）设每天销售获得的利润为w， 则w＝（x﹣8）y ＝（x﹣8）（﹣10x+300） ＝﹣10（x﹣19）2+1210， ∵8≤x≤30， ∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210； 故答案为8，19，1210； （3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天的销售量为y＝﹣10×19+300＝110千克， ∵保质期为40天， ∴总销售量为40×110＝4400， 又∵4400＜4800， ∴不能销售完这批苹果． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质． 8．(24-25九上·新疆·期中)某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解； （2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9， 经检验x2＝1.9不符合题意， ∴x＝0.1＝10%， 答：每次降价百分率为10%； （2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则 y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500， ∵a＝﹣5＜0， ∴当m＝90元时，w最大为4500元． 答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程． 9．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)某景区商店销售一种进价为18元/件的纪念品，销售过程中发现，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系为．已知销售单价不低于进价，且不高于30元．设商店每月销售该纪念品获得的利润为w（单位：元）． (1)求利润w与销售单价x之间的函数解析式以及销售单价x的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，该商店每月销售该纪念品可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，每月可以获得最大利润，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据每月销售利润每件销售利润销售量，即可得出利润w与销售单价x之间的函数解析式，结合销售单价不低于进价，且不高于30元即可得出销售单价x的取值范围； （2）将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵销售单价不低于进价，且不高于30元， ∴， ∴； （2）解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价定为元时，每月可以获得最大利润，最大利润为元． 10．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出y件． (1)请写出与之间的函数解析式； (2)设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时w最大，最大值是多少？ (3)若市场规定该种玩具每件的利润不能超过60元，那么当为多少时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，w最大，最大值为2450元． (3)当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用等知识点，弄清题目中包含的数量关系是解题的关键． （1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到，然后化成顶点式并根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得x的取值范围，然后利用（2）的相关结论以及函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，． （2）解：根据题意得： ， ， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为2450元． 答：当x为30时，超市每天销售这种玩具可获利润2450元； （3）解：∵， ∴， ∵当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为元． 答：当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 11．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个． (1)求与的函数表达式； (2)徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若商店决定每销售一个徽章向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，求的值． 【答案】(1) (2)徽章销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元 (3)的值 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的综合运用， （1）设一次函数解析式为，结合当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个，运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，可得每个徽章的利润为，且日销售量y（个），设利润为元，由此列式为，再根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意，此时的利润为，且日销售量y（个），利润为元，由此列式得，，根据最大利润为元，运用二次函数最值的计算方法，一元二次方程求解的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：日销售量y（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系，设一次函数解析式为， ∵当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个， ∴， 解得，， ∴与的函数表达式为； （2）解：销售单价为（元），进价为10元/个， ∴每个徽章的利润为，且日销售量y（个）， 设利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， ∴徽章销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元； （3）解：由（2）可得，每个徽章的利润为，赠送一件价值为元的礼品， ∴此时每个徽章的利润为，日销售量y（个），利润为元， ∴，整理得，， ∵， ∴二次函数有最大值， ∴当时，取得最大值，且最大利润为元， ∴，整理得，，则， 解得，， ∵， ∴的值为． 12．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)如图，已知排球场的长度OD为18 m，位于球场中线处球网的高度AB为2.4 m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6 m的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6 m时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系 (1) 当球上升的最大高度为3.4 m时，对方距离球网0.4 m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1 m，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明 (2) 若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界） 【答案】（1）可以拦网成功，理由见解析；（2）h≥3.025 【分析】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y=a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x=9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得； （2）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x=9时，y＞2.4且x=18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得． 【详解】（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+3.4， 将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4=1.6， 解得：a=﹣， ∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y=﹣（x﹣6）2+； 由题意当x=9.5时，y=﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1， 故这次她可以拦网成功； （3）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h， 将点C（0，1.6）代入，得：36a+h=1.6，即a=， ∴此时抛物线解析式为y=（x﹣6）2+h， 根据题意，得： ， 解得：h≥3.025， 答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求范围的问题，解题的关键是利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围． ( 地 城 考点0 8 二次函数几何综合 ) 1．(24-25九上·新疆哈密第五中学·期中)已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积， （1）根据题意求出点C坐标，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，即可得出抛物线的解析式； （2）设，则，根据，可得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴由图可得， 把，代入 可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴或， 解得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，与重合，不合题意， ∴或或． 2．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，待定系数法法等知识，解题的关键是： （1）把点、代入求解即可； （2）分；；三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴， 设， 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为或， 综上，P的坐标为或或或． 3．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解； （2）令，解方程得出点，坐标，再用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， 或， ，； ， ． 【点睛】本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题． 4．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)如图，已知二次函数的图象经过点和点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； (3)点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2)该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 (3) ， 点的坐标为 【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）； （2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标； （3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：点函数图象上， ， 解得：， ， 舍去， ， 点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键． 5．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 6．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3,-4)，B(0,-1)． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值． (3)在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)C点坐标为，，，， 【分析】(1)直接把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可； (2)先求出直线AB的解析式为y=x-1，设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)，PQ=-a2-3a，可得，利用二次函数的性质求解即可； (3)分当AB=BC时，当AB=AC时，当BC=AC时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：(1)将A(-3，-4)，B(0，-1)代入y=x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线解析式为y=x2+4x-1； (2)设直线AB的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线AB的解析式为y=x-1， 设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)， ∴PQ=-a2-3a， ∴， ∵， ∴当a=时，△PAB的面积有最大值； (3)∵抛物线解析式为y=x2+4x-1， ∴抛物线的对称轴为， 设点C(-2，y)， ∵B(0，-1)，A(-3，-4)， ∴AB2=32+32=18，BC2=22+(y+1)2，AC2=12+(y+4)2， ①当AB=BC时， ∴22+(y+1)2=18， 解得， ∴，； ②当AB=AC时， ∴12+(y+4)2=18， 解得， ∴，； ③当BC=AC时， ∴， 解得， ∴； 综上所述：C点坐标为，，，，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，两点距离公式，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 7．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，C，且交x轴负半轴于点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)连接，在直线上方的抛物线上是否存在点M，使得四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，四边形面积的最大值为 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出的坐标，得出，作轴交于，设，则，表示出，从而得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则，即， 令，则，解得，即， 将，代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作轴交于， 8．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线下方是否存在点Q使得？若存在，求出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为，． 【详解】（1）把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为，把代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，如图： 设，则， ， ， ， 当时，取最大值4， 此时的坐标为； （3）直线下方存在点，使得，理由如下： 过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图： 由（2）知， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 由，得直线函数表达式为， 联立，解得或， 的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 9．(24-25九上·新疆乌鲁木齐·期中)如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线，直线（）与抛物线相交于点A，直线与抛物线分别相交于点B． (1)当时，求A，B两点坐标． (2)在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当时，求P点的横坐标． (3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)P点的横坐标为或 (3)直线经过定点 【分析】（1）当时，联立和，可求出A点坐标，联立和可求出B点坐标． （2）先求出直线的解析式为．设，过P点作轴，交直线于E点，则．根据求出m的值，即可得P点的横坐标． （3）由得，由得．设直线的解析式为，则可求得，由此可得直线经过定点． 【详解】（1）解：当时， 联立， 得（舍去），， ． 联立， 得（舍去），， ． （2）解：如图，过P点作轴，交直线于E点， 设直线的表达式为，则 ，解得， ∴：． 设，则． ∴， ， ， ， ． ①当时， 解得，（舍去）． ②当时， 解得，（舍去）． ∴P点的横坐标为或． （3）解：由，得（舍去），， ∴． 由，得（舍去），， ∴． 设直线的解析式为，则 ， 解得，． ∴直线的解析式为． ∴直线经过定点． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数脚钉问题，二次函数与三角形面积问题，掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 10．(24-25九上·新疆乌鲁木齐八一中学·期中)【概念学习】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若图形上存在一点，且满足当时，，则称点为图形的一个“垂近点”． 【初步理解】 （1）如图1，图形为线段，点，． ①试判断点______（填“是”或“不是”）线段的“垂近点”． ②请在图中画出点M所有可能的位置．（用阴影部分表示） 【知识应用】 （2）若图形为直线，二次函数图象上仅有一个“垂近点”，求的值． （3）如图2，若图形为抛物线，正方形的边长为2，中心（对角线的交点）为，如果正方形上存在“垂近点”，求出的取值范围． 【答案】（1）①是；②图见解析 （2）或 （3）或 【分析】（1）根据“垂近点”的定义，即可进行判断， （2）将化成顶点式，分，，两种情况进行讨论，根据“垂近点”的定义，即可求解， （3）由题意得，，，，设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，分，，两种情况，点分别与点、、、重合时，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了，新定义“垂近点”，函数图像上点的特征，解题的关键是：充分理解新定义，结合函数图像上的点的性质与特点． 【详解】解：（1）①当时，， ∴点是线段的“垂近点”， ②M所有可能的位置，如图所示，    （2）将化成顶点式，， 当时，， 当时，， ∴或， （3）∵点是正方形的中心，正方形的边长为2， ∴，，，， 设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，， 当点在轴右侧时，， 如图1，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， 如图2，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， 当点在轴左侧时，， 如图3，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， 如图4，当点与点重合时，，    ∴，解得：或（舍）， ∴当或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”， 故答案为：（1）①是；②图见解析（2）或（3）或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $