专题02 二次函数7考点（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与图像性质 考点02 二次函数图像的平移 考点03 待定系数法求二次函数解析式 考点04 二次函数的增减性、对称性与取值范围 考点05 二次函数的实际应用 考点06 二次函数与几何综合 考点07 二次函数中公共点个数与取值范围问题 地 城 考点01 二次函数的定义与图像性质 1．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 5．(24-25九上·吉林四平·期中)如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在之间（不含端点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·吉林·期中)函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 8．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)若两点均在抛物线上，则 ． 9．(24-25九上·吉林长春第七十八中学·期中)已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 地 城 考点02 二次函数图像的平移 1．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学·期中)把抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的解析式是 ． 4．(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)在平面直角坐标系中，若将抛物线向上平移3个单位长度，则所得的抛物线对应的函数关系式为 ． 5．(24-25九上·吉林通化实验中学·期中)已知二次函数的图象经过点，且该函数的最低点的坐标是． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中的二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移9个单位长度后所得的抛物线的解析式为________________． 6．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)已知二次函数的图象经过点，且最高点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中的二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为______． 7．(24-25九上·吉林·期中)如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 8．(24-25九上·吉林·期中)如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为______； (2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 地 城 考点03 待定系数法求二次函数解析式 1．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)已知二次函数（b，c为常数）的对称轴是直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最大值为______． 2．(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学·期中)已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的顶点坐标． 3．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)已知二次函数 的图象的顶点坐标是求该二次函数的解析式． 4．(24-25九上·吉林松原宁江区第一中学·期中)已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 地 城 考点04 二次函数的增减性、对称性与取值范围 1．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)已知，为二次函数图象上两点，且，则与的大小关系为 ． 2．(24-25九上·吉林松原乾安县·期中)若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 3．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 4．(24-25九上·吉林·期中)如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 5．(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学·期中)如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是________________； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 6．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． (1)求此抛物线对应的函数关系式； (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； (3)当的边与x轴平行时，求的面积． 7．(24-25九上·吉林吉林第二十三中学·期中)已知抛物线经过，． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值； (3)若关于的方程（为实数），在时无解，直接写出的取值范围； (4)将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，它的函数值的最小值为7，求的值． 8．(24-25九上·吉林长春东北师大附中新城校区·期中)如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)求与之间的函数关系式． (3)当时，直接写出的值． 地 城 考点05 二次函数的实际应用 1．(24-25九上·吉林·期中)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·吉林·期中)小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 3．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)火炮发明于中国，是指利用机械能、化学能(火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器.在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系式为若此炮弹在第6秒和第14秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的. 4．(24-25九上·吉林长春第一〇八学校·期中)如图是劳动公园一个桥拱的示意图，拱跨m，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得m，，且m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ． 5．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 6．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)如图，某农户因地制宜，利用一面墙（墙长17米），用总长度34米的栅栏（图中实线部分）围成两个围栏（分别为矩形，矩形），且，米，、的中间各留一个1米的小门，设栅栏 的长为x 米． (1)若矩形围栏的面积为48平方米，求栅栏 的长； (2)求围成的两个矩形围栏的面积和S关于x的函数关系式． 7．(24-25九上·吉林吉林博达中学·期中)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 地 城 考点06 二次函数与几何综合 1．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点． (1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标； (2)若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标． 2．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线上方的抛物线上有一点D，使得，则D点的坐标为______． 3．(24-25九上·吉林长春第七十八中学·期中)如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线过A、B两点． (1)直接写出点A、B的坐标； (2)求抛物线解析式； (3)点M是抛物线上的一点，且在直线上方，连接、．设点M横坐标为m，的面积为S，则S与m之间的函数关系式为 ，自变量m的取值范围为 ． 4．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 5．(24-25九上·吉林·期中)如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，顶点为点．    (1)求点、的坐标； (2)求四边形的面积． 6．(24-25九上·吉林·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，．经过点O，A的抛物线L：交AB于点C，点C的横坐标为1．点P在线段AB上，当点P与点C不重合时，过点P作轴，与抛物线交于点Q.以PQ为边向右侧作矩形，且．设点P的横坐标为m时，解答下列问题． (1)求此抛物线L的解析式； (2)当抛物线的顶点落在边上时，求m的值； (3)矩形为正方形时，直接写出m的值． 7．(24-25九上·吉林长春东北师大附中新城校区·期中)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围． (3)当点的纵坐标为1时，求点的坐标． (4)当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差． 8．(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)如图，在平面直角坐标系中O为坐标原点，抛物线与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点P作轴于点Q．以为边作矩形PQAM． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点O在矩形的边上时，求m的取值范围； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (4)当时，设矩形垂直于y轴的边所在的直线分别为、，若该抛物线的顶点到这两条直线的其中一条直线的距离是到另一条直线的距离的2倍时，直接写出m的值． 地 城 考点07 二次函数中公共点个数与取值范围问题 1．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 2．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． (3)过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 3．(24-25九上·吉林·期中)在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．点Q是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时，求点Q的坐标； (3)抛物线上任意两点，求m的取值范围； (4)点Q与点B之间的部分（不包括两点）记为图象G．点，点，连接，线段与图象G只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 7大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与图像性质 考点02 二次函数图像的平移 考点03 待定系数法求二次函数解析式 考点04 二次函数的增减性、对称性与取值范围 考点05 二次函数的实际应用 考点06 二次函数与几何综合 考点07 二次函数中公共点个数与取值范围问题 地 城 考点01 二次函数的定义与图像性质 1．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义解答即可 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求解即可．本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 【详解】解：的顶点坐标是． 故选C． 3．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同， ∴二次项系数， 故选：． 4．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意； 故选：B． 5．(24-25九上·吉林四平·期中)如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故选项A错误； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，故选项B错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故选项C正确； ∵二次函数图象过点，对称轴是直线， ∴二次函数图象过点， ∴，故选项D错误； 故选：C． 6．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在之间（不含端点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断A，B；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断C；将c和b用a表示，即可得到，即可判断D． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则，，故选项B错误； ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故选项A错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故选项C错误； ∵，，， ∴，解得，故选项D正确； 故选：D． 7．(24-25九上·吉林·期中)函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，， 故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，， 故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ， 故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 8．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)若两点均在抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线上两个不同点，，若有，则，两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：． 【详解】解：∵点的纵坐标相等， ∴点关于对称轴对称， ∵对称轴是直线， ∴． 故答案为：2． 9．(24-25九上·吉林长春第七十八中学·期中)已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵对称轴为，得， ，且a、b异号，即， 又∵， ∴， 故①正确、③错误； 根据图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴即，故②正确； ∵对称轴为，得， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 地 城 考点02 二次函数图像的平移 1．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据上加下减的原则得出解析式即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为， 故选：A． 2．(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学·期中)把抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．直接根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意，由二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 即可得到的图象解析式是，即． 故选：B． 3．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，理解并掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，即可获得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的新抛物线的解析式是． 故答案为：． 4．(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)在平面直角坐标系中，若将抛物线向上平移3个单位长度，则所得的抛物线对应的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：抛物线，向上平移3个单位长度， 所得的抛物线的解析式，即． 故答案是：． 5．(24-25九上·吉林通化实验中学·期中)已知二次函数的图象经过点，且该函数的最低点的坐标是． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中的二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移9个单位长度后所得的抛物线的解析式为________________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及待定系数法确定函数解析式．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）利用“左加右减，上加下减”的平移规律书写平移后抛物线解析式． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移9个单位长度后所得的抛物线的解析式为：， 即， 故答案为：． 6．(24-25九上·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学·期中)已知二次函数的图象经过点，且最高点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中的二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为______． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及待定系数法确定函数解析式．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）利用“左加右减，上加下减”的平移规律书写平移后抛物线解析式． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：将二次函数的图象先向左平移3个单位长度， 再向上平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为：， 即， 故答案为：． 7．(24-25九上·吉林·期中)如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为：，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设抛物线沿x轴向右平移后抛物线解析式为：，把代入得： 则 解得：，， 平移后抛物线解析式为：或． 故答案为：或． 8．(24-25九上·吉林·期中)如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为______； (2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 【答案】(1) (2)函数向下平移3个单位得到的二次函数为 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与x轴的交点，二次函数的平移等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键． （1）根据二次函数图象的对称性可求出点的坐标； （2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，根据平移规律解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线， ∴点的坐标为； （2）解：把，分别代入，得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为， 将二次函数的图象向下平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为． 地 城 考点03 待定系数法求二次函数解析式 1．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)已知二次函数（b，c为常数）的对称轴是直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，二次函数的最大值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵，且， ∴二次函数的图象开口向上，时，函数有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，二次函数的最大值为5． 2．(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学·期中)已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的解析式，并求出它的顶点坐标． 【答案】，顶点坐标是 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，把点和分别代入，得，再化为顶点式，得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴， 整理得 ∴顶点坐标是 3．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)已知二次函数 的图象的顶点坐标是求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式．已知二次函数的顶点坐标，可设成顶点式，这是是解题的关键．设二次函数的解析式为，即，可得，求出a的值，即可得该二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数 的图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴该二次函数的解析式为． 4．(24-25九上·吉林松原宁江区第一中学·期中)已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】此题考查待定系数法求抛物线的解析式，设顶点式，将点代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 地 城 考点04 二次函数的增减性、对称性与取值范围 1．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)已知，为二次函数图象上两点，且，则与的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的增减性，能够根据二次函数顶点式确定函数的增减性并判断函数值的大小关系是解决本题的关键． 先根据二次函数顶点式确定函数对称轴、开口方向，得到二次函数在时的增减性，再根据对应值的大小关系判断值的大小关系即可． 【详解】解：由二次函数表达式可知： 二次函数的对称轴为：直线． ． 抛物线开口向下． 当时，随的增大而增大． ． ． 故答案为：． 2．(24-25九上·吉林松原乾安县·期中)若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了本题考查了二次函数的性质．根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为轴，即可根据自变量的大小判断函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数为：， ， ∴二次函数的开口向上，对称轴为轴， 点关于对称轴的对称点为， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 3．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 4．(24-25九上·吉林·期中)如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数函数值的范围： （1）直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）观察图象，可知当时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过两点， ∴解析式为：； （2）∵， 观察图象可知：当时，取最大值0，顶点处取最小值， ∵， ∴当时，函数有最小值为：， ∴当时，y的取值范围． 故答案为：． 5．(24-25九上·吉林吉林桦甸第七中学·期中)如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是________________； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析、二次函数的最值、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与思想是解此题的关键． （1）将，代入抛物线解析式，得出，求出的值即可得出答案； （2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线，由根据抛物线开口向下得出当时，有最大值，此时，计算出当时，，由此即可得出答案； （3）分中情况：当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在处最大，在处最小；当时，图象在顶点处最大，在处最小；分别计算即可得出答案； 【详解】（1）解：抛物线（为常数）与轴的两个交点分别为，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，此时， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：点是抛物线上一点，其横坐标为， ， 分种情况进行讨论， 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 整理得：， ， 此方程无解； 当时，图象在顶点处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，的值为或． 6．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． (1)求此抛物线对应的函数关系式； (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； (3)当的边与x轴平行时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)8或64 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点A及抛物线的对称轴可进行求解； （2）由题意可得点P、点Q都在对称轴的右侧时，然后问题可求解； （3）由题意可分当轴时，则有点P的坐标为，当轴时，则有点Q的坐标为，然后根据三角形面积公式可进行求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线 ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式； （2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，， ∴点B的横坐标为， ∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q， ∴点Q的横坐标为m， ∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大； ∴m的取值范围为； （3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为，即， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； 当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称， ∴点Q的坐标为，即， ∴，即点P的横坐标为， ∴当时，， ∴点， ∴． 7．(24-25九上·吉林吉林第二十三中学·期中)已知抛物线经过，． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值； (3)若关于的方程（为实数），在时无解，直接写出的取值范围； (4)将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，它的函数值的最小值为7，求的值． 【答案】(1)，直线 (2) (3)或 (4)5 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移，二次函数的对称性等，解题的关键是分类讨论思想和转化思想的运用． （1）由交点式求解即可； （2）根据二次函数的对称性解题即可； （3）先求出当时，y的求值范围，再把关于的方程（为实数），在时无解问题，转化为直线与抛物线在上的图象无交点问题，进而求解即可； （4）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ， 对称轴为直线； （2）解：由（1）得函数解析式为，把代入得， ， ， 是抛物线上不同的两点， 关于对称轴直线对称， ， ； （3）解：当时，， 当时，， 对称轴为直线，，， 当时，， 设直线，如图： 关于的方程，即，在时无解， 直线与抛物线在上的图象无交点， 或 ； （4）解：∵此抛物线沿x轴向左平移个单位长度， 平移后的解析式为， ∴对称轴为， ， ， 当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意， 当即时，y在上随x的增大而减小， 当时，有最小值， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为． 8．(24-25九上·吉林长春东北师大附中新城校区·期中)如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)求与之间的函数关系式． (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或， 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数求解析式和二次函数求解析式及二次函数图象和性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，用m表示出，，利用求解即可； （3）先求得，利用，列得一元二次方程，解之取其负值即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴的值为得或， 地 城 考点05 二次函数的实际应用 1．(24-25九上·吉林·期中)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故选：D． 2．(24-25九上·吉林·期中)小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．根据表中数据得出抛物线解析式；令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【详解】解：由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为. 当时，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， （米）， ∴小溪的宽度不超过米． 故答案为：． 3．(24-25九上·吉林吉林第九中学·期中)火炮发明于中国，是指利用机械能、化学能(火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器.在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系式为若此炮弹在第6秒和第14秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的. 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是掌握当抛物线开口向下时，函数在对称轴处取得最大值．根据炮弹在第6秒和第14秒时高度相等列式，得，然后求出对称轴，依据抛物线在对称轴处函数的最值确定答案． 【详解】解：依题意，当，值相等， ， 整理，得， 抛物线， 抛物线的对称轴方程为：， 因为炮弹高度的函数图象是开口向下的抛物线， ， 炮弹在处高度最高， 炮弹飞行第10秒时的高度是最高的， 故答案为：10． 4．(24-25九上·吉林长春第一〇八学校·期中)如图是劳动公园一个桥拱的示意图，拱跨m，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得m，，且m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用；可设二次函数的表达式为，由题可求，，代入求解，即可求解；理解实际意义，会用待定系数法求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 可设二次函数的表达式为， ， ， ， ， ， 解得：， 二次函数的表达式为． 5．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 【答案】(1)①见解析；②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为；③小明第一次投篮练习成功，见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①描点，作图即可； ②根据图表，可得抛物线关于直线对称，图象开口向下，进而可求最高点距离地面的竖直高度； ③设抛物线的解析式为，将代入，求得，则，将代入得，，则小明第一次投篮练习成功； （2）将代入得，，解得，，则，当时，，求出满足要求的值即可． 【详解】（1）解：①如图所示， ②∵，， ∴抛物线关于直线对称， ∵图象开口向下， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为； ③小明第一次投篮练习成功． 理由：设抛物线的解析式为． 将代入得，．解得． ∴． 将代入得，． ∴小明第一次投篮练习成功； （2）解：将代入得，．解得． ∴． 当时，． 解得：，（不合题意，舍去）． ∴此时小明距篮筐中心的水平距离． 6．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)如图，某农户因地制宜，利用一面墙（墙长17米），用总长度34米的栅栏（图中实线部分）围成两个围栏（分别为矩形，矩形），且，米，、的中间各留一个1米的小门，设栅栏 的长为x 米． (1)若矩形围栏的面积为48平方米，求栅栏 的长； (2)求围成的两个矩形围栏的面积和S关于x的函数关系式． 【答案】(1)栅栏 的长为米． (2) 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设栅栏 的长为x 米，结合栅栏的全长34米可得： 米．可得米，再利用面积公式建立方程即可； （2）由题意可得：，代入数据，再整理即可； 【详解】（1）解：设栅栏 的长为x 米，则、处用的栅栏长为米， 由栅栏的全长34米可得：， 又， ∴米． ∴米， 又∵矩形围栏面积为平方米，即， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，，符合题意； ∴栅栏 的长为6米． （2）解：由题意可得： ； ∴围成的两个矩形围栏的面积和S关于x的函数关系式为： ； 7．(24-25九上·吉林吉林博达中学·期中)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． （2）由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 地 城 考点06 二次函数与几何综合 1．(24-25九上·吉林吉林第五中学·期中)如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点． (1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标； (2)若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，把代入得：，求出或，即可得出点E的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点A和点B， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴顶点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵轴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：或， ∵点E在抛物线对称轴的左侧， ∴． 2．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线上方的抛物线上有一点D，使得，则D点的坐标为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数与面积问题． （1）先求出点，点坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）过点作x轴的垂线交于点E，设点，则，求出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由可得： 当时，；当时，， ∴，， 把、的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点作x轴的垂线交于点E， 设点，则， ∴， ∵，即， ∴， 解得：或， ∴时，； 时，； ∴点的坐标为或． 3．(24-25九上·吉林长春第七十八中学·期中)如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线过A、B两点． (1)直接写出点A、B的坐标； (2)求抛物线解析式； (3)点M是抛物线上的一点，且在直线上方，连接、．设点M横坐标为m，的面积为S，则S与m之间的函数关系式为 ，自变量m的取值范围为 ． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】此题考查了待定系数法求解析式，二次函数与几何的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数图像上点的坐标特点． （1）分别令，，代入求解即可； （2）将，代入抛物线解析式，利用待定和系数法求解即可； （3）过点作轴，交于点，则的面积，求解即可． 【详解】（1）解：对于， 令，则，解得，即点的坐标为， 令，则，即点的坐标为， ∴，； （2）将，代入抛物线解析式可得： ，解得， 即； （3）过点作轴，交于点，如下图： 点M是抛物线上的一点，且在直线上方，则， 由题意可得：， ， 的面积 ， 综上：，． 故答案为：，． 4．(24-25九上·吉林吉林龙潭区古川学校·期中)如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； ∴， ∴当时，； ∴． 5．(24-25九上·吉林·期中)如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，顶点为点．    (1)求点、的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)、 (2)18 【分析】（1）根据二次函数的图象与轴分别交于点、，则令，求出的值，即可作答； （2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点和点的坐标，然后根据图形可知：，然后代入数据计算即可． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点、， ∴令，则 ∴ ∴结合图象得，、． （2）解：连接，如图所示，   ， 点的坐标为，点的坐标为， 点，， ， ， 即四边形的面积是18． 6．(24-25九上·吉林·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，．经过点O，A的抛物线L：交AB于点C，点C的横坐标为1．点P在线段AB上，当点P与点C不重合时，过点P作轴，与抛物线交于点Q.以PQ为边向右侧作矩形，且．设点P的横坐标为m时，解答下列问题． (1)求此抛物线L的解析式； (2)当抛物线的顶点落在边上时，求m的值； (3)矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线L的解析式为 (2) (3)m的值为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据函数自变量求函数值范围，二次函数的与几何在综合，坐标与图象，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）先求出直线的解析式为，进而得出点，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点为，进而得出的纵坐标为，代入直线的解析式求出值即可； （3）由直线和二次函数解析式得到，，进而可得，结合四边形为正方形，可得，解方程即可解题． 【详解】（1）解： ∵， ∴，， 设直线的解析式为，得 ，解得：， ∴直线的解析式为 ∵点C的横坐标为1．，即点 抛物线经过点，， ， 解得， 这条抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为，顶点为， ∵矩形， ∴，， ∵轴 ∴轴， ∴， 点P在线段AB上，点的横坐标为， ， 解得： （3）解：矩形为正方形时，即， 点P在线段AB上，而且不与点重合，横坐标为， ， 而且 轴， ， ∴，即， 当时，解得，（不合题意，舍去）， 当时，解得， 综上所述：或 7．(24-25九上·吉林长春东北师大附中新城校区·期中)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围． (3)当点的纵坐标为1时，求点的坐标． (4)当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)1或 【分析】（1）根据点及抛物线的对称轴可进行求解； （2）由题意和抛物线的对称轴和增减性即可求解； （3）根据点的纵坐标为1，算出横坐标，即可求解； （4）由题意可分①当轴时，②当轴时，③当轴时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴该抛物线对应的函数关系式为； （2）解：∵点的横坐标为为的中点， ∴点的横坐标为， ∵过点作轴的平行线交此抛物线于点， ∴点的横坐标为， ∴点、点都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大； （3）解：当点的纵坐标为1时， ∵点的横坐标为为的中点，点的横坐标为， ∴， 解得：或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，或． （4）解：根据题意可得抛物线的函数关系式为， 故顶点坐标为， ①当轴时，点关于对称轴直线对称， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是两点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是顶点，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； ②当轴时，点关于对称轴直线对称， ∴点的坐标为， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； ③当轴时，点关于对称轴直线对称， 点的坐标为，点的坐标为， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； 综上，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为1或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 8．(24-25九上·吉林松原前郭县北部学区·期中)如图，在平面直角坐标系中O为坐标原点，抛物线与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点P作轴于点Q．以为边作矩形PQAM． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点O在矩形的边上时，求m的取值范围； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (4)当时，设矩形垂直于y轴的边所在的直线分别为、，若该抛物线的顶点到这两条直线的其中一条直线的距离是到另一条直线的距离的2倍时，直接写出m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线与x轴的另一个交点为，当点O在矩形的边上时，点P在x轴的上方，据此求解即可； （3）当时，函数值y随x的增大而增大，据此求解即可； （4）先求得顶点坐标为，设点，再求得点到直线的距离为，点到直线的距离为，分和两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 当点O在矩形的边上时， ∴点P在x轴的上方，此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，函数值y随x的增大而增大， ∵抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大， ∴； （4）解：∵， ∴顶点坐标为， 设点， ∴点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 当时， 则， 整理得， 解得； 当时， 则， 整理得， 解得； 综上，或． 【点睛】此题考查了抛物线与图形的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，图形的对称性，正确掌握各知识点是解题的关键． 地 城 考点07 二次函数中公共点个数与取值范围问题 1．(24-25九上·吉林吉林第七中学校·期中)已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入可求，进而可得二次函数的解析式； （2）由，可知对称轴为直线，图象开口向上，当时，；当时，；当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，则，当时函数值最小，当时函数值最大，，计算求出满足要求的解即可； （3）当时，二次函数的函数值，由关于x的方程（t为实数），在时无解，可知，在时无解，然后求解作答即可； （4）当时，可求，顶点坐标为，如图，当时，，即；由图可知，当时，交点只有一个，当时，轴，交点只有顶点一个，然后作答即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，图象开口向上， 当时，； 当时，； ∵当时，该二次函数最大值与最小值的差是9， ∴， 当时函数值最小，当时函数值最大， ∴， 解得，，（舍去）， ∴t的值为6； （3）解：当时，二次函数的函数值， ∵关于x的方程（t为实数），在时无解， ∴，在时无解， ∴或； （4）解：当时， 解得，， 顶点坐标为， 如图， 当时，，即； 由图可知，当时，交点只有一个， 当时，轴，交点只有顶点一个， 综上所述，当该函数图象与线段只有一个公共点时，或． 2．(24-25九上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式． (2)若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． (3)过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质解答即可； （3）①根据题意得到，先求出直线的解析式，得到点P，点N的坐标，再利用两点间距离公式求出，建立方程求解即可；②过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，分点P在点A左侧和右侧两种情况讨论，求出的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：∵，且， ∴当时，函数有最小值， 令， 解得：， ∴当或时，函数值为， ∵， ∴当时，； （3）解：①根据题意：， ∵点P在抛物线上，其横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据题意：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）或（舍去） ∴当是以为底边的等腰三角形时，m的值为； ②如图，过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，当点P在点A左侧时， 则， ∵，，， ∴， ∴， 当点重合时，则，即， 解得：（舍去）或， 当点重合时，则， ∴； 如图，当点P在点A右侧时， 同理，当点重合时，则，即， 解得：或（舍去）， 当点重合时，则， ∴； 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及解析式，二次函数与不等式，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与直线交点问题，熟练掌握数形结合的思想，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．(24-25九上·吉林·期中)在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．点Q是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时，求点Q的坐标； (3)抛物线上任意两点，求m的取值范围； (4)点Q与点B之间的部分（不包括两点）记为图象G．点，点，连接，线段与图象G只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）直接把把代入求出b值即可求解． （2）先求出点的坐标，得到点C到x轴距离为3，设点，再根据点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍得，代入解析式，求解即可． （3）根据，得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，在时y随x增大而减小，当点M、N在对称轴右侧时，得；当点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时，由点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离小，得，分别求解即可． （4）设直线与抛物线交于点G、H，求得，，分类讨论，点F与点G重合，点E与点G重合；或点F与点H重合以及点E与点H重合两种临界状态，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：令，则， ∴， ∴点C到x轴距离为3， 设点， 当点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍时， ， ∴或， 把代入，得 ，即， ∵， ∴方程无解； 把代入，得 ，即， 解得：，， ∴点Q的坐标或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 又， ∴抛物线开口向下，在时y随x增大而减小， ∵抛物线上任意两点， 当点M、N在对称轴右侧时， ∴， 解得：， 当点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时， ∴点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离小， ∴ 解得：， 综上，当时，抛物线上任意两点． （4）解：如图，设直线与抛物线交于点G、H， 把代入，得， 解得：，， ∴，， 当点F与点G重合时，如图： 此时， 解得： 当点E与点G重合时，与点也重合，如图， 此时， ∴满足条件，； 当点F与点H重合时，如图： 此时，解得：， 当点E与点H重合时，此时与点Q也重合，如图： 此时, ∴满足条件： 综上所述：线段与图象G只有一个公共点时，或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的图象性质，抛物线与直线的交点问题，此题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $