专题01 一元二次方程6考点（期中真题汇编，新疆专用）九年级数学上学期人教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01一元二次方程 ☆6大高频考点概览 考点01一元二次方程的概念与一元二次方的解 考点02一元二次方程根的判别试 考点03解一元二次方程 考点04配方法的应用 考点05一元二次方程根与系数关系 考点06一元二次方程的实际应用 目目 考点01 一元二次方程的概念与一元二次方程的解 1.(24-25九上新疆阿克苏拜城县期中)一元二次方程3x2-8x+5=0的一次项系数和常数项分别是() A.3,5 B.-8,5 C.3,-5 D.8,-5 2.(24-25九上·新疆·期中)下列方程中，是一元二次方程的是() A.x2=3x-2B.x2+3xy=6 C.1+ D.2x+y=1 3.(24-25九上新疆哈密第八中学期中)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x-2y=1B.x2-2x+1=0C.x2-2y+4=0 D.x2+3=2 4.(24-25九上新彊阿克苏拜城县期中)已知m是一元二次方程x2-3x+1=0的一个根，则代数式 m2-3m-7的值为一· 5.(24-25九上·新疆·期中)已知x=2是关于x的方程x2+ax-3a=0的根，则a的值为() A.-4 B.4 C.2 D. 6.(24-25九上新疆哈密第八中学期中)已知关于x的一元二次方程x2x-6=0,其中一次项系数被 图迹污染了，若这个方程的一个根为-2，则一次项系数为() A.-2 B.1 C.-1 D.-6 7.(24-25九上新疆昌吉回族期中)已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根，则m的值是() A.-3 B.3 C.0 D.0或-3 8.(24-25九上新疆阿克苏库车实验中学教育集团期中)己知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根， 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则m的值是() A.-3 B.3 C.0 D.0或-3 9.(24-25九上新疆乌鲁木齐.期中)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则5a+10b的值 为() A.-5 B.-1 C.1 D.5 10.(24-25九上新疆哈密第五中学，期中)已知m是方程x2-2x-2024=0的一个根，则 m2-2m+1= 11.(2425九上新疆昌吉回族奇台县·期中)已知a是方程x2-x+5=4的解，求代数式 (2a-3)2a+3)-4a5-4a的值. 目目 考点02 元二次方程根的判别式 1.(24-25九上新疆哈密第八中学期中关于x的方程4x2-4x+1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 2.(24-25九上新疆和田墨玉县·期中)不解方程，请你判断一元二次方程x2+4x-1=0的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.(24-25九上·新疆昌吉回族期中)方程2x2-x+1=0的根的情况是() A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 4.(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)一元二次方程ax2-2r+1=0有实数根，则a的取值范围是() A.a≤1 B.a<1且a≠0 C.a≤1且a≠0 D.a≠0 5.(24-25九上新疆昌吉回族期中)关于x的一元二次方程ax2-x+1=0有实数根，则a的取值范围是() A.as且a*0B.as} C.a≥-1且a*0D.a≥-1 4 4 6.(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)关于x的一元二次方程x2-4x+4=0有实数根，k的取值范围 是 7.(24-25九上·新疆昌吉回族期中已知关于x的一元二次方程×2-4x+m-1=0有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根。 8.(24-25九上新疆昌吉回族期中)已知关于x的方程x2+ax+a-2=0. 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根 9.(24-25九上新疆哈密第四中学期中)已知关于的方程x2+ax+a-2=0. (1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根， (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根， 10.(24-25九上新疆哈密第五中学.期中已知关于x的方程x2+(m+5)x+m+1=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的一个根是-2，求m的值及方程的另一个根。 目目 考点03 解一元二次方程 1.(24-25九上新疆昌吉回族期中一元二次方程x-1(x-2)=0的解是()， A.x=1 B.x=2 C.x=1,x2=2D.x=-1,x=-2 2.(2425九上新疆哈密第四中学·期中)已知×为实数，且满足(x2+x+1)2+2(x2+x+1)-3=0,那么x2 +x+1的值为（) A.1 B.-3 C.-3或1 D.-1或3 3.(24-25九上新疆和田墨玉县·期中)用配方法解方程x2+2x-3=0时，配方后得到的方程 为 4.(24-25九上·新疆和田墨玉县期中)解方程： (1)x2-6x+5=0 (2)2x2+3x-5=0 5.(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)解方程 (1)(x-3)2=4 (2)x2-5x-6=0 (3)2x2=x+15 (4)(2x+1)2=3(2x+1) 6.(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)用指定方法解下列一元二次方程 (1)3(2x-1)2-12=0(直接开平方法) (2)2x2-4x-7=0（配方法) 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)x2+x-1=0(公式法) (4)(2x-)2-x2=0(因式分解法) 7.(24-25九上新疆哈密第四中学期中)解方程： (1)2x2+4x-1=0 (2)x2-3x+2=0 8.(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)按要求解方程： (1)2x2-5x+3=0（公式法)； (2)x2x+7)=32x+7)(因式分解法). 9.(24-25九上新疆阿克苏库车实验中学教育集团期中用适当的方法解下列一元二次方程 (1)川2.x+3)2-25=0 (2)x2-4x-3=0 (3)3(x-5)=2(5-x (4)xx+4=8x+12 10.(24-25九上新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学期中)解方程： (1)x2-4x+3=0; (2)18x16x228x: (3)x-22+x(x-2)=0. 目目 考点04 配方法的应用 1.(24-25九上新疆阿克苏拜城县期中)把一元二次方程x2-8x+3=0化成(x+m)=n的形式，则m+n的 值为一 2.(24-25九上新疆昌吉回族期中)阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2-2a+5的最小值.方法如下： :a2-2a+5=a2-2a+1+4=(a-1)2+4,由(a-1)2≥0，得(a-1)2+4≥4；：代数式a2-2a+5的最小值是 4. 请仿照上述方法求代数式x2+10x+7的最小值， 4/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 一元二次方程根与系数关系 1.(24-25九上新疆哈密第四中学·期中)若x,x2是一元二次方程2x2-9x+4=0的两根，则x+x2的值是() A.-2 B.2 c D.月 2.(24-25九上新疆昌吉回族奇台县期中)己知X1,x3一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，则x1+x2=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.(24-25九上新疆期中)若a、b是方程x2-4x-2023=0的两个根，则a+b=_ 4.(24-25九上新疆昌吉回族期中)若一元二次方程2x2+3x-6=0的两个根分别为x,x3,则x·x2的 值」 5.(24-25九上新疆哈密第五中学期中已知一元二次方程x2-3x-4=0的两根为x,女2，则x2+x号=一， 6.(Q425九上新疆路什)诺关于x的一元二次方程+2x+p=0两根为5、5，且上+=3，则刀的值 为 6.(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)已知一元二次方程2x2-x-2=0的两根是x,x2,求下列代数式的值. (10(x-x2)2: (2)x1+1(x2+1. 7.(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学.期中)已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+1=0 (1)有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值. 8.(24-25九上新疆吐鲁番期中)已知关于x的方程x2+2x+a-2=0 (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数α的取值范围： (2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根。 10.(2425九上新疆乌鲁木齐实验学校期中)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0. (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根： (2)若该方程有一个根为4，求m的值： (3)若方程的两个实数根为x,x2,且满足x2+x22=9,求m的值. 5/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 元二次方程的实际应用 1.(2425九上新疆昌吉回族奇台县期中)2022年，新《医保目录》启用，部分药品实行降价.某药品经过 两次降价，每瓶零售价由132元降为102元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x,根据 题意列方程得() A.1321+x)2=102 B.132(1-x)2=102 C.132(1+x2)=102 D.1321-x2)=102 2.(24-25九上新疆哈密第八中学期中)某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的 增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元.若增长率为x,则下列方程正确的是() A.31+x)=10 B.31+x)2=10 C.3+31+x)=10 D.3+31+x)+31+x)=10 3.(24-25九上新疆和田墨玉县·期中)我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六 十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方 步，它的宽比长少12步.如果设长为x步，则可列出方程() A.xx+12)=864 B.x(x-6)=864 C.xx-12)=864 D.xx+6=864 4.(24-25九上新疆昌吉回族期中)生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件， 全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是() A.x(x+1=182 B.x(x-1=182 C.2xx+1)=182 D.x(x-1)=182×2 5.(24-25九上新疆昌吉回族期中)已知一个直角三角形的面积为10，两直角边长的和为9，则两直角边长 分别为() A.3,6 B.2,7 C.1,8 D.4,5 6.(24-25九上·云南红河州蒙自三中教育集团期中)我国的乒乓球“梦之队”在2024年巴黎奥运赛场上大放异 彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）·计划分为4组， 每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得() 6/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.xx+1=28 B.x(x-1)=28 1 C. x(x+1)=28 D.2x-0=28 2425九上期定义新运算：规定&Pd-6c,例物 「241=2×8-4×6=-8，若 68 3x1-8x 1 x =2,则x的值为 8.(24-25九上新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)三角形两边长分别是8和6，第三边长是方程x2- 12x+20-0的一个实数根，则三角形的周长是， 9.(24-25九上·新疆和田墨玉县期中)如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩 形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m)，另外三面用栅栏围成，己知栅栏总长度为18m,设矩形垂直于墙 的一边，即AB的长为xm,若矩形养殖场的面积为36m,求此时的x的值. 10m A D xm B 10.(24-25九上新疆乌鲁木齐米东区·期中)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚， 一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m),其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一 个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位) 60m D (1)若设车棚宽度AB为xm,则车棚长度BC为 m; (2)若车棚面积为285m2,试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出 设计方案；如果不能，请说明理由。 11.(24-25九上·新疆哈密第八中学.期中)己知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. 12.(24-25九上新疆哈密第八中学期中)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开 7/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 始沿边AB向终点B以1cms的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cms的速度移动. 如果P,Q分别从A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.(0<t<3列 D (1)当t为何值时，P2的长度等于5cm? (2)连接PC,是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请 说明理由 13.(24-25九上·新疆哈密第八中学期中)2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物江南忆”公仔爆红.据 统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件. (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件， 售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售 该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 8/8 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念与一元二次方程的解 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 解一元二次方程 考点04 配方法的应用 考点05 一元二次方程根与系数关系 考点06 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念与一元二次方程的解 1．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3，5 B．，5 C．3， D．8， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，为一次项系数，为常数项，由此即可得出答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是，5， 故选：B． 2．(24-25九上·新疆·期中)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【详解】解：．是一元二次方程，故该选项符合题意； ． 含有两个未知数，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是分式方程不是整式方程，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．含有两个未知数且最高次数为1，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B、，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、，含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项不符合题意； D、，分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入一元二次方程得出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·新疆·期中)已知是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】把代入，转化为a的方程求解即可． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，掌握方程的解的意义是解题的关键． 6．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入方程求解即可． 【详解】解：设一元二次方程为， 将代入得，，解得，， ∴一次项系数为． 故选：C． 7．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可． 【详解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解， ∴4+2m+2＝0， ∴m＝． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 8．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可． 【详解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解， ∴4+2m+2＝0， ∴m＝． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 9．(24-25九上·新疆乌鲁木齐·期中)已知是关于的一元二次方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握方程的解即为使方程成立的未知数的值是解题关键．将代入，即，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴，即， ∴． 故选A． 10．(24-25九上·新疆哈密第五中学·期中)已知是方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2025． 11．(24-25九上·新疆昌吉回族奇台县·期中)已知a是方程的解，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了代数式求值，方程的解，整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整体代入法的应用．先化简得出，然后根据是方程的解，得出， 最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ ． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 1．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)关于x的方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 2．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)不解方程，请你判断一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．求出判别式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 3．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)方程 2x 2 - x + 1 = 0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算判别式得到△=-4，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵△=12−4×2×1=−7<0， ∴方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式. 4．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，方程有实数根，可得判别式的值大于或等于零，据此求解即可． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：且， 故选：C． 5．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A．且 B． C． 且 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：且 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 6．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由于关于的一元二次方程有实数根， 且原方程是一个一元二次方程，则的系数不为0； ， 即， 解得． 故答案为：且． 7．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】m＝5，x1=x2=2． 【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5． 当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2． 所以原方程的根为x1＝x2＝2． 【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 8．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】（1）见解析；（2）a=，x1=﹣ 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 9．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)已知关于的方程． (1)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根． (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，； (2)证明见详解； 【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根； （2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明； 【详解】（1）解：∵方程的一个根为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； 【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根． 10．(24-25九上·新疆哈密第五中学·期中)已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析； (2)另一个根为2，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况以及二元一次方程的解，解决此题的关键是熟练掌握掌握二元一次方程的解法． （1）方程总有两个实数根，可得到，算出结果即可． （2）已知一个根是，把这个根代入求出m，进而得到原方程求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程得， 解得， 原方程为， ， 另一个根为2，． 地 城 考点03 解一元二次方程 1．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)一元二次方程的解是（    ）. A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解一元二次方程成为解题的关键. 直接运用因式分解法求解即可. 【详解】解：， ， 所以方程组的解为：，. 故选：C. 2．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或3 【答案】A 【分析】采用换元法，设，将方程变形为，然后解方程，再根据判断取值. 【详解】设，则原式可化为：，解得：， ∵， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查用换元法解方程，换元降次是关键，最后还要注意根据判断取值. 3．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)用配方法解方程时，配方后得到的方程为 . 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故答案为： ． 4．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是关键． （1）用十字相乘法因式分解，进而即可求解； （2）用十字相乘法因式分解，进而即可求解． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴， 5．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； （4）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴或， ∴； （3）解： ∴ ∴或， ； （4）解：， ， 即， ∴或， 6．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 7．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程．选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键. （1）先根据，得出方程有两个不相等的实数根，再根据求解即可． （2）把分解为，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， （2）解： ， ∴或， ∴， 8．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)按要求解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 9．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法成为解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可； （3）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （4）先化成一般式，然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ， ， ， ∴，， ∴． （4）解：， ， ， ， ∴，， ∴． 10．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先整理原方程为一元二次方程的一般形式，再利用直接开平方的方法解方程即可； （3）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 地 城 考点04 配方法的应用 1．(24-25九上·新疆阿克苏拜城县·期中)把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，先将化成，得出、的值，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：，由，得；代数式的最小值是4． 请仿照上述方法求代数式的最小值． 【答案】代数式的最小值是． 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：∵， 由，得 ； ∴代数式的最小值是． 地 城 考点05 一元二次方程根与系数关系 1．(24-25九上·新疆哈密第四中学·期中)若，是一元二次方程的两根，则的值是（  ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ， 故选C． 2．(24-25九上·新疆昌吉回族奇台县·期中)已知 ，一元二次方程的两个根，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵，一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C． 3．(24-25九上·新疆·期中)若、是方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可得到答案； 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， 故答案为：4． 4．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)若一元二次方程的两个根分别为，，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．(24-25九上·新疆哈密第五中学·期中)已知一元二次方程的两根为，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，，熟记根与系数的关系式是解题的关键，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可得到答案 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 故答案为：17． 6．(24-25九上·新疆喀什·)若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故答案为：． 6．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)已知一元二次方程的两根是，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系： （1）由根与系数的关系可得，再由代值计算即可； （2）根据，直接代值计算即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 7．(24-25九上·新疆巴音郭楞蒙古和静县第三中学·期中)已知关于的一元二次方程． (1)有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果方程的两根之和等于两根之积，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：且方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 答：的取值范围是． （2）由题知，该方程的两根之和为，两根之积为 方程的两根之和等于两根之积， ， 解得，． 由（1）可知：时方程有实数根， ． 8．(24-25九上·新疆吐鲁番·期中)已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 10．(24-25九上·新疆乌鲁木齐实验学校·期中)已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为4，求的值； (3)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练的运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）将方程有一个根为4代入原方程，可得关于的方程，求解即可； （3）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：证明： ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）∵该方程有一个根为4， ∴， 解得：； （3）根据题意得，， ∵，即：， ， 解得，， 的值为或． 地 城 考点06 一元二次方程的实际应用 1．(24-25九上·新疆昌吉回族奇台县·期中)2022年，新《医保目录》启用，部分药品实行降价．某药品经过两次降价，每瓶零售价由132元降为102元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该药品经过两次降价后的价格=原价(1每次降价的百分率)，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意列方程得：， 故选：B． 2．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若增长率为，根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若增长率为， 依题意，得：． 故选：D． 3．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设长为步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设长为x步，则宽为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：C． 4．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)件标本，x名同学需赠送出x(x-1) 件标本，即可列出方程． 【详解】解：由题意可得， x（x-1）=182， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 5．(24-25九上·新疆昌吉回族·期中)已知一个直角三角形的面积为，两直角边长的和为，则两直角边长分别为（ ） A．3，6 B．2，7 C．1，8 D．4，5 【答案】D 【分析】设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9-x），根据三角形的面积列出方程解答即可． 【详解】解：设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9-x）， x（9-x）=10， 整理得x2-9x+20=0， 解得x1=4，x2=5， 9-x=5或4． 答：两直角边长分别为5，4． 故选D． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，此题利用三角形的面积计算公式建立方程解决问题． 6．(24-25九上·云南红河州蒙自三中教育集团·期中)我国的乒乓球“梦之队”在年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 根据每组安排比赛的场数每组邀请球队数（每组邀请球队数），列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 7．(24-25九上·新疆·期中)定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 8．(24-25九上·新疆阿克苏库车实验中学教育集团·期中)三角形两边长分别是8和6，第三边长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则三角形的周长是 ． 【答案】24 【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可． 【详解】解：x2-12x+20=0， （x-2）（x-10）=0， x-2=0，x-10=0， 解得：x1=2，x2=10， ①x=2时，三角形的三边为8、6、2， ∵2+6=8， ∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； ②x=10时，三角形的三边为8、6、10，此时符合三角形三边关系定理， 三角形的周长是6+8+10=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 9．(24-25九上·新疆和田墨玉县·期中)如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值． 【答案】的值为 【分析】根据各边之间的关系，可得出的长为，根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为． 根据题意得：，整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴此时的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．(24-25九上·新疆乌鲁木齐米东区·期中)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 11．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数． 【答案】这三个连续正整数为，，或，， 【分析】设这三个连续奇数分别为、、，根据题意列方程求解． 【详解】解：设这三个连续奇数分别为、、， 根据题意得： ， 解得：， 当时，，， 当时，，， 答：这三个连续正整数为，，或，， 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是设未知数，用代数式表示三个奇数，即可列方程求解． 12．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)如图， 在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点以的速度移动． 如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． 设运动时间为 秒．    (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接， 是否存在t的值，使得的面积等于若存在，请求出此时t的值； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； （2）解：由题意得，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴当时，使得的面积等于． 13．(24-25九上·新疆哈密第八中学·期中)2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是； (2)售价应降低元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 【详解】（1）解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； （2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $