2.2.3 立方根（7题型+针对训练）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第二章 实数 2.2.3 立方根 命题1：立方根的概念理解…………………………………………………1 命题2：求一个数的立方根…………………………………………………2 命题3：已知一个数的立方根求这个数……………………………………2 命题4：立平方根中的规律问题……………………………………………2 命题5：立平方的实际应用…………………………………………………3 命题6：立方根与平方根的综合运用………………………………………4 命题7：实数与程序设计问题………………………………………………4 针 对 训 练…………………………………………………………………6 命题1：立方根的概念理解 1．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 2．是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 3．下列各数中，立方根一定是负数的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 5．要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 6．的立方根是（    ） A． B． C． D． 7．计算：（　　） A． B．3 C． D． 命题2：求一个数的立方根 8．的立方根是（    ） A． B． C． D． 9．的立方根是 ． 10．已知的算术平方根是4，则的立方根是 ． 11．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 命题3：已知一个数的立方根求这个数 12．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 13．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 14．，则的值为（    　） A． B． C． D． 15．一个数的立方根是，则该数为 ． 16．已知的立方根是3，则 ． 命题4： 立方根中的规律问题 17．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 18．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 19．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 20．已知，且，则 ． 21．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 命题5： 立方根的实际应用 22．七年级（1）班的班委准备把一个容积是的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间 24．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 25．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是 ； ． 命题6： 立方根与平方根的综合运用 26．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 27．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 28．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 29．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 30．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 31．如果一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 32．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 33．已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 34．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 35．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 命题7： 实数与程序设计问题 36．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 37．有一个数值转换器，原理如下图，当输入的x值为81时，输出的y值是（   ） A．9 B． C．3 D． 38．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 39．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 40．有一个数值转换器，原理如图.当输入的时，输出的y等于 . 41．如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    针对训练： 1．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 2．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．立方根是负数的数一定是负数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根是非负数 3．下列各式计算错误的是（　　） A． B． C． D． 4．下面是小明完成的作业，他的得分是（  ） 判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②立方根等于本身的数是和．（×） ③平方根等于本身的数是和．（√） ④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（×） ⑤如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根．（√） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 5．若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 6．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．若一个正方体体积为216，则它的棱长为16 B．的算术平方根是 C．若式子成立，则 D．的值等于 8．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 9．计算： ， ． 10．根据你发现的规律填空：若，则 ． 11．如果，求的值为 ． 12．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 13．在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 14．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 15．求下列方程中x的值： (1)； (2) 16． 计算：． 17．已知的平方根是的立方根是2，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 18．（1）已知，，且，，求，的值； （2）在（1）的条件下，先化简代数式，再求值． 19．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程 的解． 20．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.2.3 立方根 命题1：立方根的概念理解……………………………………………………1 命题2：求一个数的立方根……………………………………………………3 命题3：已知一个数的立方根求这个数………………………………………5 命题4：立平方根中的规律问题………………………………………………6 命题5：立平方的实际应用……………………………………………………8 命题6：立方根与平方根的综合运用…………………………………………10 命题7：实数与程序设计问题…………………………………………………14 针 对 训 练……………………………………………………………………17 命题1：立方根的概念理解 1．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 2．是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 【答案】C 【分析】本题考查立方根，如果，那么叫做的立方根，这是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴， 即是的立方根， 故选：C． 3．下列各数中，立方根一定是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的正负性判断以及立方根的性质，判断每个选项的正负性即可得出正确答案. 【详解】解：选项A：当时，，其立方根为正数或零，故A错误，不符合题意； 选项B：当时，其立方根为，故B错误，不符合题意； 选项C：无论取何值，，因此的立方根一定为负，故C正确，符合题意； 选项D：当时，，其立方根为正数，故D错误，不符合题意； 故选：C ． 4．已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 5．要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数， 故选：D． 6．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的立方根，如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：B． 7．计算：（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求一个数的立方根．根据立方根的定义进行解答即可． 【详解】解： 故选：C 命题2：求一个数的立方根 8．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键． 首先计算，然后根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：， 12的立方根是． 故选：B． 9．的立方根是 ． 【答案】-4 【分析】先计算出的值，再根据立方根的定义求出其立方根．本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．已知的算术平方根是4，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根等概念，解题的关键是掌握以上两个概念． 利用算术平方根的定义求出的值，然后代入求这个数的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：2． 11．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键． （1）利用立方根的定义即可得到结果； （2）利用立方根的定义即可得到结果； （3）利用立方根的定义即可得到结果； （4）利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是； （2）解：因为，所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以的立方根是． 命题3：已知一个数的立方根求这个数 12．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 13．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 14．，则的值为（    　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 15．一个数的立方根是，则该数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数为：． 故答案为：． 16．已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 命题4： 立方根中的规律问题 17．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 18．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 19．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 20．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 21．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 命题5： 立方根的实际应用 22．七年级（1）班的班委准备把一个容积是的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是明确正方体体积是棱长的立方，会求立方根． 根据正方体体积是棱长的立方，求的立方根即可． 【详解】解：∵正方体体积是棱长的立方， ∴体积为的正方体的棱长是． 故答案为：A． 23．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积， 铁块的体积为， 铁块的棱长为， ， ， 铁块的棱长在3和4之间， 故选：B． 24．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据正方体的体积公式结合立方根定义，求出正方体蓄水池的棱长即可． 【详解】解：∵正方体蓄水池容积为， ∴正方体蓄水池的棱长为． 故答案为：5． 25．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是 ； ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．仿照题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵；， ∴是两位数， ∵19683的个位数是3， ∴的个位数是7． ∵；， ∴是两位数， ∵110592的个位数是2， ∴的个位数是8． 如果划去110592后面的三位592得到数110，而，， 由此确定的十位数是4， 所以， 所以． 故答案为：，； 命题6： 立方根与平方根的综合运用 26．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 27．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 28．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 29．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 30．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查​算术平方根和立方根的概念与计算​，​准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键​． 根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可​． 【详解】∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴． 故答案为：． 31．如果一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【答案】5 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得的值，将的值代入计算得出的值，再求其立方根即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和， ， ． ， ． ， 的立方根为5， 的立方根为5， 故答案是：5． 【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力． 32．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 33．已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 34．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 35．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 命题7： 实数与程序设计问题 36．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 37．有一个数值转换器，原理如下图，当输入的x值为81时，输出的y值是（   ） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，算术平方根，掌握有理数与无理数的辨析是解题的关键；根据数值转换器的原理进行输入计算即可得解． 【详解】解：是有理数， 还需把9重新输入， 是有理数， 还需把3重新输入， 是无理数， ， 故选：． 38．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 根据无理数生成器的计算流程可得输出值为的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可. 【详解】解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 39．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 40．有一个数值转换器，原理如图.当输入的时，输出的y等于 . 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，是无理数，输出； 故答案为：． 41．如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    【答案】16 【分析】本题考查了算术平方根．根据题意结合算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为16后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：16． 针对训练： 1．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义． 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可． 【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意； B．是的立方根，正确，不符合题意； C．，8的立方根是2，正确，不符合题意； D．125的立方根是5，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．立方根是负数的数一定是负数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根是非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根和平方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.一个数的立方根有一个，该选项错误，不符合题意； B.因为负数的立方是负数，所以立方根是负数的数一定是负数，该选项正确，符合题意； C.负数有立方根，但没有平方根，该选项错误，不符合题意； D. 一个数的立方根和这个数的符号一致，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列各式计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根及立方根，熟练掌握相关性质及定义是解题的关键．利用平方根及立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不符合题意， B．，则不符合题意， C．，则不符合题意， D．无意义，则符合题意， 故选：D． 4．下面是小明完成的作业，他的得分是（  ） 判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②立方根等于本身的数是和．（×） ③平方根等于本身的数是和．（√） ④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（×） ⑤如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根．（√） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根以及无理数，本题考查实数的分类、平方根和立方根的概念，需逐一判断各小题的正确性，统计得分． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，小明判断正确． ②立方根等于本身的数有0、1、，原题遗漏，故原题错误，小明判断正确． ③平方根等于本身的数只有0（1的平方根为，不都等于1），原题错误，但小明判断正确，故判断错误． ④负数有立方根但无平方根，原题错误，小明判断正确． ⑤有平方根的数必为非负数，而非负数均有立方根，原题正确，小明判断正确． 综上，小明答对①、②、④、⑤，共4题，得分分， 故选：C． 5．若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 6．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 7．下列说法正确的是（   ） A．若一个正方体体积为216，则它的棱长为16 B．的算术平方根是 C．若式子成立，则 D．的值等于 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根的定义、方程解的条件及平方根与算术平方根的区别， 逐一分析各选项的正误，结合算术平方根的定义、方程解的条件及平方根与算术平方根的区别进行判断． 【详解】选项A：正方体体积公式为，当时，棱长，而非16，故A错误； 选项B：，其算术平方根为（算术平方根非负），而选项B中结果为负数，故B错误． 选项C：由和有意义，需满足且，即．代入原式得，成立，故C正确． 选项D：表示算术平方根，结果为3，而是平方根，故D错误． 故选：C． 8．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。 【详解】解：设球的半径为r代入公式： ． 两边同时除以， 得． 对216开立方， 得 ． 因此，皮球的半径为． 故选：A． 9．计算： ， ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查立方根和算术平方根，直接根据立方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：； ； 故答案为：；2． 10．根据你发现的规律填空：若，则 ． 【答案】7.696 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：若， 则， 故答案为：7.696． 11．如果，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解： ， ， 即， 则， 故答案为：． 12．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握实数的运算法则．把64代入程序进行计算即可求解． 【详解】解∶ 由题意得当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出，再开方，即可得出答案． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 14．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解； （2）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解； （3）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 15．求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 16．计算：． 【答案】 【分析】根据求一个数的算术平方根和求一个数的立方根分别计算即可 【详解】解： 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和求一个数的立方根，正确的计算是解题的关键． 17．已知的平方根是的立方根是2，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a的值为5，b的值为2，c的值为3 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，代数式求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平方根和立方根的定义得出，，计算即可得出，估算出，则，即可解答； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， c是的整数部分，且 ∴，，， 解得， 答：a的值为5，b的值为2，c的值为3． （2）∵， ∴的平方根为． 18．（1）已知，，且，，求，的值； （2）在（1）的条件下，先化简代数式，再求值． 【答案】（1），；（2）；36 【分析】本题考查了平方根和绝对值的概念，代数式的化简与求值，正确求解，的值并化简是解决本题的关键． （1）根据平方根和绝对值的概念即可求解，的值； （2）先根据乘法分配律和合并同类项法则化简代数式，再将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∵且， ∴， 综上，； （2）解： ， ∵，， ∴上式． 19．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程 的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a的值； （2）由（1）代入开方，即可求解这个正数m； （3）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴； （3）解：将代入得， 解得. 20．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $