专题2.4球重难点题型讲义（5个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

该高中数学讲义围绕球体几何的核心知识构建系统复习体系，通过“知识点梳理+题型分类+拓展训练”三层结构，用表格归纳球的定义、截面性质与体积表面积公式，借助思维导图清晰呈现六大题型间的逻辑关联，突出球面距离、内外切问题等重难点的内在联系，帮助学生建立从概念理解到综合应用的知识网络。 讲义的亮点在于紧扣新课标核心素养，设计具有层次性的练习题型，如经典例题中“求球面距离”融合空间观念与逻辑推理，引导学生从地球经纬度情境中抽象出数学模型，提升数学建模能力；又如“多面体与球内切外接”题型强化几何直观与运算能力，通过正四面体内切球半径计算，指导学生掌握构造法与比例关系的应用技巧。每类题型均配有方法总结和易错警示，既助力基础薄弱学生夯实双基，也支持优生突破综合难题，教师可据此实施分层教学，实现精准施策与高效复习。

专题2.4球重难点题型专训 （5个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 球的结构特征辨析 题型二 球的截面的性质及计算 题型三 求球面距离 题型四 直线与球、平面与球的位置关系 题型五 球的体积的有关计算 题型六 球的表面积的有关计算 拓展训练一 有关球的综合问题 拓展训练二 多面体与球体内切外接问题 知识点一：球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【即时训练】 1．（23-24高一下·广东湛江·期中）小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台. 【答案】C 【分析】根据球的结构特征即可求解. 【详解】由球的结构特征可知，球的轴截面是一个圆， 圆柱的轴截面可以是矩形，圆锥的轴截面可以是等腰三角形，圆台的轴截面可以是等腰梯形，故ABD错误，C正确. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）光是沿直线传播的，则至少 个点光源能完全照亮整个球体表面． 【答案】4 【分析】根据立体图形的构成特点即可解题. 【详解】两个点光源只能在一条线上分布，无法照亮整个空间几何体； 三个点光源只能在一个面上分布，无法照亮整个空间几何体； 四个点光源就能构成立体光源，形成四面体状态，只要球体能放入四面体内部，就能照亮整个球体表面（如图6）． 故答案为：4. 知识点二：平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 【答案】C 【分析】利用球的截面性质结合勾股定理求解即可. 【详解】由球的截面性质得，截面面积一定为圆，设圆的半径为， 所以，解得，设球心到截面的距离为， 由勾股定理得，故C正确. 故选：C 2．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面面积是．则球心到这个平面的距离为 ． 【答案】 【分析】由条件可得截面圆的半径，然后由勾股定理列出方程，即可得到结果. 【详解】因为截面的面积是，设截面圆的半径为，即，所以， 且球的半径， 设球心到这个平面的距离为，则，即，解得, 所以球心到这个平面的距离为. 故答案为： 知识点三：地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 【即时训练】 1．（23-24高一上·安徽滁州·期中）设地球半径为，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出空间图形，求出，再利用弧长公式即可求得弧长度. 【详解】如图所示，设球心为，北纬30°圈所在的小圆圆心为，甲、乙两地分别对应、两点， 连接、、、、，则平面，， ,在中，，可得， 在圆中，、的经度差为120°，∴弧的长为 故选：A. 2．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度（用表示）为 . 【答案】 【分析】计算北纬所在圆的半径，根据圆的周长公式计算即可. 【详解】地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬， 则城市哈尔滨所在圆的半径为，故北纬纬线圈的长度为. 故答案为：. 知识点四：球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【即时训练】 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球及圆柱的体积公式求解即可. 【详解】设底面半径为，由题意挖去球的半径最大为， 所以，. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）三个球的半径之比为，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 倍． 【答案】3 【分析】设三个球的半径分别为，求出三个球的体积可得答案 【详解】设三个球的半径分别为， 则三个球的体积分别为， 因为， 所以最大球的体积是其余两个球的体积和的3倍. 故答案为：3. 知识点五：球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【即时训练】 1．（23-24高一下·湖北武汉·期末）若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，直接求出球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，设球的半径为， 又圆柱的底面半径为2，母线长为2，则，所以该球的表面积为， 故选：D. 2．（24-25高一下·山东泰安·期中）一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是 ． 【答案】 【分析】利用外接球的直径为长方体的体对角线可求球的半径，从而可求表面积. 【详解】因为长方体的各顶点均在球面上，故球即为长方体的外接球， 故长方体的体对角线即为球的直径，而长方体的体对角线的长为， 所以，所以球的表面积为， 故答案为：. 【经典例题一 球的结构特征辨析】 【例1】（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）. 【答案】①② 【分析】根据题意，结合圆柱的定义和球的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①，根据圆柱的结构特征，可得圆柱的底面是圆面，所以①正确； 对于②，根据圆柱的结构特征，可得经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，所以②正确； 对于③，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，所以③不正确； 对于④，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆，所以④不正确. 故答案为：①② 1．（2022·河南·模拟预测）东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约468米，上球体的直径为45米，且上球体的球心O到塔底的距离与塔高的比值为黄金分割比(约为0.618)．若P为上球体球面上一点，且与地平面(塔顶与O的连线垂直地平面)所成的角为，P在上球体的上半部分，则P到地平面的距离约为(    ) A．297米 B．300米 C．303米 D．306米 【答案】B 【分析】求出球心O到底面距离，加上P到球心竖直距离，即为P到地面的距离. 【详解】∵上球体的球心O到塔底的距离米， ∴P到地平面的距离为米． 2．（23-24高一下·广东深圳·期中）下列四个命题正确的是（    ） A．所有的几何体的表面都能展成平面图形 B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等 C．棱柱的各条棱长度都相等 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 【答案】B 【分析】根据球的表面特征判断A，根据棱锥的结构特征判断B，根据棱柱的结构特征判断CD. 【详解】对于A，球的表面不能展成平面图形，错误； 对于B，棱锥的侧面的个数与底面的边数相等，正确； 对于C，棱柱的各条侧棱长度都相等，但是侧棱长度与底面中的棱长不一定相等，错误； 对于D，正六棱柱中，相对的两个侧面互相平行，但它们不是正六棱柱的底面，错误； 故选：B 3．（24-25高三上·四川·期中）已知棱长为1的正四面体，分别为的中点，若以的中点为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球半径的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将正四面体放入正方体，即可得到更直观的几何关系，从而得到答案. 【详解】由于正四面体总可以由一个正方体的两两不相邻的四个顶点构成，故我们可以设有一个正方体. 该正方体每个面的对角线长都是，所以棱长为. 此时，注意到是该正方体的一对对面的中心，所以的中点一定是正方体的中心. 这就说明，从而是的外接球球心. 从而在球与的棱有公共点的情况下，球最大的情况显然就是成为外接球的情况，所以半径的最大值就是. 故答案为：. 4．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知一圆锥的母线长为，底面半径为． (1)求圆锥的高及体积； (2)若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾股定理，由题意即可求出结果； (2)由图结合勾股定理可得，求出. 【详解】（1）由题意知，圆锥的高． ． （2）由（1）知，圆锥的高为，设圆锥内切球的半径为， 则，即，解得． 【经典例题二 球的截面的性质及计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 【例2】(23-24高二·上海·课堂例题）已知半径为的球面上三点满足，，，球心到平面的距离为12．求球的半径． 【答案】13 【分析】求出外接圆的圆心，利用勾股定理即可得到球的半径． 【详解】因为球面上三点满足，， 所以为直角三角形， 设外接圆的圆心为，球的球心为， 则平面，外接圆的半径， 因为面，所以，则， 由勾股定理得，即，解得, 故球的半径． 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为的球，从上面截一小部分，截面圆周长为，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（注：） （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的周长公式计算出截面的半径，再根据勾股定理可得出被截取部分几何体的高的方程，解之即可. 【详解】设截面圆的半径为，被截取部分几何体的高为， 若以作为圆周率，则，由勾股定理可得， 故. 故选：B. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为 . 【答案】/ 【分析】由题可得球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，即可求出. 【详解】正方体中，平面， 所以平面与球的截面是以为圆心的圆，且半径为， 所以球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧， 该交线长为. 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用勾股定理计算可得； （2）记圆的半径为，球心到该截面的距离为，由截面圆的面积求出，再由计算可得； 【详解】（1）解：因为球的半径，所以． （2）解：记圆的半径为，球心到该截面的距离为， 则，得， 因此． 【经典例题三 求球面距离】 【例1】（23-24高二上·四川达州·期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球面距离的概念及弧长公式可得答案. 【详解】设球的半径为,球心为由题意，， 所以， 所以在中，由于，所以， 所以，D两点间的球面距离为. 故选：A 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，求这两点之间纬线的长度． 【答案】 【分析】先得北纬纬圆半径，再由弧长公式即可得结果. 【详解】地球的半径为，在北纬纬圆半径为， 由于两点的经度差是， 所以这两点间的纬线的长为：. 1．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图示取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，即可得到，从而得到，利用勾股定理求出，从而得到为等边三角形，即可求出，从而得解. 【详解】如图示：取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，则⊥平面， 则，，所以， 因为在北纬圈上有两个点、，在西经，在东经， 所以，在中，， 所以为等边三角形，则，所以、两点的球面距离为. 故选：A 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在北纬圈上有、两点，它们的经度差为，设地球的半径为，则、两点的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出球心角，然后、两点的距离，即可求出两点间的球面距离． 【详解】解：地球的半径为，在北纬， 而，所以、的球心角为， 所以两点间的球面距离是：； 故选：C. 3．（2022高一·全国·专题练习）设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为 ． 【答案】 【分析】由已知及余弦定理计算，可确定球心角，再由球面距离定义即得答案． 【详解】由题意知及余弦定理得 ， 则球心角为， 两地的球面距离为 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）把地球当作半径为的球，地球上、两点都在北纬的纬线上，、两点的球面距离是在东经，求点的位置． 【答案】点的位置位于北纬，东经或北纬，西经． 【分析】由球面几何的相关知识即可求解. 【详解】由题意知． 因为，所以， 所以点的位置位于北纬，东经或北纬，西经． 【经典例题四 直线与球、平面与球的位置关系】 【例1】（23-24高三上·海南·阶段练习）若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可. 【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，. 设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以. 故选：A 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 【答案】2或6 【分析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离，由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离 【详解】解：记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为；记截面面积为的小圆半径为，球心到此小圆的距离为， 则，即，， 所以，， 由于两平行平面可能在球心同侧也可能在球心异侧， 因此两平行平面间的距离或． 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球与相切面的几何特点即可得到最远距离. 【详解】设球心到墙角的距离为，球心半径为，则， 则距离为棱长为1的正方体的对角线长，即， 则墙角顶点到球面上的点的最远距离等于. 故选：D. 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为的球中有两个半径分别为与的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为，则（    ）． A． B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】如图所示，，，结合弦长公式列方程即可求解. 【详解】设两圆的圆心分别为、，球心为，， ，公共弦为，其中点为， 则为矩形，于是， ， 所以． 故选：D 3．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球的表面上，是边长为 1 的正三角形，为球的直径，且，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据球与几何体的组合体的几何性质，利用垂直关系，即可求解. 【详解】设球心为 , 过三点的小圆的圆心为, 则平面, 延长 交球于点, 则平面. 高. 故答案为： 4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知棱长为的正方体中，为棱的中点，以点为球心为半径的球面与对角面的交线长为 ． 【答案】 【分析】 连接，过点作与，根据正方体特征可知以为球心的球面与平面的交线为一段圆弧，根据长度关系计算即可求得. 【详解】连接，过点作与， 因为平面，平面，则， ，面，所以平面. 假设以为球心的球面与平面交于圆弧，则是以为圆心，以为半径的圆弧长，则. 又因为，所以， 所以， ， 所以，解得 即，所以该交线的长为. 故答案为： 【经典例题五 球的体积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出截面圆的半径，进而得到球的半径，得到球的体积. 【详解】平面截球的截面为圆，设圆的半径为，则，解得， 又点到平面的距离为3，则球的半径为， 所以球的体积为 故选：D 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球，两个小球的半径之比为．求其中较小球的半径． 【答案】 【分析】设较小球的半径为，根据题意结合球的体积公式运算求解. 【详解】设较小球的半径为，则较大球的半径为， 则，解得， 所以较小球的半径为. 1．（24-25高一下·广西百色·期末）已知球的体积是，则该球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球体体积公式列方程求解. 【详解】设球的半径为，因为，解得：. 故选：A 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得所求球冠的体积等于圆柱体积的一半减去圆台的体积，计算求解即可. 【详解】∵，，， ∴， ∴，半球体积为， 所以平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍． 【答案】7 【分析】设球的半径为,求出大圆面积扩大为原来的4倍前、后的体积可得答案. 【详解】设球的半径为,则球的体积为， 大圆面积扩大为原来的4倍，则半径扩大为原来的2倍， 则球的体变为， 则球的体积比原来增加倍. 故答案为：7. 4．（23-24高一·全国·课后作业）三个球的半径的比是1∶2∶3.求证：其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍. 【答案】证明见解析 【分析】设出最小球半径r，表示另外两球半径并计算体积即可得解. 【详解】设最小球半径为r，则另外两球的半径分别为2r，3r， 因此，半径为r的球体积，半径为2r的球体积，半径为3r的球体积， 于是得，即有， 所以最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍. 【经典例题六 球的表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·四川成都·期末）据《九章算术》记载，我国匠人常需计算不同几何体表面积或体积的比例以优化用料，例如，制作圆锥形与球形装饰物时，需比较两者的表面积以确定所需涂漆或覆盖材料的用量．若圆锥的底面直径和母线都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值. 【详解】设圆锥底面圆半径为，球的半径为， 由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以， ， 所以圆锥与球的表面积之比为. 故选：C 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 【答案】 【分析】计算出外接圆的半径，然后利用勾股定理计算出球的半径，最后利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】解：，，， ，即是以为斜边的直角三角形． 平面被球所截得的图形是以线段为直径的圆． 设截面圆的圆心为，则为线段的中点，且，则， 由已知，球心与平面的距离即为球心与中点的连线长， 球的半径． 球的表面积． 1．（2025·湖南长沙·二模）球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球的截面圆性质及球的表面积公式求解. 【详解】由，得，即为直角三角形， 因此外接圆的半径，设球的半径为， 由球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，得，解得， 所以球的表面积为． 故选：C 2．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大球的半径为，小球的半径为，根据球的表面积公式得到，再由体积公式计算可得. 【详解】设大球的半径为，小球的半径为， 依题意可得，所以， 则，即这两个球的体积之比为. 故选：B 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）若球的体积之比，则它们的表面积之比 ． 【答案】 【分析】利用球的体积公式计算得出两半径之比，再由表面积公式计算可得结果. 【详解】设球的半径分别为， 易知，解得； 所以它们的表面积之比. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为10m. (1)制作这样一个热气球，大约需要多少材料？ (2)如果A型材料的价格为280元，试估计用料的总费用.如果直径增加4m，那么需增加多少费用？ 【答案】(1)m2 (2)用料的总费用是元，当直径增加4m，需增加的费用是元. 【分析】(1)直接利用球的表面积公式计算即可作答. (2)利用(1)的结论求出总费用，再算出增加的面积，即可得增加的费用. 【详解】（1）依题意，半径r=10m的球的表面积是：(m2)， 所以制作这样一个热气球，大约需要m2的材料. （2）当A型材料的价格为280元，由(1)知，总费用(元)， 当直径增加4m时，半径( m)，则增加的面积为( m2)， 因此，增加的费用为(元)， 所以用料的总费用是元，当直径增加4m，需增加的费用是元. 【拓展训练一 有关球的综合问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）球的半径是，距球心处有一光源，光源能照到的地方用平面截去，则截面的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，在直角三角形中利用射影定理得，根据勾股定理得，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】如图，在中，于点， 则，即，所以. 又， 所以以为半径的圆的面积为. 故选：B 【例2】（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）三角形ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，各边都与半径为2的球O相切. (1)求球心O到三角形各边的距离； (2)求球心O到三角形ABC所在平面的距离； (3)求球心O到三角形各顶点的距离. 【答案】(1)2； (2)； (3) 【分析】（1）由三角形各边都与球O相切即可求解； （2）先求出过三角形的平面截球形成的小圆的半径，再由勾股定理求得球心O到三角形ABC所在平面的距离； （3）先求出圆心到三个顶点的距离，再计算球心O到三角形各顶点的距离即可. 【详解】（1）由各边都与半径为2的球O相切可得球心O到三角形各边的距离为球的半径2； （2） 过三角形的平面截此球所得截面为小圆，在中，设为的周长，为内切圆的半径， 则，得，则球心到圆心的距离为；即球心O到三角形ABC所在平面的距离为； （3） 连接，由（2）得内切圆的半径为1，则，， ，则球心O到顶点的距离，球心O到顶点的距离， 球心O到顶点的距离. 1．（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据圆锥和圆柱外接的特征，列条件方程求外接球半径即可得解. 【详解】设圆柱与圆锥的底面半径为1，则由圆锥的轴截面为正三角形，可得圆柱与圆锥的高均为. 设圆柱外接球的半径为，圆锥外接球的半径为， 则，，得， 则. 故选： 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直径为4的半圆O内有一个直角三角形ABC，其中，，将图中阴影部分，以所在直线为旋转轴旋转形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积． 【答案】， 【分析】由球、圆锥的体积、表面积、侧面积公式即可求解； 【详解】如图，设点对应的直径的另一端点为，连接． 该平面图形旋转后形成的几何体是半个球挖掉半个圆锥． 由题知，半圆半径， ， ，． ． ，， ， ． 故答案为：， 【拓展训练二 多面体与球体内切外接问题】 【例1】（25-26高三上·安徽·开学考试）将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高，所以根据几何体特征，求得底面内切圆的半径为，直径为，小于，故球的最大半径为. 【详解】已知直三棱柱底面为直角三角形，且直角边分别为和， 根据勾股定理，底面三角形的斜边为， 设底面三角形的内切圆半径为，根据三角形面积公式（其中为三角形直角边）， 又三角形面积公式（其中为三角形三边，为内切圆半径）， 所以，即，解得， 所以直径为，小于直三棱柱的高. 因为球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高， 所以球的最大半径为. 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【答案】 【分析】记球与平面、切于点、，球与平面切于点，利用和即可得解. 【详解】如图所示，设球半径为，球的半径为，为中点， 球与平面、切于点、，球与平面切于点． 由题设得，，， 所以． 因为在中，， 所以，，得． 同理可证，，得． ． 1．（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作圆锥的轴截面，利用面积法求轴截面的内切圆半径，即为圆锥内半径最大的球的半径，再结合球的体积公式求解. 【详解】如图： 为圆锥的轴截面，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O. 由于，故. 设内切圆半径为r，则 ， 解得，其体积. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（    ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 【答案】B 【分析】由题，记该圆柱体的底面半径为r，球体的半径为R，则，. 【详解】记该圆柱体的底面半径为r，则，， 圆柱体的高h为11尺，记球体的半径为R， 则， 球的表面积为（平方尺）． 故选：B． 3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为 ．    【答案】 【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可. 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）四个半径为1的球两两外切，求与这四个球都相切的球的半径． 【答案】． 【分析】把4个球的球心，构造出一个正四面体，根据正四面体的外接球半径减去一个球的半径，就是小球的半径. 【详解】题意可知:连接四个球的球心，得到一个棱长为2的正四面体, 设正四面体为，设四面体的外接球球心为.半径为, 设的延长线与底面的交点为，则为正四面体的高，底面，且，棱长为2，所以， 所以， 在中，，, 所以，即, 解得:． 所以与4个球都相切的小球的球心也在处，所以小球的半径. 1．（23-24高二·全国·竞赛）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小圆周长求出小圆半径，再根据和均为等边三角形计算即可. 【详解】设小圆半径为r，则，∴． 在中，由正弦定理得， 又由已知，所以为等边三角形，得球半径为. 故选：C. 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 【答案】D 【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断. 【详解】对于A：球面上任意两点与球心共线时连成的线段都是球的直径，故A错误； 对于B：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心是正棱锥，故B错误； 对于C：用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形不一定三角形，还可能是圆等其它图形，故C错误； 对于D：因为棱台是用平行与底面的平面截棱锥得到，所以棱台的侧棱延长后交于同一点，故D正确. 故选：D. 3．（2023全国·高考真题）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根据任意两点的球面距离都等于大圆周长的，得到，，为等边三角形，再结合小圆的周长为，得到，最后根据等边三角形的性质即可得到球的半径. 【详解】 设球面上的3个点分别为，球心为，小圆圆心为，球的半径为，连接交于， 根据任意两点的球面距离都等于大圆周长的，可得，，所以，，为等边三角形，， 因为小圆的周长为，所以小圆半径为，则，，. 故选：B. 4．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的高为，根据圆柱和球的表面积公式求得，再根据圆柱和球的体积公式求出酒杯和半球的体积，结合题意求得的范围，即可得解. 【详解】设圆柱的高为， 则，所以, 酒杯的体积， 半球的体积， 因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍， 所以，解得， 又因，所以， 所以， 当时，的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体、圆柱、球的表面积相等设出相应的量，然后用相同的量表示出它们的体积，比较即可. 【详解】设正方体的棱长为，等边圆柱底面圆的半径为，球体的半径为， 所以正方体的表面积为， 等边圆柱的表面积为， 球的表面积为， 因为，即， 由，， 所以正方体的体积为， 等边圆柱的体积为， 球的体积为， 因为， 所以， 故选：C. 6．（24-25高一下·河南濮阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．过球上任意两点有且仅有一个大圆 D．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 【答案】ACD 【分析】A举反例，以矩形的一条对角线为轴旋转；B 由平行六面体的定义可判断；C由球的大圆定义可知；D圆锥的轴截面是等腰三角形，其截面三角形面积为，其中的大小决定面积的大小. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C错误； 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积S最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误． 故选：ACD 7．（23-24高一下·山东潍坊·期末）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】从截面图可得R与的关系，由球和圆柱的体积公式计算和，判断选项. 【详解】由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得， 圆柱的高等于球形巧克力的直径，即， ，，则有. 故选：AD 8．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．圆柱与球的表面积之比为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】BCD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的表面积、体积公式计算可得. 【详解】对于A：圆锥的母线，所以圆锥的侧面积，故A错误； 对于B：圆柱的侧面积，则圆柱的表面积， 球的表面积，所以圆柱与球的表面积之比为，圆柱的侧面积与球的表面积相等，故B、C正确； 对于D：圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积， 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：BCD 9．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）如图，正方体的棱长为，则（   ） A．平面与平面的夹角的正弦值为 B．平面与平面的夹角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】根据正方体的性质判断选项A，B；再根据点到面的距离求解距离，判断C；再根据三棱锥外接球与正方体的外接球一样，即可求解表面积判断D. 【详解】由正方体的棱长为，由正方体的几何特征可知， 平面，所以， 故平面与平面所成角为， 故，故A正确； 由平面平面，则平面与平面所成二面角为，其正弦值为，故B正确； 由平面平面，点B到的距离就是点B到平面的距离， 则点B到平面的距离为，故C错误； 根据题意知，三棱锥外接球与正方体的外接球一样，则外接球的直径等于正方体的对角线，即，外接球的表面积，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·河北保定·期末）已知圆锥的轴截面SAB的顶角为，底面半径为，则（    ） A．圆锥的侧面积为 B．过圆锥顶点的截面面积的最大值为 C．P是圆锥侧面上的一点，且到底面的距离为2，则三棱锥体积的最大值为9 D．球与圆锥的侧面和底面都相切，过圆锥的顶点S作与平面SAB成30°角且与AB平行的平面，则此平面截球所得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，由题可得圆锥母线长，然后根据侧面积公式求解；对于B，根据圆锥过顶点的截面为以母线长为腰的等腰三角形，所以当截面为等腰直角三角形时面积最大即可求解；对于C，当平面时，三棱锥体积最大，利用体积计算公式计算即可；对于D，确定球心与半径，找出二面角，求出球心到截面距离，根据截面半径即可得到面积. 【详解】 对于A，由题知， 所以母线，，圆锥的侧面积为，故A正确； 对于B，圆锥过顶点的截面为以母线长为腰的等腰三角形， 又，所以当截面为等腰直角三角形时面积最大，最大值为18，故B错误； 对于C，过点作垂直于底面，交于， 则，，， 即点到的距离为，又， 所以当平面时，三棱锥体积最大， 此时，故C正确； 对于D，圆锥的内切球半径即为轴截面内切圆半径，设为， ，解得， 如图，平面与平面夹角为，交线为，平面，则， 当平面时，与相交于，连接，过作交于, 平面，平面，， 又平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以，即就是平面与平面夹角， 又，平面，所以平面， 即为点到平面的距离， 则平面截内切球截面半径， 所以面积为，故D正确； 故选：ACD. 11．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为 . 【答案】8 【分析】设圆柱的母线长为，根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式列方程求解即可. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的侧面积为， 易知球的表面积为，所以，解得. 故答案为：8 12．（2025高三·全国·专题练习）地球的半径为，在北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度相差． （1）甲、乙两地所在纬线的长为 ． （2）甲、乙两地的球面距离是 ． 【答案】 【分析】由球面几何的相关知识求解即可. 【详解】第一空：由题知： 北纬纬线圈半径为：，且、所对的圆心角， 所以两点所对的纬线劣弧长为． 第二空：甲乙两地球心角为， 所以、两点间的球面距离为． 故答案为：，. 13．（24-25高一下·天津西青·期末）已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为 . 【答案】18 【分析】根据正方体的对角线是外接球的直径求得棱长，然后可得表面积． 【详解】设正方体的棱长为，则其对角线为其外接球的直径，所以外接球的半径为， 由已知，， 所以正方体表面积为， 故答案为：18. 14．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】设外接圆圆心为，由题知平面，，根据体积可得，再由及表面积公式即可求解. 【详解】由题知为等边三角形，设其外接圆圆心为，    又的三个顶点都在球的球面上，所以平面， ，， ，解得， 则外接球半径， 所以球的表面积. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，内接于球的四面体的每个面都是直角三角形，且，则球的半径 . 【答案】 【分析】依题意，将四面体放在长方体中，四面体的外接球即为长方体的外接球，根据体对角线是直径，求解即可. 【详解】因为四面体的每个面都是直角三角形，且， 所以将四面体补全为一个长方体，如图 所以四面体的外接球即为长方体的外接球，所以， 所以， 故答案为： 16．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 【答案】，． 【分析】由题意求出球的半径，再求其表面积与体积即可． 【详解】由题意，球的一个截面圆的面积是． 则， 则， 在中，， 则， 解得， 所以球的表面积为， ． 17．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为． (1)求的体积； (2)求的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解； （2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解. 【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示． ，， ， ， ， 所以的体积为． （2），， ， ， ． 所以的表面积为． 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【答案】(1)17 (2)880元 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，直线与平面所成的角为，与平面的距离为，，，求四面体外接球球心到平面的距离. 【答案】 【分析】由题可知平面，直线与平面所成的角为.由线面垂直的性质可得，，.在中，可求得.根据线面垂直的判定定理可得平面，故四面体为四直角四面体，其外接球球心即为的中点.即可求解四面体外接球球心到平面的距离. 【详解】如图，由与平面的距离为，直线与平面所成的角为，可知：平面，直线与平面所成的角为. 因为平面，平面，平面，平面，所以，，. 在中，，所以. 因为，，，平面，平面，所以平面. 又平面，所以，所以四面体为四直角四面体，其外接球球心即为的中点. 分别取，，的中点，，，则，. 又平面，所以平面，所以外接球球心到平面的距离即为. 因为，所以. 即四面体外接球球心到平面的距离为. 20．（2025高一·全国·专题练习）如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 【答案】． 【分析】解法1：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，球的半径与上底面半径夹角为，则，圆柱的高，计算圆柱的侧面积，进而得，计算圆柱的表面积和球的表面积即可； 解法2：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，圆柱的高，圆柱的侧面积为，利用基本不等式即可得，计算圆柱的表面积和球的表面积即可. 【详解】解法1：如图，设圆柱的上底面半径为，球的半径为，球的半径与上底面半径夹角为， 则，圆柱的高， 圆柱的侧面积，当且仅当时，最大，即， 圆柱的表面积， 球的表面积， 所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 解法2：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，圆柱的高． 圆柱的侧面积为，当且仅当，即时，最大， 圆柱的表面积，球的表面积，所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4球重难点题型专训 （5个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 球的结构特征辨析 题型二 球的截面的性质及计算 题型三 求球面距离 题型四 直线与球、平面与球的位置关系 题型五 球的体积的有关计算 题型六 球的表面积的有关计算 拓展训练一 有关球的综合问题 拓展训练二 多面体与球体内切外接问题 知识点一：球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 【即时训练】 1．（23-24高一下·广东湛江·期中）小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台. 2．（2025高三·全国·专题练习）光是沿直线传播的，则至少 个点光源能完全照亮整个球体表面． 知识点二：平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 2．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面面积是．则球心到这个平面的距离为 ． 知识点三：地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 【即时训练】 1．（23-24高一上·安徽滁州·期中）设地球半径为，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度（用表示）为 . 知识点四：球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 【即时训练】 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）三个球的半径之比为，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 倍． 知识点五：球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【即时训练】 1．（23-24高一下·湖北武汉·期末）若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东泰安·期中）一个长方体的顶点都在球面上，它的长、宽、高分别为 ，则球的表面积是 ． 【经典例题一 球的结构特征辨析】 【例1】（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）. 1．（2022·河南·模拟预测）东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约468米，上球体的直径为45米，且上球体的球心O到塔底的距离与塔高的比值为黄金分割比(约为0.618)．若P为上球体球面上一点，且与地平面(塔顶与O的连线垂直地平面)所成的角为，P在上球体的上半部分，则P到地平面的距离约为(    ) A．297米 B．300米 C．303米 D．306米 2．（23-24高一下·广东深圳·期中）下列四个命题正确的是（    ） A．所有的几何体的表面都能展成平面图形 B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等 C．棱柱的各条棱长度都相等 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 3．（24-25高三上·四川·期中）已知棱长为1的正四面体，分别为的中点，若以的中点为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球半径的最大值为 ． 4．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知一圆锥的母线长为，底面半径为． (1)求圆锥的高及体积； (2)若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的半径． 【经典例题二 球的截面的性质及计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【例2】(23-24高二·上海·课堂例题）已知半径为的球面上三点满足，，，球心到平面的距离为12．求球的半径． 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为的球，从上面截一小部分，截面圆周长为，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（注：） （   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． 【经典例题三 求球面距离】 【例1】（23-24高二上·四川达州·期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，求这两点之间纬线的长度． 1．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在北纬圈上有、两点，它们的经度差为，设地球的半径为，则、两点的球面距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2022高一·全国·专题练习）设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）把地球当作半径为的球，地球上、两点都在北纬的纬线上，、两点的球面距离是在东经，求点的位置． 【经典例题四 直线与球、平面与球的位置关系】 【例1】（23-24高三上·海南·阶段练习）若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离． 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为的球中有两个半径分别为与的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为，则（    ）． A． B．5 C． D．4 3．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球的表面上，是边长为 1 的正三角形，为球的直径，且，则点到平面的距离为 . 4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知棱长为的正方体中，为棱的中点，以点为球心为半径的球面与对角面的交线长为 ． 【经典例题五 球的体积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球，两个小球的半径之比为．求其中较小球的半径． 1．（24-25高一下·广西百色·期末）已知球的体积是，则该球的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍． 4．（23-24高一·全国·课后作业）三个球的半径的比是1∶2∶3.求证：其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍. 【经典例题六 球的表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·四川成都·期末）据《九章算术》记载，我国匠人常需计算不同几何体表面积或体积的比例以优化用料，例如，制作圆锥形与球形装饰物时，需比较两者的表面积以确定所需涂漆或覆盖材料的用量．若圆锥的底面直径和母线都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 1．（2025·湖南长沙·二模）球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）若球的体积之比，则它们的表面积之比 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，某人打算用A型材料制作一个近似于球形的热气球，半径为10m. (1)制作这样一个热气球，大约需要多少材料？ (2)如果A型材料的价格为280元，试估计用料的总费用.如果直径增加4m，那么需增加多少费用？ 【拓展训练一 有关球的综合问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）球的半径是，距球心处有一光源，光源能照到的地方用平面截去，则截面的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）三角形ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，各边都与半径为2的球O相切. (1)求球心O到三角形各边的距离； (2)求球心O到三角形ABC所在平面的距离； (3)求球心O到三角形各顶点的距离. 1．（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直径为4的半圆O内有一个直角三角形ABC，其中，，将图中阴影部分，以所在直线为旋转轴旋转形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积． 【拓展训练二 多面体与球体内切外接问题】 【例1】（25-26高三上·安徽·开学考试）将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 1．（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（    ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为 ．    4．（2025高三·全国·专题练习）四个半径为1的球两两外切，求与这四个球都相切的球的半径． 1．（23-24高二·全国·竞赛）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 3．（2023全国·高考真题）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南濮阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．过球上任意两点有且仅有一个大圆 D．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 7．（23-24高一下·山东潍坊·期末）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．圆柱与球的表面积之比为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 9．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）如图，正方体的棱长为，则（   ） A．平面与平面的夹角的正弦值为 B．平面与平面的夹角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．三棱锥外接球的表面积为 10．（24-25高一下·河北保定·期末）已知圆锥的轴截面SAB的顶角为，底面半径为，则（    ） A．圆锥的侧面积为 B．过圆锥顶点的截面面积的最大值为 C．P是圆锥侧面上的一点，且到底面的距离为2，则三棱锥体积的最大值为9 D．球与圆锥的侧面和底面都相切，过圆锥的顶点S作与平面SAB成30°角且与AB平行的平面，则此平面截球所得的截面面积为 11．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为 . 12．（2025高三·全国·专题练习）地球的半径为，在北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度相差． （1）甲、乙两地所在纬线的长为 ． （2）甲、乙两地的球面距离是 ． 13．（24-25高一下·天津西青·期末）已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为 . 14．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，内接于球的四面体的每个面都是直角三角形，且，则球的半径 . 16．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 17．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为． (1)求的体积； (2)求的表面积． 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，直线与平面所成的角为，与平面的距离为，，，求四面体外接球球心到平面的距离. 20．（2025高一·全国·专题练习）如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 学科网（北京）股份有限公司 $