11.4 球讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：11.4 球 【知识梳理】： 1．球：如图，将圆心为O的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球O．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面．点O到球面上任意一点的距离都相等，点O叫做球心，原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径． 2．球的对称性：所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径． 3．平面截球：用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆． 4．地球的经纬度：把地球看作是一个球体，设直径AB的端点分别是地球的北极点和南极点，用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆的圆周称为纬线，过AB的大圆的半圆周称为经线． 5．已知球的半径为R，则： （1）球的体积公式：． （2）球的表面积公式：． 【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线 B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 C．圆锥的轴截面是等腰三角形 D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆 2．下列说法中正确的是（    ） A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．经过球面上不同的两点只能作一个大圆 D．球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面 3．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（    ） A． B． C． D． 4．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）　　 A． B． C． D． 5．若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（     ） A． B． C． D． 6．已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是（ ） A． B． C．或 D．或 7．体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为 ． 9．平面截半径为2的球O所得的截面圆的面积为，则球心O到平面的距离为 . 10．球的半径为，球的一个截面与球心的距离为，则截面的半径为 ． 11．已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧且距离是1，那么这个球的半径等于 ． 12．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 . 13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为20的球面上，其上、下底面半径分别为8和10，则该圆台的体积为 . 14．如左下图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是 15．如右上图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S为 . 16．如图，三棱锥A—PBC，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，，，P､B､C､A在以O为球心的同一球面上，则AO与PC所成角的大小为 . 17．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为 ． 18．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）之间存在如下关系：．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为，则的值为 ． 19．设地球的半径为，、两地均在北纬45°线上，且，在东经20°，则的经度为 ． 20．《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为 ． 21．下列命题中，真命题的是 ．（选填序号） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 三、解答题 22．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积（精确到）. 23．已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． （1）若，求：圆的半径； （2）若圆的面积为，求：球心到该截面的距离． 24．已知正方体的棱长为2. （1）求：点B到平面的距离； （2）四个点A､B､C､在一个以O为球心的球面上，求：球的半径． 25．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为. （1）试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比； （2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比. 26．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． （1）这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1） 注：本大题：． （2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？ 27．如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体. （1）求：该旋转体中间空心球的表面积的大小； （2）求：图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积. 28．已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，且侧棱． （1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图； （2）求：该三棱柱的外接球的表面积． 29．用一根长为36cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为4cm的球放置在这个框架上（如图）．若M是球上任意一点，求：四面体MABC体积的最大值． 30．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，，，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径． （后面附有常见内切球外接球半径模型） 学科网（北京）股份有限公司 $$