2023年8月第十二届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动（全国总决赛）七年级数学二试试题

绝密★启用前 第十二届海峡两岸青少年（数学)文化交流活动 (全国总决赛) (2023年8月) 温馨提示： 1、本卷共10题，第16题每小题10分，第710题每小题15分，共计120分。 2、答题前请将自己的地区、学校、姓名、试场、活动证号码写在规定的位置。 3、考试时不能使用计算工具。 4、考试完毕时试卷、答题纸和草稿纸将被收回。 题号 三 四 五 六 七 八 九 + 总分 核 得分 七年级试题（二试） (考试时间90分钟) 1、若a,b满足2a2+b2+2ab-4a+4=0,求a+3b的值。（本小题10分） 2、如图，已知∠AOB,M是OA上一点，N是OB上一点，OM=20,ON=30。点P从M 点出发，沿着M→O→B的方向运动，同时，点Q从N点出发，沿着N→O→A的方向运动。在射 线OA上运动时，点P和点Q每秒运动2个单位；当在射线OB上运动时，点P和点Q每秒运动 1个单位。（本小题10分） (1)点P从点M运动到点N共用多长时间？ (2)经过多少时间，有O0=0P? (3)在点P和点Q运动的过程中，存在常数a恰好有三个不同的时间使得lOP-Og=a成立， 求a的值。 A M B 七年级二试试题卷第1页 3、小南帮同学小开点了一份外卖（售价小于100元)，小开给小南转账还钱时，不小心将 支付金额的整数部分与小数部分数字看倒置了（例如：把27.96元看成96.27元），并按看 错的数字将钱转给了小南，小南收到后加上原有余额13.7元后，恰为外卖售价的5倍，于是 将多收的金额退还给了小开。若售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数，那么小南 退还给小开的金额是多少元？（本小题10分） 4、问题情境：随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑 手给我们的生活带来了便利。如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送 外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟时乙出发向 西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分， 设骑手甲行驶的时间为x分钟。已知，骑手甲到达光明小区后立即按原路原速返回商店A(其中 放外卖的时间忽略不计)。当骑手乙从商店A出发时，骑手丙正好送完一单从幸福小区出发返 回商店A。骑行平均速度为300米/分，若三位骑手到达各自目的地后不再接单和派送，求骑手 乙和丙之间的距离为骑手甲到商店A距离的二倍时x的值。（本小题10分） 幸福小区 光明小区 商店A m同 [SHOP] 骑手乙 骑手甲 七年级二试试题卷第2页 5、若一个四位数正整数t=abcd,其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为 1的“笃学数”，记为D(),“笃学数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“图 新数，记为T(),例如：3412的笃学数”为D(3412)=3×5+412=427,3412的图新 数”T(3412)=4×5+27=47,(本小题10分) (1)写D(6234)-:T(6234)=: (2)若一个千位为4，十位为6的四位数的“笃学数”与“图新数”之和能被33整除，求该四位 数。 6、把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）。 (本小题10分) M G 图1 图2 图3 (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH,用两种不同的 方法计算图中阴影部分的面积（用含a,b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ,求阴影部分的面积（用含a,b 的代数式表示)； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个 单位后得到一个长方形图形，若AB=b,BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分 别记为S,S2,若m=S-S2,求证：m与x无关。 图3 图4 七年级二试试题卷第3页 7、如图，点A,B在数轴上，AB=18,原点O恰为线段AB的中点。（本小题15分） 0 B (L)若点C是线段OA的中点，点D在线段OB上，BD=OB,求线段CD的长： (2)点M从点A出发，点N从点B出发，沿数轴分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位 长度同时相向运动，到达原点后分别立即返回出发点，速度保持不变.当其中一点回到出发点 时，点M,N同时停止运动.设线段MN的中点为点P. ①点MN开始运动后，点P能否与原点重合？若能，求出重合时的运动时间t的值：若不能， 请说明理由： ②在运动的全过程中，点P经过的总路程是多少个单位长度？ (友情提示：先根据题意补齐图形，再进行计算) 8、如图，已知长方形ABCD,AB=CD=4,BC=AD=6,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E为CD 边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A点出发，沿着A-B-C-E运动到E点 停止，设点P经过的路程为x,△APE的面积为y。(本小题15分) (1)求出P在线段BC上运动时y与x之间的关系式： (2)当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小，若存在，请画出点 P的位置，若不存在，请说明理由。 A D A D E B B 备用图 七年级二试试题卷第4页 9、综合与实践—折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程 还蕴含着丰富的数学知识.将长方形纸片（长方形的对边平行且相等，四个内角都是直角）， 按下列要求折叠。（本小题15分） C A 图1 (备用图) B 图2 (I)如图1，将长方形纸条沿直线EF折叠，点C落在C'处，点D落在D处，CF交AD于 点G ①若∠1=35°，则∠AGC'= ； ②若∠AGC'=3∠1，求∠AGC'的度数。 (2)在图1的基础上，将四边形ABFG沿某一直线折叠，使得AG或BF落在直线GF上，折 痕为MN,则折痕MW、EF有怎样的位置关系，并说明理由。 (3)若AB=3,BC=12,按图2方式折叠，点C、G、F、在一条直线上.若四边形BAFH 的面积记为S,四边形DEGC的面积记为S2,则S+S,的值是否有最大值？若有，求出这个值； 若没有，请说明理由。 七年级二试试题卷第5页 1O、如图所示，AB∥CD,三角形EFM的顶点E、顶点F分别在直线AB、直线CD上， 点M在直线AB与直线CD之间，EF平分∠AEM,(本小题15分) F 图1 图2 图3 (I)如图1，己知FM平分∠EFD,∠BEM=40°，则∠M= (2)如图2，己知点N为MF延长线上一点，且∠BEM=∠NEF=∠N=a°，请用含a的式子 表示∠NFD的度数，并说明理由； (3)如图3，在(2)问的条件下，∠BEM=30°，将三角形FNE绕点F顺时针以每秒5°的 速度旋转得三角形FNE',将三角形EFM绕点E顺时针以每秒3°的速度旋转得三角形EF'M', 当EF首次旋转到直线AB上时三角形EF'M'立刻绕点E逆时针以原速旋转，当EM'旋转到直 线AB上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出边EN'与三角形EFM'的边平行时的旋转 时间t的值。 七年级二试试题卷第6页 第十二届海峡两岸青少年（数学）文化交流活动 (全国总决赛) 七年级答案 二试 1、解：已知等式变形得：(a2+2ab+b2)+(a2-4a+4)=0, 即(a+b)2+(a-2)2=0, (a+b)20,(a-220, .a+b=0,a-2=0, 解得：a=2,b=-) 则a+3b=2-6=4. 2、)解：点P从点M运动到点N共用20+30=10+30=40（秒： 2 答：点P从点M运动到点N共用40秒： (2)解：设经过t秒时，有O2=OP, 当0s1s10时，0P=20-21,02=30-t, .20-2r=30-t, 解得t=-10,不存在； 当10<1s30时，0P=1-10,02=30-1, .t-10=30-1, 解得t=20; 当t>30时，0P=1-10,02=2(t-30), .t-10=2'1-30), 解得t=50; 综上，经过20秒或50秒时，有O2=OP; (3)解：当0≤t≤10时，0P=20-2t,00=30-1, 0P-0g=00-0P=(30-)-(20-21)=10+t,此时10≤10+t≤20； 当10<1≤20时，0P=1-10,02=30-t, 10P-0g=00-0p=(30-t)-(t-10)=40-21,此时0≤40-21<20： 当20<t≤30时，0P=t-10,02=30-t, 0P-0g'=0P-00=(1-10)-(30-t)=2t-40,此时0<21-40s20. 当30<t≤50时，0P=t-10,00=2(t-30), 10P-0g=0P-02=(t-10)-2(t-30)=50-t,此时0s50-t<20: 当t>50时，0P=t-10,02=2(t-30), 0P-0g=02-0P=2(t-30)-(t-10)=t-50,此时t-50>0; 综上，存在常数a恰好有三个不同的时间使得引OP-Og=a成立，a的值为20. 3、解：设售价的整数部分的数字为x,小数部分的数字为y, 则： 4x+13.7, 整理得：19y=98x-274; ·售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数， .0<x<10,10<y<100,且x,y为整数， [x=9 …y=32 ∴.外卖的售价为9.32元，小开转了32.9元，小南退还给小开的金额为32.9-9.32=23.58元； 4、解：由题意可得： 骑手甲离开商店A的距离为600x米； 骑手乙离开商店A的距离为400(x-2)=400x-800(米)： 骑手丙距离幸福小区的离为：300(x-2)米， 则4800-[300x-2)+400x-800]=2×600x, 或[300(x-2)+400x-800]-4800=2(2×3600-600x), 解得：x 62或x19 1 5、(1)D(6234)=5×6+234=264, T(6234)=5×2+64=74. 故答案为：264,74； (2)设这个四位数为4a6b(0≤a≤9,0sb≤9，且a、b为整数) 则D(4a6b)=5×4+a6b=20+100a+60+b=100a+80+b=a8b, T(4a6b)=5a+8b=5a+80+b. .D(4a6b)+T(4a6b)=100a+80+b+5a+80+b=105a+2b+160 ,105a+2b+160能被33整除，且0sa59,0≤b≤9，a、b为整数. :①当a=0时，即2b+160能被33整除，得6=多不符合愿意： ②当a=1时，即2b+160能被33整除，得b=16不符合题意： ③当a=2时，即2b+160能被33整除，得b=13不符合题意； ④当a=3时，即2b+160能被33整除，得b=10不符合题意； ⑤当a=4时，即2b+160能被33整除，得b=7符合题意； ⑥当a=5时，即2b+160能被33整除，得b=4符合题意： ⑦当a=6时，即2b+160能被33整除，得b=1符合题意： ⑧当a=7时即2b+160能被33整除，得6-9不符合冠意。 ⑨当：=8时，即26+160能被3整除，得6-号不符合题意 ⑩当a=9时，即26+160能被33整除，得b=?不符合题意 2 综上可知，这个四位数为4467或4564或4661。 6、(1)解：①在图2中，四边形ABCD是正方形， ∴.正方形ABCD的面积为S正方形=(a+b)2. :四个基本图形的面积为4ab, ∴.S阴影=(a+b)2-4ab: ②，四边形EFGH是正形. ∴.EH=EF=a-b, ∴.S阴影=EH2=(a-b)2; ∴.(a+b)2-4ab=(a-b)2. (2)解：，NP=a+b,MN=a+b, ∴.四边形EFGH是正方形， ∴.S阴影=MN2-4ab=(a+b)2-4ab, 即S阴影=(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2. (3)证明：根据图形可知，AF=a+x-2b, m=S1-S2 =2b2b+bx-(a-2b+x)b-3b-b =4b2+bx-(ab-2b2+bx)-3b2 =4b2+bx-ab+2b2-bx-3b2 =3h'-ab .S与x无关」