精品解析：2023年浙江省宁波市中考全景复习指导（四）

宁波市2023年中考全景复习指导（四）数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值的相反数是（ ） A. B. C. 2023 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值与相反数，熟练掌握其概念是解题的关键．先求出的绝对值，然后再求其相反数即可． 【详解】解：的绝对值是2023，2023的相反数是， 那么的绝对值的相反数是． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 3. 据报道，2019年建成的某新机场将满足年旅客吞吐量45 000 000人次的需求．将45 000 000用科学记数法表示应为（　　） A. 0.45×108 B. 45×106 C. 4.5×107 D. 4.5×106 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：45000000＝4.5×107， 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义是解题关键．将一个数表示成的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法． 4. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看，可得如下图形： 故选：A． 【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键． 5. “强国达人”张老师每天登录“学习强国”APP进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励他最近一周“点点通”每日收入明细如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入 18 22 26 26 22 31 22 A. 26，22 B. 22，26 C. 22，22 D. 22，24 【答案】C 【解析】 【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这7个数据从小到大排列为18，22，22，22，26，26，31，出现次数最多的数是22，中间位置的数是22， ∴众数是22，中位数是22． 故选C． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 6. 若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为6πcm2，则圆锥的母线长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl代入数据求出圆锥的母线长即可． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为6πcm2， 故6π＝π×2×l， 解得：l＝3（cm）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键． 7. 如图，在中，，点D，E分别是边，的中点，延长到点F，使，若，则的长为（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出． 【详解】解：连接， 点，分别是边，的中点， 是中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在中，，点是边的中点， 则， 在中，，， 则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键． 8. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键． 9. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中．若对于，都有，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与二次不等式： 由得，对不等式进行化简，可求得，再根据对于任意的，都有可得，据此即可求出a的范围． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得． 故选：D． 10. 如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中中间一张矩形纸片，四张直角三角形纸片，．点为矩形对称中心．已知，若已知与的面积和时，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作，垂足分别为点，根据平行四边形和矩形的性质证明出来和，假设,令，则为定值，表示出来相关的线段长度，然后分别求出选项中图形的面积即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足分别为点， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴，即， 由直角三角形两个锐角互余得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， 不妨设， ∵， ∴，， ∵点为矩形对称中心， ∴， ∵已知与的面积和， 令，则为定值， ∴， ∴， ∴， 故无法确定的面积，选项C不符合题意； ， 故无法确定的面积，选项D不符合题意； 故无法确定四边形的面积，选项B不符合题意； 故可以确定的面积， 故选：A． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 请写出一个小于1的无理数：_________． 【答案】 【解析】 【分析】由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值小于1绝对值的无理数即可． 【详解】解：∵＜1， ∴＜1， 即为小于1的无理数． 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式直接分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 小刚有5支外形相同的中性笔，其中2支黑色，2支红色，1支蓝色，小刚随机从中抽取一支，他拿出红色笔的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用红色笔的个数除以所有笔的个数即可求得答案． 【详解】解：∵5支中性笔，有2支为红色， ∴随机从中抽取一支，他拿出红色笔的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式，根据题设得出，再对进行计算即可． 【详解】由题可知， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，与以为直径的相切于点．点为圆上动点，当是以为直角边的直角三角形时，则的长为___________． 【答案】13或 【解析】 【分析】本题考查圆的切线，圆上动点问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质；①连接并延长与圆交于，连接，即为直角三角形，计算出即可；②连接并延长与圆交于，连接交圆于，连接，即为直角三角形，计算出即可． 【详解】 ①如图，连接并延长与圆交于，连接． 是圆的切线， ，且， ②如图，若， 连接并延长与圆交于，连接交圆于，连接， ∵是直径， ∴， ∴． 是圆的切线， ， 则， 由知， ∴， ∴． 故答案为：13或． 16. 已知四边形是矩形，，E为边上一动点且不与B，C重合，连结如图，过点E作交于点N．将沿翻折，点C的对应点为， （1）若，，则的长为___________； （2）若恰好落在边上，这样的点有且仅有一个，则的长为___________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）设，证明，得到，列式计算即可； （2）过点E作于点F，设，，先由，求得，然后证明，求得，所以， 再由求得，即可列方程，并整理得，最后根据一元二次方程根的判别式即可求得答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ． 故答案为：1． （2）过点E作于点F， 设，，则， 由（1）可知， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 由可得， ， 由可得， 整理得， 点有且仅有一个， ， 解得， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的判别式，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，17~19题每题8分，20~22题每题10分，23题12分，24题14分，共80分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算及一元一次不等式组的求解： （1）利用单项式乘多项式的运算方法去第一个括号，利用平方差公式计算第二个括号，然后合并同类项即可； （2）分别求出两个一元一次不等式的解，然后就可以得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 18. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出格点四边形使四边形为轴对称图形且面积为6； （2）在图2中画出格点四边形使四边形为中心对称图形且面积为5． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，结合对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半画图即可； （2）根据中心对称图形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，结合面积的大小画图即可． 本题考查了轴对称图形，中心对称图形，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图1所示， 则四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图2所示 则四边形即为所求． 19. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求一次函数与轴的交点坐标； （3）利用图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点A的坐标，然后得出一次函数的解析式，进而利用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）令代入一次函数解析式进行求解即可； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【小问1详解】 解：，点A在第三象限， ， 点坐标为． 把点代入， 得， 解得， 一次函数表达式为． 把代入，得． 反比例函数表达式为． 【小问2详解】 解：令，则，解得， 一次函数与轴交点坐标为． 【小问3详解】 解：由图象可知：不等式的解集为． 20. 甲、乙两家书店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示． 甲、乙两书店7~12月的月盈利折线统计图 （1）①要评价这两家书店7～12月的月盈利的平均水平，应选择计算统计量（ ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 ②请分别求出反映这两家书店月盈利“平均水平”的统计量； （2）根据（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家书店经营状况较好？请简述理由． 【答案】（1）①B；②甲书店的平均盈利为万元，乙书店的平均盈利为2万元 （2）甲书店经营状况较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据平均数的意义求解即可；②根据折线统计图中数据求解即可； （2）根据平均数及折线统计图的变化趋势分析即可． 【小问1详解】 ①根据题意，求7～12月的月盈利的平均水平，故应选择计算平均数； 故选B ②， ， 【小问2详解】 甲书店经营状况较好，理由为：甲书店营业额的平均值大于乙书店，且由折线统计图可知甲书店的营业额持续稳定增长，潜力大． 【点睛】本题考查了求平均数，折线统计图，根据折线统计图获取信息是解题的关键． 21. 2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的特征即可得出． （2）由（1）得，，则，再得出，，最后根据运动员的身高为即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴此滑雪运动员的小腿的长度为． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴运动员的身高为． 22. 某工厂安排甲、乙两组工人加工一批疫苗试剂，甲组工人加工1小时后，乙组工人参与加工疫苗试剂．甲组工人加工中因机器故障停产一段时间，然后以原来的工作效率的2倍继续加工；由于时间紧任务重，乙组工人加工若于小时后也开始提速，速度变为200百盒/小时．其中甲、乙两组工人加工疫苗试剂的数量y(百盒)与甲组加工时间t(小时)之间的关系如图所示．请根据图象解答下列问题： （1）填空：甲组停产前的加工速度为____________百盒/小时，乙组提速前的加工速度为_____________百盒/小时； （2）甲组停产多长时间？ （3）乙组共加工了多少疫苗试剂？ （4）求甲、乙两组工人加工的疫苗试剂数量相等时的值． 【答案】（1）150；16 （2）甲组停产2小时 （3）乙组共加工了1300百盒疫苗试剂 （4）或6 【解析】 【分析】(1)根据工作效率=工作总量÷工作时间可得出结论； (2)由工作时间=工作总量÷工作效率可得出甲组再次开始的时间，进而可得甲停产时间； (3)由工作总量=工作时间×工作效率可得出加速后的工作总量，再加上提速前工作总量，进而可得出结论； (4)由图象可知，存在两个时间试剂数量相等，分别求解即可． 【小问1详解】 解：甲组停产前的加工速度为300÷2=150(百盒/小时)，乙组提速前的加工速度为400÷(-1)=160(百盒/小时)； 故答案为：150；160； 【小问2详解】 解：设甲组停产小时，由题意，得， 解得. 所以，甲组停产2小时； 【小问3详解】 解：. 所以，乙组共加工了1300百盒疫苗试剂. 【小问4详解】 解：①当时，，. 由图象可得 ， 解得， ②当时，，. 由图象可得， 解得． 所以，的值为或6． 【点睛】本题考查一次函数的应用，函数图象，从函数图象中得出甲乙两组加工的工作效率是解题关键． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据边长成比例即可求解； （2）过点作即可转化为和（1）完全相同的问题； （3）延长交于点．由，可得，设，则．证明，再证，得到比例，即；由（2）可知即可得到答案． 本题考查等腰三角形，三角形相似，直线平行的性质，正切，能够找到各小问之间的相同之处是解题关键． 【详解】解：（1）， ， 又∵， ， 又∵， ， ． （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 根据（1）可得： ． （3）如图，延长交于点， ，， ， ， ， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ， 由（2）可知． 24. 如图1，已知内接于，过点A作的垂线，垂足为点，交于点．过点作的垂线，垂足为点，交于点． （1）①求证：； ②若，求的值； （2）如图2，连结交于点，过点作的垂线交于点，连结，若． ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）①证明见解析；②54 【解析】 【分析】（1）①证明即可得到，从而得到结论；②连接，证明，求出边长关系，按即可求得答案； （2）①结合三角形外角性质及，可证，再根据等角的余角相等可证，从而可证，于是可得，设，则，设，则．由可求出，从而表示出，再表示出即可得证； ②证明，设，用a表示出，求出a的值，再求出的值，根据三角形面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 ①证明：连接， 根据同弧所对圆周角相等，可得，． ，且， ， 又， ， ∴，， ， ； ②解：如图，连结， ∵过圆心且， ∴． ， ， ∵是的垂直平分线， ∴， 又由（1）可知， ∴等腰直角三角形， ∴． 由知， ∴， ． 【小问2详解】 ①证明：， ∴，， ． ，， ， ∵， ， ∴， ， ∴， 设， 设，则， 设，则． ∵， ，即， ， ， ②解：， ， 而， 为中点． 由（2）①可知， ∴， 又∵， ， ， 由（2）①可知， ∴， ，即， ， 设，则， ∴， ∴，解得， ， 面积为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，圆周角定理，垂径定理，正切，三角形外角的性质，三角形相似的判定与性质，作出合适的辅助线，设出合适的未知数，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2023年中考全景复习指导（四）数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值的相反数是（ ） A. B. C. 2023 D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 据报道，2019年建成的某新机场将满足年旅客吞吐量45 000 000人次的需求．将45 000 000用科学记数法表示应为（　　） A. 0.45×108 B. 45×106 C. 4.5×107 D. 4.5×106 4. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 5. “强国达人”张老师每天登录“学习强国”APP进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励他最近一周“点点通”每日收入明细如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入 18 22 26 26 22 31 22 A. 26，22 B. 22，26 C. 22，22 D. 22，24 6. 若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为6πcm2，则圆锥的母线长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. cm 7. 如图，在中，，点D，E分别是边，的中点，延长到点F，使，若，则的长为（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 8. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中．若对于，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中中间一张矩形纸片，四张直角三角形纸片，．点为矩形对称中心．已知，若已知与的面积和时，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 请写出一个小于1的无理数：_________． 12. 因式分解：___________． 13. 小刚有5支外形相同的中性笔，其中2支黑色，2支红色，1支蓝色，小刚随机从中抽取一支，他拿出红色笔的概率为_____． 14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为___________． 15. 如图，与以为直径的相切于点．点为圆上动点，当是以为直角边的直角三角形时，则的长为___________． 16. 已知四边形是矩形，，E为边上一动点且不与B，C重合，连结如图，过点E作交于点N．将沿翻折，点C的对应点为， （1）若，，则的长为___________； （2）若恰好落在边上，这样的点有且仅有一个，则的长为___________． 三、解答题（本大题有8小题，17~19题每题8分，20~22题每题10分，23题12分，24题14分，共80分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出格点四边形使四边形为轴对称图形且面积为6； （2）在图2中画出格点四边形使四边形为中心对称图形且面积为5． 19. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求一次函数与轴的交点坐标； （3）利用图象直接写出不等式的解集． 20. 甲、乙两家书店规模相当，去年下半年月盈利折线统计图如图所示． 甲、乙两书店7~12月的月盈利折线统计图 （1）①要评价这两家书店7～12月的月盈利的平均水平，应选择计算统计量（ ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 ②请分别求出反映这两家书店月盈利“平均水平”的统计量； （2）根据（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家书店经营状况较好？请简述理由． 21. 2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员身高．（参考数据：，，） 22. 某工厂安排甲、乙两组工人加工一批疫苗试剂，甲组工人加工1小时后，乙组工人参与加工疫苗试剂．甲组工人加工中因机器故障停产一段时间，然后以原来的工作效率的2倍继续加工；由于时间紧任务重，乙组工人加工若于小时后也开始提速，速度变为200百盒/小时．其中甲、乙两组工人加工疫苗试剂的数量y(百盒)与甲组加工时间t(小时)之间的关系如图所示．请根据图象解答下列问题： （1）填空：甲组停产前的加工速度为____________百盒/小时，乙组提速前的加工速度为_____________百盒/小时； （2）甲组停产多长时间？ （3）乙组共加工了多少疫苗试剂？ （4）求甲、乙两组工人加工的疫苗试剂数量相等时的值． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 24. 如图1，已知内接于，过点A作的垂线，垂足为点，交于点．过点作的垂线，垂足为点，交于点． （1）①求证：； ②若，求值； （2）如图2，连结交于点，过点作垂线交于点，连结，若． ①求证：； ②若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $